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7.4 Le basi della geometria euclidea
Mappa dell'Unità
Euclide (300 a.c.) fu un matematico greco. Il suo libro "Elementi" è il libro più letto nella storia dopo la Bibbia. Negli
"Elementi" Euclide raccoglie e ordina le conoscenze della geometria della Grecia antica; ancora oggi, dopo 23 secoli, la
didattica della geometria fino alla seconda superiore segue in maniera abbastanza fedele la stessa traccia di Euclide!
Egli decide di fondare la teoria geometrica basandosi su 3 enti fondamentali (punto, retta, piano), e su 5 assiomi:
- È possibile tracciare una retta per due punti qualunque.
- È possibile prolungare una linea retta.
- È possibile costruire una circonferenza di raggio e centro qualunque.
- Gli angoli retti sono tra loro congruenti.
- Data una retta e un punto esterno a essa esiste un'unica retta parallela a quella data passante per il punto esterno.
A partire da questi enti e assiomi Euclide costruisce 465 teoremi, ossia 465 risultati che è possibile dedurre
logicamente dagli assiomi. Uno, di questi è, ad esempio: "La somma degli angoli in un triangolo qualunque è un angolo
piatto. "Tutti questi teoremi sono ancora oggi utilizzati. I matematici nel corso dei secoli espressero dei dubbi sul quinto
postulato, in quanto pensarono che fosse possibile dedurlo dagli altri quattro assiomi. A Euclide per primo
probabilmente non piaceva granché, infatti lo utilizzò il minimo indispensabile. Per molti secoli si cercò di dimostrare il
quinto postulato a partire dai primi quattro, in modo da poterlo eliminare come postulato e poterlo considerare come
teorema.
Per dimostrare il quinto postulato a partire dai primi quattro si utilizzò talvolta la tecnica della dimostrazione per
assurdo, ossia si suppose che il postulato non fosse vero e si cercarono delle contraddizioni.Intorno al 1600 alcuni
matematici dimostrarono il quinto postulato come teorema a partire dai primi quattro, ma si scoprì successivamente
che tale dimostrazione conteneva errori!
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Il quinto postulato (in una versione quasi equivalente a quella originaria di Euclide) afferma che:
Quinto postulato di Euclide
Data una retta e un punto esterno a essa esiste un'unica retta parallela a quella data passante per il punto esterno.
La geometria che fa uso del quinto postulato è detta Geometria Euclidea. Per negare tale postulato ci sono due modi.
Negazioni del quinto postulato
• I modo: Data una retta e un punto esterno a essa non esistono rette parallele a quella data passanti per il punto
esterno.
La geometria che utilizza questo postulato al posto del quinto postulato è detta geometria ellittica.
• II modo: Data una retta e un punto esterno a essa esistono infinite rette parallele a quella data passanti per il
punto esterno.
La geometria che utilizza questo postulato al posto del quinto postulato è detta geometria iperbolica.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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