Enrico Borghi
QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO SCALARE HERMITIANO
E. Borghi - Quantizzazione del campo scalare hermitiano
Richiami a studi presenti in “fisicarivisitata”
Leggendo la “Quantizzazione del campo scalare hermitiano” si incontrano richiami ai seguenti studi:
(a) Introduzione alla quantizzazione dei campi
(b) Il teorema di Nöther
che fanno parte di “fisicarivisitata” e che devono essere ben noti a chi si interessa alla
quantizzazione dei campi seguendo la presentazione che di questo argomento viene data in
questo studio.
2
E. Borghi - Quantizzazione del campo scalare hermitiano
Per quantizzare il campo scalare reale seguiremo la procedura delineata nello studio (a)
salvo il fatto che le espressioni degli operatori associati alle variabili dinamiche verranno
determinate non come indicato al punto 7. di quello studio, ma facendo ricorso al Teorema
di Nöther (v. pag. 11 dello studio (a)).
A questo scopo assumiamo come densità lagrangiana del campo reale ψ l’espressione (1)
dello studio (a) che riscriviamo cosı̀
∂ψ
L ψ, α
∂x
=−
1
∂ψ
∂ψ
1
ih̄g βµ β ih̄ µ − m0 cψ 2
2m0c
∂x
∂x
2
;
[L] = MLT −1 [ψ 2 ]
(1)
Da questa, essendo
∂ψ
1
∂ψ
1
∂ψ
∂L
1
=−
ih̄g αµ ih̄ µ −
ih̄g βαih̄ β = −
ih̄ih̄
∂ψ
2m0 c
∂x
2m0 c
∂x
m0 c
∂xα
∂
α
∂x
si ricava il tensore densità di energia-momento (v. eq. (21) dello studio (b))
T αβ = −
1
∂ψ ∂ψ
ih̄ih̄
− δ αβ L
m0 c
∂xα ∂xβ
;
α, β = 0, 1, 2, 3
(2)
da cui si ottiene il quadrivettore energia-momento espresso dall’eq. (25) dello studio (b)
che qui riscriviamo:
Pβ =
Z
T 0β dR
h̄2
=
m0 c
Z
∂ψ ∂ψ
dR − δ 0β
∂ct ∂xβ
Z
LdR ;
L’energia vale:
h̄2
P0 =
m0 c
Z 2
h̄2
dR −
2m0 c
0
P E/c
P≡
≡
±P
±P
(3)
Z
1
∂ψ ∂ψ
dR + m0 c ψ 2 dR
∂xµ ∂xµ
2
(
)
Z
Z
Z
2
2
h̄2
∂ψ
h̄2
∂ψ
1
=
dR −
− (∇ψ) · (∇ψ) dR + m0 c ψ 2 dR
m0 c
∂ct
2m0 c
∂ct
2
(
)
2
2
Z h̄2
∂ψ
1 ∂ψ
1
m2 c 2
=
−
+ (∇ψ) · (∇ψ) + 0 2 ψ 2 dR
m0 c
∂ct
2 ∂ct
2
2h̄
(
)
Z
2
h̄2
∂ψ
m20 c2 2
=
+ (∇ψ) · (∇ψ) +
ψ dR
(4)
2m0 c
∂ct
h̄2
∂ψ
∂ct
Z
La parte spaziale del quadrivettore energia-momento è espressa da
Pk =
Z
T 0k dR
h̄2
=
m0 c
Z
∂ψ ∂ψ
dR ;
∂ct ∂xk
k = 1, 2, 3
(5)
Del momento angolare e dello spin del campo (che è nullo perché il campo è scalare) si
parla a pag. 8 dello studio (b).
3
E. Borghi - Quantizzazione del campo scalare hermitiano
Dalla (66) dello studio (b) ricaviamo l’espressione della corrente del campo
∂L
∂L
iψ − ∗ iψ ∗
∂ψ
∂ψ
∂
∂
∂xγ
∂xγ
jγ =
che risulta essere nulla perché il campo che stiamo considerando è reale e quindi ψ = ψ ∗ .
Assumiamo come variabile lagrangiana l’eq. (21) dello studio (a), che è stata ottenuta
normalizzando in una scatola di volume V l’eq. (17) dello stesso studio (a):
r
r
o
1 X
c n
ψ(R) =
a(k)e−ik·R + a† (k)eik·R
V
2ωk
k
Per motivi che appariranno chiari più avanti, introduciamo alcune costanti effettuando la
sostituzione
r r
r
1
1 m0 c
a
(6)
da
V
V
h̄
e si ha cosı̀, in definitiva:
ψ(R) =
r
1 X
V
k
s
o
m0 c 2 n
a(k)e−ik·R + a† (k)eik·R
2h̄ωk
(7)
Per determinare l’energia P0 occorre esplicitare i termini che compaiono nell’integrando a
membro destro della (4). Si ottiene:
s
r
o
X
1
m0 c 2 n
∇ψ =
ika(k)e−ik·R − ika† (k)eik·R
V
2h̄ωk
k
s
r
o
1 X m0 c 2 n
−ik ·R
†
ik ·R
=
ik a(k)e
− a (k)e
V
2h̄ωk
k
ωk
ωk 0
0
0
ct − k · R e k · R =
ct − k · R, si ha
c
c
0
0
1 X m0 c 2
0
0
0
• ∇ψ · ∇ψ = −
k
·
k
a(k)a(k )e−i(k+k )·R − a(k)a† (k )e−i(k−k )·R +
√
V
2h̄ ωk ωk0
0
e quindi, essendo k · R =
k,k
0
0
0
0
−a† (k) a(k )ei(k−k )·R + a† (k)a† (k )ei(k+k )·R
e si ottiene anche
∂ψ
=
∂ct
r
=−
1 X
V
r
k
s
1 X
V
k
m0 c 2
2h̄ωk
s
−iωk
iωk †
a(k)e−ik·R +
a (k)eik·R
c
c
o
m0 c2 iωk n
a(k)e−ik·R − a† (k)eik·R
2h̄ωk c
4
(8)
E. Borghi - Quantizzazione del campo scalare hermitiano
e quindi si ha
2
0
∂ψ
1 X m 0 c 2 ωk ωk 0 0 −i(k +k0 )·R
† 0 −i(k−k )·R
)e
−
a(k)a
(k
)e
+
•
=−
a(k)a(k
√
∂ct
V
2h̄ ωk ωk0 c2
0
k,k
0
0
0
0
−a† (k) a(k )ei(k−k )·R + a† (k)a† (k )ei(k+k )·R
(9)
e infine
•
ψ2 =
0
0
1 X m0 c 2 0
0
a(k)a(k )e−i(k+k )·R + a(k)a† (k )e−i(k−k )·R +
√
V
2h̄ ωk ωk0
k,k0
0
0
0
0
+a† (k)a(k )ei(k−k )·R + a† (k)a† (k )ei(k+k )·R
(10)
Sostituendo nella (4) le espressioni (9), (8) e (10) e tenendo conto del fatto che
Z
Z
Z X
h̄2
m20 c2 2
1
m0 c 2
1
1
2
ψ
dR
=
m
c
ψ
dR
=
m
c
(. . . ) dR
√
0
0
2m0 c
2
2
V
2h̄ ωk ωk0
h̄2
0
k,k
Z X
m20 c2
h̄c
(. . . ) dR
=
2√
2V
0
2h̄
ω
ω
k
k
0
k,k
si ottiene
h̄c
P0 =
2V
Z X n − ωk ωk 0 − k · k 0 0
0
2
0
0
c√
a(k)a(k )e−i(k+k )·R − a(k)a† (k )e−i(k−k )·R +
2 ωk ωk 0
k,k0
0
0
0
0
−a† (k) a(k )ei(k−k )·R + a† (k)a† (k )ei(k+k )·R +
0
0
m2 c 2
0
0
+ 2 √0
a(k)a(k )e−i(k+k )·R + a(k)a† (k )e−i(k−k )·R +
2h̄ ωk ωk0
o
0
0
0
0
+a† (k) a(k )ei(k−k )·R + a† (k)a† (k )ei(k+k )·R dR
Raccogliendo opportunamente segue
Z X
0
h̄c
1
ωk ωk 0
m20 c2
0
0
P0 =
− 2 −k·k +
a(k)a(k )e−i(k+k )·R +
√
2
2V
2 ωk ωk 0
c
h̄
k,k0
0
ωk ωk 0
m20 c2
0
0
+
+k·k +
a(k)a† (k )e−i(k−k )·R +
2
2
c
h̄
ωk ωk 0
m20 c2
0
0 i(k−k0 )·R
†
+
+
k
·
k
+
a
(k)a(k
)e
+
c2
h̄2
0
ωk ωk 0
m20 c2
0
†
† 0 i(k+k )·R
+ − 2 −k·k +
a (k)a (k )e
dR
c
h̄2
Ora osserviamo che
1
V
Z
0
−i(k+k )·R
e
1
dR = e−i(ωk +ωk0 )t
V
5
Z
0
ei(k+k )·R dR
(11)
E. Borghi - Quantizzazione del campo scalare hermitiano
e anche
1
V
Z
0
−i(k−k )·R
e
1
dR = e−i(ωk −ωk0 )t
V
Z
0
ei(k−k )·R dR
(12)
Ricordando una delle possibili definizioni della funzione δ di Dirac (v. l’eq. (N8) della
Appendice N dello studio “Reinterpretare l’Elettromagnetismo maxwelliano per spiegare
la Meccanica quantistica”) che qui riscriviamo
Z
1
e±i(R−ξ)·k dk = δ(R − ξ),
(2π)3
adattando le variabili al caso presente e tenendo conto del fatto che ora k è una quantità
discreta (v. pag. (8) dello studio (a)) si ha
Z
0
1
e±i(k−k )·R dR = δkk0
(13)
V
perciò la (11) diviene
1
V
Z
0
e−i(k+k )·R dR = e−i(ωk +ωk0 )t δk(−k0 )
e la (12)
1
V
cosicché
h̄c X X
1
P0 =
√
2
2 ωk ωk 0
0
k
k
Z
0
e−i(k−k )·R dR = e−i(ωk −ωk0 )t δkk0
(14)
m20 c2
ωk ωk 0
0
0
a(k)a(k )e−i(ωk +ωk0 )t δk(−k0 ) +
− 2 −k·k + 2
c
h̄
ωk ωk 0
m20 c2
0
0
+
+k·k +
a(k)a† (k )e−i(ωk −ωk0 )t δkk0 +
2
2
c
h̄
m20 c2
ωk ωk 0
0
0
+k·k +
+
a† (k)a(k )ei(ωk −ωk0 )t δkk0 +
2
2
c
h̄
ωk ωk 0
m20 c2
0
†
† 0 i(ωk +ωk0 )t
+ − 2 −k·k +
a (k)a (k )e
δk(−k0 )
c
h̄2
da cui, per la proprietà fondamentale della funzione δ di Dirac
ωk ω(−k)
1
h̄c X
m20 c2
P0 =
−
− k · (−k) +
a(k)a(−k)e−i(ωk +ω(−k) )t +
√
2
2
2 ωk ω(−k)
c2
h̄
k
2
ωk
m20 c2
ωk2
m20 c2
2
2
†
+
+k +
a(k)a (k) +
+k +
a† (k)a(k)+
c2
c2
h̄2
h̄2
ωk ω(−k)
m20 c2
†
†
i(ωk +ω(−k) )t
+ −
− k · (−k) +
a (k)a (−k)e
c2
h̄2
Ora occorre tener presente la (9) dello studio (a) che qui riscriviamo
ωk2
m20 c2
2
=
k
+
c2
h̄2
6
E. Borghi - Quantizzazione del campo scalare hermitiano
e dalla quale risulta che ω(−k) = ωk cosicché
h̄c X 1
ωk2
m20 c2
2
P0 =
a(k)a(−k)e−i(ωk +ω(−k) )t +
− 2 +k +
2
2
2ωk
c
h̄
k
2
2
ωk
m20 c2
ωk
m20 c2
2
2
†
+
+k +
a(k)a (k) +
+k +
a† (k)a(k)+
2
2
2
c2
c
h̄
h̄
2 2
2
ωk
m0 c
2
†
†
i(ωk +ω(−k) )t
a (k)a (−k)e
+ − 2 +k +
c
h̄2
e quindi
P0 =
h̄c X 1 ωk2 2 2 a(k)a† (k) + a† (k)a(k)
2
2ωk c
(15)
k
da cui
P0 =
1 X h̄ωk a(k)a† (k) + a† (k)a(k)
2
c
(16)
k
*
*
*
È bene sottolineare che finora non abbiamo introdotto nessun procedimento di quantizzazione del campo scalare hermitiano, che è stato descritto da una coordinata lagrangiana di
campo ψ ottenuta risolvendo una equazione d’onda classica e normalizzando in una scatola
(anche se i prodotti di a(k) e a† (k) sono stati trattati avendo in mente che diventeranno
prodotti di operatori e per questo motivo a(k)a† (k) è stato tenuto distinto da a† (k)a(k)).
Assumiamo ora, in accordo con il punto 5. dello studio (a), che ψ sia un operatore espresso
in funzione dell’operatore di distruzione a(k) e dell’operatore di creazione a† (k) cosicché la
(16) diviene un’equazione operatoriale che descrive l’operatore energia P0 in termini degli
operatori a(k) e a† (k).
Tenendo presente la (45) dello studio (a) che qui riscriviamo: [a(k), a† (k)] = 11 e ricordando
l’espressione dell’operatore numero di occupazione N (k) = a† (k)a(k) (v. eq. (47) dello
studio (a)) si ha
a(k)a† (k) = a† (k)a(k) + 11 = N (k) + 11
(17)
La (16) diviene
P0 =
1 X h̄ωk 1 X h̄ωk N (k) + 11 + N (k) =
2N (k) + 11
2
c
2
c
k
k
e infine
P0 =
X h̄ωk N (k) + 21 11
c
(18)
k
Questo è l’operatore energia del sistema di particelle identiche non interagenti descritto
dall’operatore ψ e avente stato |Ψi.
Il valor medio di P0 è espresso da
hP0 i =
X h̄ωk X h̄ωk E
= hΨ|
N (k) + 21 11 |Ψi =
hΨ|N (k)|Ψi + 21 hΨ|Ψi
c
c
c
k
k
7
E. Borghi - Quantizzazione del campo scalare hermitiano
ovvero, tenendo conto della (52) dello studio (a):
X
E=
h̄ωk (nk + 21 )
(19)
Con sviluppo analogo si ottiene per l’operatore momento l’espressione
X
P =
h̄kk N (k) + 21 11
(20)
Il valor medio dell’operatore momento P è espresso da
X
P =
h̄k k nk
(21)
k
k
k
Si noti che nella (21) la P , che è una variabile dinamica, è uguale alla P che compare nella
(20) come operatore. Si tratta, ovviamente, di due quantità diverse che sembrano essere
state definite in un medesimo modo solo perché, per semplicità, nella P che compare nella
(20) la natura di operatore non è stata esplicitata
da un qualche segno tipografico.
P
Si noti anche che nella (21) il termine 21 k h̄k k si annulla perché la somma riguarda
addendi che hanno tutte le direzioni, cosicché per ogni k vi è anche un −k che, sommato
con k, dà zero.
*
*
*
Come si vede dalla (19), l’energia del campo scalare hermitiano appare essere espressa come
somma di termini ciascuno associabile all’energia quantistica di nk particelle che risultano
essere non dotate di spin, in accordo col fatto che questo non è definibile in un campo
scalare, e non dotate di carica, in accordo col fatto che questa non è definibile in un campo
reale.
Conviene notare che l’energia di ogni particella ha l’espressione quantisticamente corretta
E = h̄ω in virtù della scelta, nella (7), delle costanti e delle posizioni (12) dello studio (a).
Analogo discorso può essere fatto per il momento P = h̄k.
Riferendosi alle (19) e (21) si usa dire che una particella è un quanto del campo.
Ciò equivale a dire che “certo tipo di particella” e “quanto di un certo tipo di campo ad
essa associato” vengono considerati concetti equivalenti. Nel caso che stiamo considerando
si ha:
particella priva di carica e di spin ≡ quanto di un campo scalare reale
*
*
*
Osserviamo che se nk = 0 per ogni k, cioè se non vi sono particelle, l’energia non si annulla
ma diviene
1X
E0 =
h̄ωk
(22)
2
k
Questa espressione è nota col nome di energia di punto zero. Il valore di E0 , una volta
effettuata la somma su tutti i k, tende all’infinito.
Questo fatto, che riguarda anche P , è caratteristico della procedura di quantizzazione di
tutti i campi, non solo di quello scalare reale che stiamo considerando. Esso costituisce un
8
E. Borghi - Quantizzazione del campo scalare hermitiano
problema che, allo stato attuale dello sviluppo della Fisica, viene semplicemente ignorato
facendo ricorso a procedure di eliminazione degli infiniti che verranno presentate nella
digressione che segue.
*
*
*
Per far scomparire i termini divergenti (quelli associati al vuoto) nelle espressioni degli
operatori associati alle variabili dinamiche, si può procedere anche in un altro modo postulando per le forme covarianti bilineari la prescrizione di ordinamento normale, a seguito
della quale vengono generati prodotti normali di operatori, cioè prodotti in cui (v. l’eq. (5)
dello studio (a)) gli operatori di distruzione (parte a frequenza positiva)
ψ
(+)
(R) =
+∞r
Z
−∞
c
a(k)e−ik·R dk =
2ωk
+∞r
Z
−∞
c
a(k)e−i(+ωk t−k·R) dk
2ωk
sono tutti a destra degli operatori di creazione (parte a frequenza negativa).
ψ (−) (R) =
+∞r
Z
−∞
c †
a (k)eik·R dk =
2ωk
+∞r
Z
−∞
c †
a (k)e−i(−ωk t+k·R) dk
2ωk
Vediamo in dettaglio di che cosa si tratta.
Gli operatori di campo sono espressi, come sappiamo, dalla somma di una parte a frequenza
positiva e di una a frequenza negativa.
Segue da ciò che il prodotto ordinario degli operatori ψ(R) = ψ (+) (R) + ψ (−) (R) e ϕ =
ϕ(+)(R) + ϕ(−)(R) è espresso da
ψ(R)ϕ(R) = ψ
(+)
(R) + ψ
(−)
(+)
(−)
(R) ϕ (R) + ϕ (R)
= ψ (+) (R)ϕ(+)(R) + ψ (+) (R)ϕ(−) (R) + ψ (−) (R)ϕ(+)(R) + ψ (−) (R)ϕ(−) (R)
(23)
Ciò posto, il corrispondente prodotto normale per ψ e ϕ, per i quali assumiamo che valga la
regola di commutazione [a(k), a† (k)] = 11, si ottiene dalla (23) lasciando invariati i termini
in cui l’operatore di distruzione (+) è a destra di quello di creazione (−) e riscrivendo
con fattori invertiti, e senza tener conto delle regole di commutazione, i termini in cui
l’operatore di distruzione (+) è a sinistra di quello di creazione (−)
Il simbolo di prodotto normale è il prodotto ordinario preceduto e seguito da un doppio
punto:
: ψ(R)ϕ(R) := ψ (−) (R)ϕ(−)(R) + ψ (−) (R)ϕ(+)(R) + ϕ(−)(R)ψ (+)(R)+
+ ψ (+) (R)ϕ(+)(R) (24)
Esempio.
L’ordinamento normale applicato alla (16) dopo averla trasformata in relazione operatoriale
fornisce:
1 X h̄ωk : P0 :=
: a(k)a† (k) + a† (k)a(k) :
2
c
k
9
E. Borghi - Quantizzazione del campo scalare hermitiano
ovvero
: P0 :=
X h̄ωk
1 X h̄ωk †
a (k)a(k) + a† (k)a(k) =
N (k)
2
c
c
k
Il termine
1
2
(25)
k
X h̄ωk
11 è scomparso.
c
k
*
*
*
L’ordinamento normale è un artificio che, applicato agli operatori associati alle variabili
dinamiche definite dal Teorema di Nöther per un campo descrittore di un sistema di particelle, elimina i termini divergenti che la quantizzazione fa comparire nelle espressioni di
tali operatori.
Quale è il suo significato fisico?
Per rispondere a questa domanda consideriamo, per fissare le idee, l’operatore (v. l’eq. (18)):
P0 =
X h̄ωk N (k) + 21 11
c
k
e riscrivamolo cosı̀
P0 −
1
2
X h̄ωk
k
c
11 =
X h̄ωk
k
c
N (k)
Notiamo che il membro sinistro è la differenza fra P0 , operatore associato alla somma
dell’energia delle particelle-quanti del campo scalare hermitiano e dell’energia del vuoto, e
l’operatore associato all’energia del vuoto, mentre il membro destro coincide col membro
destro della (25).
Dunque la procedura di ordinamento normale permette di dare formulazione semplice e
immediata a quanto Dirac aveva proposto come interpretazione fisica della sua equazione
per l’elettrone, interpretazione che riportiamo dalla pag. 59 dello studio “L’equazione di
Dirac” presente in “fisicarivisitata” sostituendo l’elettrone con i quanti del campo scalare
hermitiano:
l’energia del sistema di quanti è la differenza fra l’energia totale del sistema “quanti +
vuoto” e l’energia del vuoto.
Ovviamente l’operazione di sottrazione fra quantità che tendono all’infinito è matematicamente non ben definita, tuttavia è in grado di fornire, in pratica, risultati soddisfacenti
e sarà ripresa, in un contesto più complicato, quando verrà trattata la quantizzazione di
campi in interazione.
10
