19_Soluzione del mese di dicembre 2014
Prima di passare alla illustrazione del metodo della differenza di due quadrati, utile per la ricerca di
un determinato numero palindromo, diamo le soluzioni richieste dal problema per i numeri 99 e
8448.
1) 99 = 502 – 492 (2500 – 2401 = 99);
2) 99 = 182 – 152 (324 – 225 = 99);
3) 99 = 102 – 12 (100 – 1 = 99).
1) 8448 = 21132 – 21112 (4464769 – 4456321 = 8448);
2) 8448 = 10582 – 10542 (1119364 − 1110916 = 8448);
3) 8448 = 7072 –7012 (499849 – 491401 = 8448);
4) 8448 = 5322 – 5242 (283024 – 274576 = 8448);
5) 8448 = 3582 – 3462 (128164 – 119716 = 8448);
6) 8448 = 2722 – 2562 (73984 – 65536 = 8448);
7) 8448 = 2032 – 1812 = (41209 – 32761 = 8448);
8) 8448 = 1882 – 1642 (3136 – 1024 = 8448);
9) 8448 = 1482 – 1162 (21904 – 13456 = 8448);
10) 8448 = 1182 – 742 (13924 – 5476 = 8448);
11) 8448 = 1122 – 642 (12544 – 4096) = 8448);
12) 8448 = 982 – 342 (9604 – 1156 = 8448);
13) 8448 = 972 – 312 (9409 – 961 = 8448);
14) 8448 = 922 – 42 (8464 – 16 = 8448).
Concludendo, per trovare il numero palindromo 99, mediante differenza di due quadrati, abbiamo
solo tre possibilità. Invece, per trovare il numero palindromo 8448, abbiamo solo 14 possibilità.
Adesso illustriamo questo metodo
Il metodo della differenza di due quadrati si può applicare a condizione che il numero palindromo
possa essere scomposto nella somma di uno, due, tre, quattro , ecc numeri dispari consecutivi.
Se il numero palindromo è dispari, questo si può scomporre almeno in un modo: prendendo un
solo dispari (cioè il numero palindromo stesso) oppure si possono prendere, quando è possibile,
anche tre, cinque, sette, …cioè un numero dispari di addendi che siano, però, tutti numeri dispari
consecutivi tali che la loro somma sia uguale al palindromo in questione. Il fatto che prendo un
numero dispari di addendi (che sono dispari consecutivi), mi assicura sempre una somma dispari.
Se il numero palindromo è pari, questo si deve scomporre in una somma di due, quattro, sei, otto,
dieci, dodici,…e qualsivoglia numero pari di addendi che siano però tutti numeri dispari
consecutivi.
Questo non sempre è possibile.
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Nel riquadro ho riportato, come intermezzo ingenuo e scherzoso, la genesi della “scoperta
matematica” che è quella che hanno adottato sempre i più grandi matematici di tutti i tempi, anche
se l’hanno sempre abilmente taciuto e celato; cioè la” scoperta per tentativi ed errori!!!:
Se prendo, per es. 22 mi accorgo subito che non è scomponibile nella somma di due addendi
dispari consecutivi: infatti 9 + 11 = 20; mentre 11 + 13 = 24; entrambi diversi da 22.
Se poi mi intestardisco a scomporre 22 nella somma di 4 addendi dispari consecutivi la situazione
anziché migliorare, peggiora: infatti: 1 + 3 + 5 + 7 = 16; mentre 3 + 5 + 7 + 9 = 24 !!!
Se poi mi intestardisco a scomporre il palindromo pari nella somma di 6 addendi dispari
consecutivi la situazione anziché migliorare, peggiora: infatti: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 > 22.
Allora, cocciuto come sono (da vecchietto arteriosclerotico mago dei numeri!!!!) mi scelgo un
palindromo pari più grande, per es. 66!!!
Con due addendi non va: 31 + 33 = 64!!! 33 + 35 = 68!!! Mannaggia!!!
Provo con quattro addendi: 13 + 15 + 17 + 19 = 64!!! Per poco!!?? 15 + 17 + 19 + 21 = 72!!!
Con le due “c” in testa (la “c” di cocciuto + la “c” di curioso) provo con 6 addendi con la
speranza di riuscire nell’intento!!!
5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 20 × 3 = 60; mentre 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 24 × 3 = 72.
Tentativo fallito: le due “c” che avevo in testa si sono disintegrate!!! Questa mi ha provocato:
un fortissimo mal di testa, capogiri, vertigini e “dulcis in fundo” una tremenda infiammazione
provocata da un nuovo virus (denominato palindromite) che ha colpito la mia corteccia cerebrale;
speriamo non in modo irreversibile!!!
(del resto nella vita e nel mondo la cosa più certa è l’incertezza!!!).
Riprendendo il discorso, un numero palindromo PARI non sempre si può scomporre nella somma di
un numero pari di dispari consecutivi.
Infatti già se sommo solo due numeri dispari consecutivi qualsiasi mi accorgo subito che la somma
è un multiplo di 4!!! Esempio 3 + 5 = 8 = 4 × 2; 105 + 107 = 212 = 4 × 53; ……Infatti si dimostra
facilmente che la somma di due dispari consecutivi è sempre un multiplo di 4.
Se indico con 2 k + 1 un qualsiasi numero dispari, il suo consecutivo sarà: 2 k + 1 +2 = 2 k + 3.
Sommando questi due numeri otterrò: (2 k + 1) + ( 2 k + 3) = 4 k + 4 = 4 (k + 1) che rappresenta un
multiplo di 4 (per qualsiasi k = 0, 1, 2, 3, ….).
Se si decide, poi, di scomporre il numero palindromo nella somma di 4, 6, 8, o altro numero pari di.
addendi dispari consecutivi, il campo di applicazione di questo metodo si restringe ulteriormente.
La somma di 4 dispari consecutivi vale: (2 k + 1) + ( 2 k + 3) + (2 k + 5) + (2 k + 7) = 8 k + 16 =
= 8 (k + 2) che rappresenta un multiplo di 8 (per qualsiasi k = 0, 1, 2, 3, ….).
La somma di 6 dispari consecutivi vale: (2 k + 1) + ( 2 k + 3) + (2 k + 5) + (2 k + 7) + (2 k + 9) +
(2 k + 11) = 12 k + 36 = 12 (k + 3) che rappresenta un multiplo di 12 (per qualsiasi k = 0, 1, 2, 3, .).
E così via….
Conclusione: Un numero palindromo PARI si può scomporre nella differenza di due quadrati
solo se questo è almeno multiplo di 4.
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Regola pratica per trovare i due numeri a e b (con a > b) tali che a2 – b2 = numero palindromo.
Si fonda su un’importante proprietà dei numeri dispari consecutivi: la somma dei primi k numeri
dispari consecutivi vale sempre k2.
Per esempio: la somma dei primi sette dispari consecutivi vale
Esempio: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = (1+3+5)+(7+13)+(9+11) = 9+20+20 = 49. Quindi la somma
dei primi 7 numeri dispari vale proprio 72 cioè 49.
Lo stesso vale se sommo i primi otto dispari consecutivi: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 =
= (1+3) + (5+15) + (7+13) + (9+11) = 4+20+20+20 = 64 = 82.
Adesso la sottrazione tra le due somme (o tra i due quadrati di numeri consecutivi) 64 – 49 = 15 ci
dà proprio l’ottavo numero dispari.
E’ molto importante a questo punto sapere come individuare il posto occupato, nella successione
ordinata dei dispari, da un determinato numero dispari.
La formula è semplicissima: si aggiunge 1 al dispari e lo si dimezza.
Indicando con Pnd il posto occupato da quel numero dispari avremo: Pnd = (nd + 1)/2. Dove nd sta
per numero dispari qualsiasi.
Esempio:.
P175 = (175 + 1)/2 = 88. Significa che 175 è l’88° dispari a partire da 1.
Se eseguiamo la sottrazione tra il quadrato di 88 e quello del suo precedente (87) riotteniamo 175.
Verifica 882 – 872 = 7744 – 7569 = 175 come previsto.
Questa è la regola che deriva appunto dalla proprietà citata sopra e cioè che la differenza tra i
quadrati di due numeri consecutivi è sempre un numero dispari. Allora diventa un giochetto trovare
i due numeri a e b che risultino essere consecutivi.
Esempio: come trovare la differenza di due quadrati che mi dà il palindromo 161?
Devo trovare prima il posto occupato dal dispari 161 nella successione ordinata dei dispari. Applico
la formula dove al posto di <nd> ci metto il numero dispari in oggetto (161).
Pnd = (nd + 1)/2. → P161 = (161 + 1)/2 = 81.
[P161 = 81] si legge: “pi di 161 è uguale a 81” e significa che il posto occupato dal numero dispari
161 è 81 che, detto in altre parole, significa che 161 occupa l’81° posto nell’insieme ordinato dei
numeri dispari. (P sta per posto occupato, sottinteso nell’insieme dei dispari).
Il posto occupato ci fornisce il numero a =81. Il numero b = 81 − 1 = 80 in quanto dal numero 81
devo togliere 1 perché ho preso solo un dispari che coincide col palindromo 161.
Quindi con a = 81 e b = 80 avremo 812 – 802 = 6561 – 6400 = 161!!!!.
A questo punto le cose diventano interessanti. Riporto un solo esempio che riassume vari casi: la
scomposizione del numero palindromo in somma di 1, 3, 9, 23, 69 e 207 addendi.
L’algoritmo è sempre lo stesso.
Esempio: Vogliamo scoprire come scomporre il numero palindromo 96669 in differenze di due
potenze.
Scomponiamo per prima cosa il numero ottenendo 96669 = 32x231x3471.
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Con l’aiuto della scomposizione siamo in grado di conoscere quanti sono i divisori di 96669.
Basta prendere gli esponenti dei fattori presenti nella scomposizione, li aumentiamo tutti di 1 e li
moltiplichiamo. Nel nostro caso notiamo che 96669 ha 12 divisori [(2 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) =
3 x 2 x 2 = 12]. Li calcolo e li ordino. Indico con D(n) i divisori di un numero. In questo caso
avremo: D (96669) = {1, 3, 9, 23, 69, 207, 467, 1401, 4203, 10741, 32223. 96669}.
Suddividendo in due gruppi i divisori verifico che, 96669 si può ottenere moltiplicando i divisori
equidistanti dagli estremi: 1 × 96669 = 3 × 32223 = 9 × 10741 = 23 × 4203 = 69 × 1401 = 207 ×
467. Perciò 96669 si può ottenere come differenza di due quadrati in 6 modi diversi.
1) 1 solo addendo: (96669 = 1 × 96669)
Applichiamo la formula Pnd = (nd + 1)/2 → (96669 + 1)/2 = 48335.
Scopriamo così che il dispari 96669 occupa il 48335° posto nell’elenco ordinato dei dispari..
Calcoliamo la differenza tra il quadrato di 48335 e quello del numero che lo precede (48334).
[a = 48335; b = 48335 – 1 = 48334] In questo caso ho tolto 1 perché è un addendo solo!!!
Otteniamo così: 483352 - 483342 = 2336272225 – 2336175556 = 96669.
2) 3 addendi: (96669 = 3 × 32223)
96669 =32221 + 32223 + 32225; Calcoliamo il posto dell’addendo maggiore Pnd = (nd + 1)/2 →
→ (32225 + 1)/2 = 16113 che sta a significare che il dispari 32225 occupa il 16113° posto.
Adesso essendo tre gli addendi dispari adoperati devo sottrarre tre da 16113 (posto occupato
dall’addendo maggiore) ottenendo 16110 (posto che precede l’addendo minore).
[Cosi ho trovato a = 16113 e b = 13110]
Otteniamo così: 161132 – 161102 = 259628769 – 259532100 = 96669;
3) 9 addendi: (96669 = 9 × 10741)
96669 =10733 + 10735 + 10737 + 0739 + 10741 + 10743 + 10745 +10747 + 10749;
Calcoliamo il posto occupato dall’addendo maggiore Pnd = (nd + 1)/2 →
→ (10749+1)/2 = 5375 → 10749 è il 5375° dispari.
Adesso dal posto occupato dall’addendo maggiore si sottrae 9 perché gli addendi sono 9.
Otteniamo così 5375 – 9 = 5366, che rappresenta il posto occupato dal dispari che precede
l’addendo minore 10733).
Allora 53752 – 53662 = 28890625 – 28793956 = 96669; [a = 5375; b = 5375 – 9 = 5366]
4) 23 addendi: (96669 = 23 × 4203)
96669 = 4181 + 4183 + 4185 + 4187 + 4189 + 4191 + 4193 + 4195 + 4197 + 4199 + 4201 +
+ 4203 + 4205 + 4207 + 4209 + 4211 + 4213 + 4215 + 4217 + 4219 + 4221 + 4223 +4225
Calcoliamo il posto occupato dall’addendo maggiore Pnd = (nd + 1)/2 →
→ (4225+1)/2 = 2113 → 4225 è il 2113° dispari.
Adesso dal posto occupato dall’addendo maggiore si sottrae 23 perché gli addendi sono 23!!!).
Avremo: 21132 – 20902 = 4464769 – 4368100 = 96669; [a = 2113; b = 2113 – 23 = 2090]
5) 69 addendi: (96669 = 69 × 1401)
96669 = 1333+--- + 1339 + -- + 1349 +--- + 1359 +---+ 1369 + ---+ 1399 + 1401 + 1403 +
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+ 1404 + --- + 1465 + 1467 + 1469. Ho scritto in orma abbreviata la somma di 69 dispari
consecutivi da 1333 a 1469.
Calcoliamo il posto dell’addendo maggiore Pnd = (nd + 1)/2 → 1469+1)/2 = 735.
Adesso dal posto occupato dall’addendo maggiore si sottrae 69 perché gli addendi sono 69!!!).
Allora 7352 – 6662 = 540225 – 443556 = 96669; [a = 735; b = 735 – 69 = 666]
6) 207 addendi: (96669 = 207 × 467)
96669 = 261 + 263 + 265 + ---+ 467 + …+ 571 +573 +-- + 581+ 671 +673
Somma di 207 dispari consecutivi da 261 a 673. (il termine centrale è 467)
Calcoliamo il posto dell’addendo maggiore Pnd = (nd + 1)/2 → (673+1)/2 = 337.
Adesso dal posto occupato dall’addendo maggiore si sottrae 207 perché gli addendi sono 207!!!).
Allora 3372 – 1302 = 113569 – 16900 = 96669;
Attenzione
Per i palindromi PARI, si procede nello stesso modo prendendo però sempre un numero pari
di addendi che siano, naturalmente tutti dispari consecutivi.
Dobbiamo inoltre verificare che il palindromo pari da scomporre nella differenza di due
quadrati sia almeno multiplo di 4.
Come esempio prendiamo il numero 424.
424 può essere scomposto nella differenza di due quadrati in quanto è un multiplo di 4.
Lo scomponiamo ottenendo 424 = 23 × 531.
424 ha 8 divisori [(3 + 1) (1 +1)] = 8. D(424) = {1, 2, 4, 8, 53, 106. 212, 424}
Quindi 424 = (1 × 424) = (2 × 212) = (4 × 106) = (8 × 53). Di queste coppie moltiplicative
prendiamo solo quelle che non presentano fattori dispari. Quindi 424 si può scomporre solo nella
somma di 2 o 4 dispari consecutivi.
Due addendi (numeri dispari consecutivi): 211 + 213 = 424. Calcoliamo il posto
dell’addendo maggiore Pnd = (nd + 1)/2 → (213 + 1)/2 = 107.
Adesso dal posto occupato dall’addendo maggiore si sottrae 2 perché gli addendi sono 2
(107 – 2 = 105).
Allora 1072 – 1052 = 11449 – 11025 = 424.
Quattro addendi (numeri dispari consecutivi): 103 +105 +107 + 109 = 424. Calcoliamo
il posto dell’addendo maggiore Pnd = (nd + 1)/2 → (109 + 1)/2 = 55. a = 55: b = 51.
Adesso dal posto occupato dall’addendo maggiore si sottrae 4 perché gli addendi sono 4
(55 – 4 = 51).
Allora 552 – 512 = 3025 – 2601 = 424.
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