40bis. Studio di funzione

Matematica
dott. Francesco Giannino
Studio di funzione
Siamo ora (finalmente!!!) in grado di
affrontare in modo completo il problema di
tracciare il grafico di una funzione f (x) a
partire dalla sua espressione analitica
Vediamo quali sono i passi obbligati nello
studio di funzione:
Promemoria per studio di funzione
1. Determinare il dominio di f
2. Valutare il comportamento di f agli estremi del dominio:
a. se il dominio è un intervallo chiuso e limitato, si calcola il
valore di f agli estremi dell’intervallo;
b. se il dominio è un intervallo limitato ma non chiuso, si
calcolano il limite destro ed il limite sinistro agli estremi;
(asintoti verticali)
c. se il dominio è un intervallo non limitato, si calcolano i limiti
a -  e a + (asintoti orizzontali)
d. Calcolare gli eventuali asintoti obliqui
3. calcolare la funzione derivata prima f ’ nei punti in cui esiste e
studiare gli eventuali punti in cui f è continua ma non derivabile
Promemoria per studio di funzione
4. determinare i punti stazionari soluzioni dell’equazione f ’(x)=0
5. studiare il segno della derivata prima f ’ (applicando il criterio di
monotonia) in modo da studiare la monotonia e individuare gli
estremi relativi della f
6. confrontare gli estremi relativi con il comportamento della
funzione agli estremi dell’intervallo di definizione (già analizzato al
punto 2.) e determinare così gli eventuali estremi assoluti
7. calcolare la derivata seconda f ’’ e studiarne il segno (applicare il
criterio di convessità) in modo da ottenere informazioni sul verso
della concavità e l’eventuale presenza di punti di flesso.
Promemoria per studio di funzione
In molti casi, l’espressione della derivata
seconda f ’’ è troppo complessa per esserne
valutato il segno
In questi casi, il calcolo della derivata seconda
f ’’ non aggiunge nulla a ciò che un attento
utilizzo dei limiti può comportare
Super Promemoria per studio di funzione
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Dominio
Comportamento estremi dominio
Derivata prima
Punti stazionari
Estremi relativi
Estremi assoluti
Derivata seconda
Link per studio di funzione
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=MQ4D7CB23B.3&+lang=it
&+cmd=resume&+module=tool%2Fanalysis%2Ffunction.en
http://www.mathe-fa.de/it#result
https://www.wolframalpha.com/
Esercizio 1. Dominio
Studiare la funzione (usando lo schema):
f ( x) 
e
x
x
1. Determinare il dominio di f
 x  0
x  0
Dominio : 

 x  0
x  0
 D : 0;
2. Comportamento agli estremi del dominio:
lim
e
x
x 0 
lim
x
e
x
x
x  
   x  0 asintoto verticale
 
 Non esiste asintoto
orizzontale e la funzione
non è limitata superiormente
Ricerca a. obliqui
x
x
e
e
 lim 3  
lim
x   x x
x  
x2
 Non esiste a. obliquo
3. Derivata prima:
3. calcolare la funzione derivata prima f ’ nei punti in cui
esiste e studiare gli eventuali punti in cui f è continua ma
x
e
non derivabile
f ( x) 
x
e
f ' ( x) 
x
1
2 xe  e
2 x
2 x
x
x
x e 
 x
x
2
 f ' ( x) 

e 2 x  1
x
2x x
x
4. Punti stazionari:
4. determinare i punti stazionari soluzioni dell’equazione f ’(x)=0
 f ' ( x) 
e 2 x  1
x
2x x
 f ' ( x)  0  2 x  1  0
1
x
2
Punto stazionario
5. Monotonia ed estremi relativi
5. studiare il segno della derivata prima f ’ (applicando il
criterio di monotonia) in modo da studiare la monotonia e
individuare gli estremi relativi della f
1
x
x
e 2 x  1
2
f ' ( x) 
0
2x x
x0
0
1/2
+
1
se 0  x   f decrescente
1
2

x

punto
di
min.
rel.
1
2
se x   f crescente
2
6. Estremi assoluti
6. confrontare gli estremi relativi con il comportamento
della funzione agli estremi dell’intervallo di definizione (già
analizzato al punto 2.) e determinare così gli eventuali estremi
x
assoluti
e
1
f ( )  2e min. rel.
2
lim
x
x 0 
lim
x  
e
x
x
1

 ; 2e  min. ass. ed f limitata inferiormente
2

 
 
7. Concavità
7. Concavità
e 2 x  1 2 xe  e
 f ' ( x) 

3/ 2
2x
2x x
x
x
 f ' ' ( x)  0
x
Grafico
Informazioni calcolate
1. D:]0; +inf[
2. x=0 a.verticale
no a. orizzontale
no a. obliquo
4. x=1/2 punto stazionario
5. 0<x<1/2 => f decrescente
x>1/2 => f crescente
6. f(1/2)=radq(2e) min ass
Studio di funzione
Esercizio:
funzione
studiare
il
f ( x) 
grafico
della
seguente
x
2
x 1
Soluzione. La prima cosa che bisogna calcolare
è:
1. dominio della funzione
2
x  1  0  x  1 e x  1
 D :  ;1   1;1  1;
Studio di funzione
2. valutare il comportamento di f agli estremi
del dominio:  D :  ;1   1;1  1;

lim x
x  
lim x
x  1
x
2
11

x
2
-1
1

0
 0
 

y0
asintoto orizzontale
x
lim x  1x  1
x  1
 

1
 20

 
Studio di funzione
2. valutare il comportamento di f agli estremi
del dominio:  D :  ;1   1;1  1;

lim x
x  1
x
2
-1
1

 
 
x
1
lim x  1x  1
x  1

 20

0
x  1
asintoto verticale

 
Studio di funzione
2. valutare il comportamento di f agli estremi
del dominio:  D :  ;1   1;1  1;

lim x
x 1
lim x
x 1
x
2
1
0
1
x
2
1


 
x
 
lim x  1x  1

x 1
x
lim x  1x  1
x 1


1

0 2
1

 
 
0 2
x  1 asintoto verticale
Studio di funzione
3 e 4. Derivata prima e punti stazionari:
f ( x) 
x
2
x 1
 f ' ( x) 
 f ' ( x)  
2
x 1
x  1
2
2
2
x 1  x  2x
0
x  1
2
2

2
 x 1
x  1
2
Mai verificata!
Non esistono punti stazionari nel dominio
2
Studio di funzione
5. Monotonia della funzione (segno derivata):
f ' ( x)  
2
x 1
x  1
2
2
0
Mai verificata!
La funzione decresce sempre nel dominio
La funzione non ammette estremi relativi
Studio di funzione
9. Grafico della funzione
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