Enrico Borghi LE VARIABILI DINAMICHE DEL CAMPO SCALARE

Enrico Borghi
LE VARIABILI DINAMICHE DEL CAMPO SCALARE REALE
E. Borghi - Variabili dinamiche del campo scalare reale
Richiami a studi presenti in “fisicarivisitata”
Leggendo “Le variabili dinamiche del campo scalare reale” si incontrano richiami ai seguenti
studi
(a) L’equazione di Klein-Gordon
(b) Il teorema di Nöther
che fanno parte di “fisicarivisitata” e che devono essere ben noti a chi si interessa alle variabili dinamiche del campo scalare reale seguendo la presentazione che di questo argomento
viene data in questo studio.
*
*
*
Significato di alcuni dei simboli usati in questo studio:
ψ(R) significa ψ(x0 , x1 , x2 , x3 ) ;
ϕ(k) significa ϕ(k0 , k1 , k2 , k3 )
dR significa dx0 dx1 dx2 dx3 ; dk significa dk0 dk1 dk2 dk3
 0  

x
ct




=
 ; R = vettore posizione 3-dimensionale
R significa 
±R
±R
 0  

k   ω/c 

=
 ; k = vettore numero d’onde 3-dimensionale
k significa 
±k
±k
k · R significa kα Rα = kα Rα =
ω
ct − k · R = ωt − k · R ;
c
2
α = 0, 1, 2, 3
E. Borghi - Variabili dinamiche del campo scalare reale
Premessa
Simboli usati in questo studio:
m0 = massa a riposo di una particella;
————–
Meccanica pre-relativistica
• R = 3-vettore posizione newtoniana;
• U = 3-vettore velocità newtoniana;
• P = m0 U = 3-vettore momento newtoniano;
2
• E = P /2m0 = energia newtoniana di una particella libera;
• p = P + qc A = momento generalizzato di una particella con momento P e carica q soggetta a potenziale magnetico A;
q
1
• W = 2m0 (p − c A)2 + qϕ = energia di una particella con massa m0 , carica q, momento
generalizzato p e soggetta ai potenziali e.m. ϕ, A;
————–
Meccanica relativistica
• R = 4-vettore posizione;
• R = parte spaziale di R;


ct 


R=
±R
Il doppio segno di R indica controvarianza
• U = 4-vettore velocità;
• U = parte spaziale di U;
 0 
1
U 

= r
U=
±U
U2
1− 2
c
• P = m0 U = 4-vettore momento;
• P = parte
q spaziale di P;
•E=c
(+) e covarianza (−);


c 



±U
;
U= r
U
1−
U2
c2
2
m20 c2 + P = energia relativistica di una particella libera;
 0  

P   E/c 
P



P=

=

 ; P =r
±P
±P
U2
1− 2
c
• p = P + qc Φ = 4-momento generalizzato relativistico di una particella con massa m0 , carica q, momento P e soggetta a 4-potenziale elettromagnetico Φ ≡ ϕ, ±A;
• P = parte spaziale di p;

  E q

 0   P0 + q ϕ  
+ ϕ 



p  





c


c
c






p=
=

=




q


q
± P + A  
±P
± P+ A 
c
c
q
• W = qϕ + c m20 c2 + (P − qc A)2 = energia relativistica di una particella dotata di carica
q e soggetta a potenziale Φ ≡ ϕ, ±A
3
E. Borghi - Variabili dinamiche del campo scalare reale
Assumiamo come densità lagrangiana del campo scalare reale ψ in assenza di potenziale
l’espressione seguente (α, β, µ = 0, 1, 2, 3)
∂ψ
L ψ, α
∂x
=−
1
∂ψ
∂ψ
1
ih̄
ih̄ µ − m0 cψ 2
2m0 c ∂xµ ∂x
2
;
[L] = MLT −1 [ψ 2 ]
(1)
che riscriviamo cosı̀
∂ψ
L ψ, α
∂x
=−
1
∂ψ
∂ψ
1
ih̄g βµ β ih̄ µ − m0 cψ 2
2m0 c
∂x
∂x
2
Poiché
∂L
= −m0 cψ
∂ψ
e
1
∂ψ
1
∂ψ
∂L
=−
ih̄g αµ ih̄ µ −
ih̄g βαih̄ β
∂ψ
2m0 c
∂x
2m0 c
∂x
∂
α
∂x
1
αµ ∂ψ
βα ∂ψ
=−
ih̄ih̄ g
+g
2m0 c
∂xµ
∂xβ
1
∂ψ
∂ψ =−
ih̄ih̄ g αβ β + g αβ β
2m0 c
∂x
∂x
=−
(2)
1
∂ψ
ih̄ih̄
,
m0 c
∂xα
le equazioni di Lagrange espresse da
∂L
∂
− α
∂ψ ∂x
∂
∂L
=0 ;
∂ψ
∂xα
α = 0, 1, 2, 3
(3)
forniscono la seguente equazione del moto
−m0 cψ +
1
∂ ∂ψ
ih̄ih̄ α
=0
m0 c
∂x ∂xα
che è uguale all’equazione di Klein-Gordon (v. eq. (32) dello studio (a)) salvo il fatto che
ora ψ è reale:
m20 c2
∂ ∂
2
2
+
ψ(R) = 0 ;
≡
(4)
2
∂xα ∂xα
h̄
Ci proponiamo ora di mostrare come si ricava la coordinata lagrangiana di un campo
scalare reale integrando l’equazione del moto di questo campo.
4
E. Borghi - Variabili dinamiche del campo scalare reale
Consideriamo il seguente integrale 4-dimensionale di Fourier:
+∞
Z
ψ(R) =
ϕ(k)e−ik·R dk ;
ϕ(k) =
−∞
+∞
Z
ik·R
ψ(R)e
dR
;
−∞
Sostituiamo nella (4)
2
m2 c 2
+ 02
h̄
ψ(R) =
=
2
m2 c 2
+ 02
h̄
+∞
Z
2
−∞


k0 



k=
±k
(5)
+∞
Z
ϕ(k)e−ik·R dk = 0
−∞
m2 c 2
+ 02
h̄
ϕ(k)e−ik·R dk = 0
+∞
Z
m20 c2
2
=−
k −
ϕ(k)e−ik·R dk = 0
2
h̄
−∞
ovvero
m2 c 2
k − 02
h̄
2
ϕ(k) = 0
2
Da questa deduciamo che ϕ(k) può essere diverso da zero solo se k −
equivale ad assumere
m20 c2
2
ϕ(k) = δ k −
a(k)
h̄2
con a(k) arbitrario.
2
Infatti, per definizione di funzione delta di Dirac, se k −
2
2
m20 c2
h̄2
ϕ(k) 6= 0, mentre se k −
6= 0 si ha δ(k −
La soluzione della (4) è dunque espressa da
m20 c2
h̄2
m20 c2
h̄2
m20 c2
h̄2
= 0, il che
(6)
= 0 si ha δ(0) 6= 0 e quindi
) = 0 e quindi ϕ(k) = 0.
+∞ Z
m20 c2
2
a(k)e−ik·R dk
ψ(R) =
δ k −
2
h̄
(7)
−∞
Infatti se inseriamo la (7) nella (4) otteniamo
+∞
Z
m20 c2
m20 c2
2
2
k −
δ k −
a(k)e−ik·R dk = 0
2
2
h̄
h̄
−∞
equazione che è verificata per qualunque a(k) perché l’integrando contiene un termine del
tipo xδ(x) che vale zero perché se x 6= 0, allora δ(x) = 0 e quindi xδ(x) = 0, mentre se
x = 0, allora δ(0) 6= 0, ma 0 · δ(0) = 0.
Ora osserviamo che
m2 c 2
m2 c 2
2
2
k − 02 = k20 − k − 02
(8)
h̄
h̄
5
E. Borghi - Variabili dinamiche del campo scalare reale
e poniamo
ω 2 (k)
m20 c2
2
=
k
+
c2
h̄2
cosicché
2
k −
(9)
ω 2 (k)
m20 c2
2
=
k
−
0
c2
h̄2
(10)
e dunque la (7) diviene
+∞
Z
ω 2 (k) −ik·R
δ k20 −
a(k)dk
ψ(R) =
e
c2
−∞
Tenendo presente la nota proprietà della funzione delta di Dirac espressa da
δ(x2 − a2 ) =
1
{δ(x − a) + δ(x + a)}
2a
;
a>0
si può scrivere
+∞
Z
ψ(R) =
−∞
c
ω(k) −i(k0 ct−k·R)
δ k0 −
e
a(k0 , k)dk0 dk+
2ω(k)
c
+∞
Z
c
ω(k)
δ k0 − −
e−i(k0 ct−k·R) a(k0 , k)dk0 dk
+
2ω(k)
c
−∞
Integrando rispetto a k0 si ottiene
+∞
Z
c
e−i(ω(k)t−k·R) a(ω(k), k)dk +
2ω(k)
ψ(R) =
−∞
+∞
Z
c
e−i(−ω(k)t−k·R) a(−ω(k), k)dk
2ω(k)
−∞
Effettuiamo nel secondo integrale a membro destro la sostituzione k → −k. Tenendo conto
del fatto che ω(k) non cambia segue
ψ(R) =
+∞
Z
c
e−i(ω(k)t−k·R) a(ω(k), k)dk +
2ω(k)
−∞
Z
c
e−i(−ω(k)t+k·R) a(−ω(k), −k)d(−k)
2ω(k)
+∞
−∞
Segue ancora
ψ(R) =
+∞
Z
c
a(ω(k), k)e−ik·R dk +
2ω(k)
−∞
+∞
Z
c
a(−ω(k), −k)eik·R dk
2ω(k)
−∞
con
[ψ] = L−3/2
;
[a(ω(k), k)] = [a(−ω(k), −k)] = L1/2
6
(11)
E. Borghi - Variabili dinamiche del campo scalare reale
Conviene porre
a(ω(k), k) = a(k) ;
a(−ω(k), −k) = a(−k)
(12)
cosicché la (11) diviene
+∞
Z
+∞
Z
c
a(k)e−ik·R dk +
2ω(k)
ψ(R) =
−∞
c
a(−k)eik·R dk
2ω(k)
(13)
c
a† (−k)e−ik·R dk
2ω(k)
(14)
−∞
Ora osserviamo che
+∞
Z
c
a† (k)eik·R dk +
2ω(k)
ψ † (R) =
−∞
+∞
Z
−∞
Avendo assunto che la coordinata lagrangiana che stiamo trattando sia reale, deve risultare
ψ† = ψ
(15)
e quindi
a† (k) = a(−k) ;
cosicché
ψ(R) =
a† (−k) = a(k)
+∞
Z
−∞
o
c n
a(k)e−ik·R + a† (k)eik·R dk
2ω(k)
(16)
(17)
con
±ik · R = i(±k0 ct ∓ k · R)
(18)
La (17) è l’espressione della coordinata lagrangiana che ci eravamo proposti di determinare.
Ora poniamo
ψ
(+)
+∞
Z
+∞
Z
(19)
+∞
Z
(20)
ψ (−) = ψ (+)
(21)
c
a(k)e−ik·R dk =
2ω(k)
(R) =
−∞
ψ
(−)
(R) =
−∞
+∞
Z
c
a† (k)eik·R dk =
2ω(k)
−∞
cosicché
c
a(k)e−i(+k0 ct−k·R) dk
2ω(k)
c
a† (k)e−i(−k0 ct+k·R) dk
2ω(k)
−∞
†
Le ψ (+) (R) e ψ (−) (R), con riferimento al segno che precede k0 (che è considerato positivo),
sono dette rispettivamente parte a frequenza positiva e parte a frequenza negativa della
ψ(R). La (17) si può riscrivere cosı̀
ψ(R) = ψ (+)(R) + ψ (−) (R)
7
(22)
E. Borghi - Variabili dinamiche del campo scalare reale
Infine nel quadrispazio R ≡ R, ict, poiché è k ≡ k1 , k2 , k3 , k4 ≡ k, i ωc , si ha
±ik · R = ±i(k · R + k4 R4 ) =
(
i(±k · R ± k4 R4 )
− i(∓k · R ∓ k4 R4 )
(23)
cosicché
ω
±ik · R = i(±k · R ± i ict)
(24)
c
e quindi, se facciamo riferimento al segno che precede ω, le parti a frequenza positiva e
negativa sono espresse da
ψ
(−)
(R) =
+∞
Z
c
ω
a(k)ei(k·R+i c ict) dk =
2ω(k)
−∞
ψ
(+)
(R) =
+∞
Z
c
a(k)ei(k·R−ωt) dk
2ω(k)
(25)
−∞
+∞
Z
c
ω
a† (k)ei(−k·R−i c ict) dk =
2ω(k)
−∞
+∞
Z
c
a† (k)ei(−k·R+ωt) dk
2ω(k)
(26)
−∞
*
*
*
Passiamo ora alla determinazione delle variabili dinamiche del campo scalare reale ψ(R).
Il tensore densità di energia-momento si ricava dall’eq. (21)dello studio (b):
T αβ = −
1
∂ψ ∂ψ
ih̄ih̄
− δ αβ L
β
m0 c
∂xα ∂x
(27)
Ricordiamo che T αβ può essere considerato il tensore densità di energia-momento perché ψ
è un campo scalare (v. pag. 8 dello studio (b)).
Da T αβ si ottiene il quadrivettore energia-momento:
Pβ =
Z
T 0β dR
h̄2
=
m0 c
Z
∂ψ ∂ψ
dR − δ 0β
∂ct ∂xβ
Z
LdR ;
β = 0, 1, 2, 3
(28)
L’energia si ricava da
h̄2
P0 =
m0 c
Z ∂ψ
∂ct
2
h̄2
dR −
2m0 c
Z
∂ψ ∂ψ
1
dR + m0 c ψ 2 dR
µ
∂x ∂xµ
2
(
)
Z
Z
Z
2
2
h̄2
∂ψ
h̄2
∂ψ
1
=
dR −
− (∇ψ) · (∇ψ) dR + m0 c ψ 2 dR
m0 c
∂ct
2m0 c
∂ct
2
(
)
2
2
Z h̄2
∂ψ
1 ∂ψ
1
m2 c 2
=
−
+ (∇ψ) · (∇ψ) + 0 2 ψ 2 dR
m0 c
∂ct
2 ∂ct
2
2h̄
(
)
2
Z h̄2
∂ψ
m2 c 2
=
+ (∇ψ) · (∇ψ) + 02 ψ 2 dR
(29)
2m0 c
∂ct
h̄
Z
e vale W = cP0 .
8
E. Borghi - Variabili dinamiche del campo scalare reale
La parte spaziale del quadrivettore energia-momento è espressa da
Pk =
Z
T 0k dR
h̄2
=
m0 c
Z
∂ψ ∂ψ
dR ;
∂ct ∂xk
k = 1, 2, 3
(30)
Poiché T αβ è il tensore densità di energia-momento del campo, il tensore J γαβ , densità di
momento angolare, è espresso da
J γαβ = T γα xβ − T γβ xα
Il tensore momento angolare vale
Z
Z
αβ
0αβ
T 0α xβ − T 0β xα dR
J = J
dR =
(31)
(32)
Lo spin del campo è nullo (v. pag. 8 dello studio (b)).
La corrente associata al campo, espressa dall’eq. (66) dello studio (b), è nulla perché il
campo è reale.
9