Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria
Meccanica
Soluzioni ad alcuni esercizi
1 novembre 2005
Esercizio 1. Si determino i numeri complessi α ∈ C tale che l’equazione
z 2 + |z|2 = αz|z|
(1)
abbia soluzioni complesse diverse da z = 0.
Ricordiamo che si definisce
eiθ := cos θ + i sin θ.
Grazie alla formula di De Moivre, risulta che
ei(θ1 +θ2 ) = eiθ1 eiθ2
(2)
(questo non è che un altro modo di vedere l’enunciato di tale formula). Ogni
numero complesso si può quindi scrivere nella forma ρeiθ .
Da notare è la completa analogia fra l’usuale proprietà ex+y = ex ey quando x, y ∈ R
e quella espressa dalla (2) fino al punto che potremmo definire
ex+iy := ex (cos y + i sin y)
cioè estendere a tutto C la funzione esponenziale conservando ad esempio il fatto che
ez1 +z2 = ez1 ez2 per tutti gli z1 , z2 ∈ C.
Soluzione. Supponiamo che l’equazione (1) abbia una soluzione non nulla
che mettiamo nella forma z = ρeiθ , ρ 6= 0. Abbiamo quindi
ρ2 e2iθ + ρ2 = αρeiθ ρ
da cui
e2iθ + 1 = αeiθ
1
cioè
eiθ + e−iθ = α
da cui
2 cos θ = α.
Dall’ultima equazione si vede che α deve essere necessariamente un numero
reale. In più, essendo −1 ≤ cos θ ≤ 1 si dovrà avere anche −1 ≤ α2 ≤ 1.
Viceversa per ogni α tale che −2 ≤ α ≤ 2 si verifica che i numeri complessi
dati da z = ρeiθ0 (dove ρ 6= 0 e θ0 soddisfa 2 cos θ0 = α) sono soluzioni non
nulle dell’equazione (1).
Esercizio 2. Esprimere in dipendenza della sola variabile n il termine generale della seguente successione definita per ricorrenza:
an+2 = 2an+1 − an
a0 = −1
a1 = 1
Soluzione. Cerchiamo una soluzione della forma an = λn , λ ∈ R. Un tale λ
dovrà soddisfare l’equazione algebrica:
λ2 − 2λ + 1 = 0
che ha una radice multipla λ = 1. Le soluzioni vanno quindi cercate della
forma
an = c1 λn + c2 nλn
(3)
dove c1 e c2 sono costanti che vanno scelte in modo tale che risulti a0 =
−1, a1 = 1. Si deve avere quindi (mettendo n = 0, 1 nella formula (3))
(
c1 = −1
c1 + c2 = 1
da cui c1 = −1 e c2 = 2. La successione cercata è quindi an = 2n − 1.
Esercizio 3. Esprimere in dipendenza della sola variabile n il termine generale della seguente successione definita per ricorrenza:
an+2 = 2an+1 − 2an
a0 = 3
a = 1
1
2
Soluzione. Cerchiamo una soluzione della forma an = λn , λ ∈ R. Un tale λ
dovrà soddisfare l’equazione algebrica:
λ2 − 2λ + 2 = 0
che ha radici complesse coniugate λ1 = 1 + i, λ2 = 1 − i. Le soluzioni vanno
quindi cercate della forma
an = c1 λn1 + c2 λn2
(4)
dove c1 e c2 sono costanti che vanno scelte in modo tale che risulti a0 =
3, a1 = 1. Si deve avere quindi (mettendo n = 0, 1 nella formula (4))
(
c1 + c2 = 3
c1 (1 + i) + c2 (1 − i) = 1
da cui c1 = 23 + i e c2 = 32 − i. La successione cercata è quindi an =
( 23 + i)(1 + i)n + ( 32 − i)(1 − i)n .
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