Solo quello che ti interessa | Geometrie non euclidee - Anallisi del quinto postulato nella
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Geometrie non euclidee - Anallisi del quinto
postulato nella storia
- Il quinto postulato è stato posto ad analisi e critiche fin dall’Antichità. La
maggior parte dei matematici era convinta (a torto) che il quinto postulato
poteva essere provato a partire dagli altri postulati e quindi dimostrare che in
realtà il quinti postulato è un teorema.
- Tutti i tentativi di dimostrare questa tesi conducevano sempre a risultati che in
realtà non erano altro altre rappresentazioni del quinto postulato o
affermazioni derivate da esso. L’analisi si Proclo - Filosofo bizantino pagano (412-485), fece molte riflessioni sul quinto postulato.
Fu il primo ad affermare che il quinto postulato era in realtà un teorema, pieno
di difficoltà.
- Voleva dimostrare che per un punto P esterno ad una retta r, passa solo una
parallela m.
- Per dimostrarlo, però, diede per assodato che per P passava per lo meno una
parallela ad r, che chiamò m (un qual cosa che però avrebbe dovuto far parte
della dimostrazione!). Partendo da ciò, volle provare che qualsiasi altra retta
passante per P, diversa da m, taglia r: L’unica parallela quindi rimaneva solo m
.
- Considerò, quindi, una retta n passante per P diversa da m e chiamò Q il piede
della perpendicolare di P su r. Dedusse che n non poteva essere la retta
passante per P e Q, perché è palese che questa taglierebbe m in Q. Allora
considerò un punto Y in n e chiamò Z il piede della perpendicolare di Y in m.
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- Si può far scivolare il punto Y verso destra e trascinare di conseguenza anche
YZ. Si osserva quindi che la dimensione di YZ cresce proporzionalmente a
quanto ci si sposta. Siccome la distanza tra m ed r è costante, si deduce che
prima o poi n incontrerà r. Con questo Proclo considera dimostrato il quinto
postulato.
- Si noti però che si da per scontato che la distanza tra m ed r sia
costante, e che quindi m ed r non si incontrano. In sintesi però Proclo non
dimostrò il quinto postulato, ma fece emergere che dimostrare il quinto
postulato equivale a dimostrare che una parallela ad una retta data dista da
questa una lunghezza costante, ovvero il postulato delle parallele di Playfair. Nel Medioevo - Nel mondo arabo, il matematico Ibn-al-Haiham (965-1039), uno dei più
importanti e geniali scienziati del mondo islamico, conosciuto in occidente
come Alhazen, si occupò del quinto postulato.
- Partendo dalla premessa “se un quadrilatero ha tre angoli retti, lo è anche il
quarto”, giustificò che per un punto esterno ad una retta passa una sola
parallela. La sua giustificazione si basa sul fatto che il luogo geometrico dei
punti equidistanti da una retta è anch’esso una retta. Si noti che però anche lui
usò l’argomento dell’equidistanza. La premessa di partenza, quindi, è esso
stesso il quinto postulato; ovvero utilizza il quinto postulato per dimostrare il
quinto postulato!
- Il persiano Omar Khayam (1050-1123), astronomo e matematico che studiò
la geometria. Nella sua opera La verità delle parallele e discussioni sul famoso
dubbio, si trovano alcune argomentazioni che, 600 anni dopo, saranno
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sviluppate dal matematico italiano Giovanni Saccheri (1667-1733). Il
persiano prese un quadrilatero ABCD in modo che i lati AD e CB fossero
congruenti e gli angoli a vertici A e B fossero retti. Dimostrò che anche i vertici
C e D erano anch’essi congruenti, ma non provò che fossero necessariamente
retti. Un quadrilatero con queste caratteristiche, quindi potrebbe avere il
seguente aspetto
L’età moderna - Nel Rinascimento si distinse Christopher Clavio (1538-1612) che realizzò una
edizione commentata de Gli elementi (1584). Aggiunse altre proporzioni fino
ad arrivare a 1.234.
- Una edizione approdò persino in Cina e fu di riferimento per Saccheri e
Cartesio.
- Per i suoi approfondimenti fu soprannominati l’“Euclide del XVI secolo”.
- Contribuì al passaggio al calendario gregoriano (voluto nel 1582 da Papa
Gregorio XII).
- Clavio fece un “tentativo” di dimostrazione del quinto postulato, che però
usava lo stesso postulato: una linea equidistante ad una linea retta è
anch’essa una retta (ancora concetto di equidistanza).
- Il professore di Oxford John Wallis (1616-1703), uno dei pionieri del calcolo
moderno, diede una nuova interpretazione del quinto postulato,
abbandonando l’idea di equidistanza e ragionando sui triangoli. Dimostrò che:
dato un qualunque triangolo se ne può costruire un altro con angoli uguali e
proporzionali. Senza dubbio questo continua ad essere equivalente al famoso
postulato. page 3 / 7
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- Tutte le argomentazioni si scontravano, quindi, nel modo o nell’altro, con
risultati derivati o equivalenti al quinti postulato. Questo perché condividevano
il fatto che usavano ciò che volevano dimostrare nella dimostrazione stessa. Il quadrilatero di Saccheri - Giovanni Saccheri (1667-1733) entrò negli ordini dei gesuiti fin da giovane e
fu professore di teologia e filosofia (a Milano e Torino). Si dedicò allo studio del
quinto postulato.
- Fece una dimostrazione per assurdo, anche se, si rese conto che non arrivò ad
una contraddizione convincente.
- I suoi lavori suggerivano timidamente l’esistenza di altre geometrie che
potevano nascere dall’impossibilità di non giungere ad una contraddizione
negando la tesi del quinto postulato. Negando il quinto postulato, senza
saperlo, proponeva geometrie alternative dove, appunto, questo veniva
sostituito dalle varie alternative di negazione dello stesso.
- Partì dall’idea di Omar Khayam e considerò gli stessi quadrilateri, con due lati
congruenti e due angoli retti. Questi tipi di figure vengono chiamati
quadrilateri di Saccheri.
- Per dimostrare il quinto postulato, Saccheri dimostrò che anche gli atri due
angoli sono retti. Dall’ipotesi del persiano sappiamo che gli altri due angoli
sono uguali, ma però ci possono essere tre alternative per gli altri due angoli
(B e C): ipotesi dell’angolo retto, ipotesti dell’angolo ottuso (maggiore di 90°) e
ipotesi dell’angolo acuti (minore di 90°):
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- Saccheri dimostrò che il postulato delle parallele equivale all’ipotesi
dell’angolo retto e cercò di dimostrare che le altre due ipotesi portavano
all’assurdo. Nel caso dell’angolo ottuso riuscì ad arrivare ad una
contraddizione, ma nel caso dell’angolo acuto non riuscì ad arrivare a nessuna
contraddizione. Questa contraddizione in effetti non esiste: l’ipotesi dell’angolo
acuto è uno dei fondamenti della geometria non euclidea.
- Con l’ipotesi dell’angolo acuto e ottuso Saccheri dimostrò numerosi risultati
della geometria non euclidea. Anzi segnalò che le tre ipotesi (retto, ottuso e
acuto) equivalgono rispettivamente a supporre che la somma degli angoli
interni di un triangolo sia uguale, maggiore o minore di 180 gradi.
- Con l’ipotesi dell’angolo acuto dimostrò anche risultati insoliti, per la geometria
Euclidea, ma non per quella che poi venne definita iperbolica: consideriamo
un punto P esterno ad una retta r ed il fascio di rette passanti per P, esistono
due rette limite (dette asintotiche ad r), m ed n che dividono il fascio di rette
in due parti, in una si trovano tutte le rette che incontrano r ( quelle rosse) e
nell’altra quelle che non la incontrano (quelle verdi). page 5 / 7
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- La versione iperbolica mostra le rette m ed n incurvate, non perché lo siano
nella realtà, ma per offrire una visione di esse che non si presti a confusione
con la geometria euclidea. L’interpretazione delle rette curve è di maggiore
utilità intuitiva per comprendere e studiare la geometria iperbolica (in quanto,
visto che siamo costretti ad avere davanti la percezione euclidea delle cose,
l’uso delle rette curve in qualche modo ci fa pensare in “modo euclideo” anche
se non siamo nell’ambito euclideo).
- Nel lavoro di Saccheri si trovano i primi risultati della nuova geometria, ma
egli non ebbe l’audacia di approfondire. Davanti alla stranezza dei suoi
ragionamenti, egli stesso commentò: “l’ipotesi dell’angolo acuto è
assolutamente falsa, perché ripugna alla natura della retta”. Altri tentativi e conclusione di non dimostrabilità - Johann Heinrich Lambert, matematico svizzero (1728-1777), scrisse La
teoria delle parallele. Al suo interno si formulava il dubbio se il quinto postulato
si potesse dedurre a partire dagli altri quattro o se invece fosse necessaria una
qualche ipotesi addizionale.
- Altri tentativi furono però dei circoli, che tornavano sempre al punto di
partenza e durante il percorso producevano enunciati stravaganti.
- Il problema è che si cercava di dimostrarlo, utilizzando sempre lo stesso
postulato.
- Col tempo, i matematici si convinsero che il postulato delle parallele fosse
realmente un postulato e non un teorema, e quindi non richiedeva
dimostrazione.
- D’altro canto però, non si riuscì a dimostrare la falsità della sua negazione
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(cioè che il postulato debba essere per forza vero).
- L’impossibilità di dimostrare il quinto postulato fece incamminare la storia
della geometria verso la concezione delle geometrie non euclidee.
- Quadrilatero di Lambert. Quello che ha un angolo diverso di 90°.
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