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2.3 Il postulato della parallela e le geometrie non euclidee
Mappa dell'Unità
In questo paragrafo si vuole approfondire il discorso riguardante il quinto postulato di Euclide. L'enunciato originale di
Euclide, nella traduzione di Tartaglia, afferma che:
Adimandiamo etiam che ci sia concesso, che se una linea retta cascarà sopra due linee rette, & che duoi angoli da
una parte siano minori di duoi angoli retti, che quelle due linee senza dubbio, protratte in quella medesima parte sia
necessario congiongersi.
Tale enunciato, in italiano attuale, dice che se una trasversale incontra due rette allora quelle due rette si incontreranno
dalla parte in cui la somma dei due angoli formati dalla retta e dalle trasversali è minore di un angolo piatto. La struttura
di questo postulato è del tipo Se… allora…, ed ha quasi l'aspetto di un teorema, ed è quindi ben diverso dai postulati
precedenti che affermavano, in pratica, la liceità delle costruzioni con riga e compasso.
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E' possibile formulare tale enunciato in modo equivalente come segue:
Date due rette parallele tagliate da una trasversale, la somma dei due angoli coniugati interni è pari ad un angolo
piatto.
E' stata fatta la supposizione che Euclide non fosse ben convinto da questo postulato, e ciò sarebbe dimostrato dal
fatto che per le prime 28 proposizioni non ne fa uso. Le prime 28 proposizioni sono pertanto derivate esclusivamente dai
primi 4 postulati, e formano quella che oggi viene chiamata geometria assoluta (ossia indipendente dal quinto
postulato).
Non si può però fare a meno di esso per dimostrare importanti risultati quali:
- Rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti.
- La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.
- Il teorema di Pitagora.
Essi sono risultati mancando i quali l'intera struttura della geometria non sarebbe la stessa, e pertanto si suppone che
Euclide, non trovando niente di meglio, lo inserì tra i postulati.
La struttura del postulato simile a un teorema fece sì che numerosi matematici pensarono che fosse possibile
ricavare tale postulato come teorema a partire dai primi 4 postulati. Se si fosse riusciti a dimostrare il quinto postulato
dai primi 4 tutta la geometria sarebbe rimasta valida anche partendo dai primi 4 postulati e pertanto, nel corso dei secoli,
si succedettero numerosi tentativi di dimostrazione.
Uno dei primi a cimentarsi nell'impresa fu Posidonio (135-51 a.c.), che definì le rette parallele come
Due rette sono dette parallele se giacciono sullo stesso piano e, venendo prolungate indefinitamente, mantengono
costante la loro distanza.
La definizione di Posidonio implica la definizione di parallelismo di Euclide ma non vale il viceversa, pertanto tale
tentativo non bastò a eliminare il quinto postulato. Successivamente si cercò di sostituire il quinto postulato con postulati
ad esso equivalenti, in maniera da riuscire a dimostrare comunque gli stessi risultati di Euclide senza però essere
costretti a utilizzare il quinto postulato. Tali asserti che andavano a sostituire il quinto postulato presentavano però
elementi di indeterminatezza pari o superiori a quelli presenti nel quinto postulato. Proclo (410-485) provò a utilizzare le
ipotesi che:
- Prolungando due rette qualsiasi che si intersecano la distanza tra due punti presi sulle due rette può essere grande a
piacere.
- La distanza tra due rette parallele rimane costante.
Non riuscì però a dimostrare che dati infiniti punti equidistanti da una retta essi formano una linea retta, in quanto la
linea retta è un concetto primitivo e non può essere utilizzato nelle dimostrazioni.
John Wallis (1616-1703) sostituì il postulato con l'affermazione che:
- Dato un triangolo è possibile costruirne uno simile.
Nella tradizione didattica si usa invece il seguente postulato, chiamato quinto postulato di Euclide, ma in realtà si
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dovrebbe chiamare postulato di Playfair (1759-1823).
Data una retta r e un punto P non appartenente ad essa esiste un'unica retta parallela alla retta r e passante per P.
Si può dimostrare però che l'assioma di Playfair non è equivalente al quinto postulato di Euclide, in quanto dall'assioma
di Playfair si può dedurre il quinto postulato di Euclide, mentre dal quinto postulato di Euclide non si può dedurre il
postulato di Playfair.
Uno dei più importanti tentativi di dimostrare il quinto postulato fu di Gerolamo Saccheri.
Saccheri (1667-1733) è stato un frate gesuita e un matematico italiano. Saccheri scrisse delle opere di logica e di
statica. L'anno della sua morte pubblicò il lavoro più importante per il quale egli è conosciuto ai giorni nostri: "Euclide
riscattato da ogni difetto". In tale opera egli dimostra per assurdo che il quinto postulato di Euclide può essere ricavato
dai primi 4 postulati come teorema. Esponiamo qui la traccia della sua dimostrazione in quanto è proprio da essa che
partiranno tutti gli studi successivi che approfondiranno il tema della geometria euclidea e non euclidea. La
dimostrazione originale di Saccheri è lunga, tecnica e complessa, e qui se ne presenta un breve riassunto.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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