Esercizi e quiz svolti su spazi vettoriali con prodotto scalare

SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE
Esercizi
Esercizio 1. Nello spazio euclideo standard (R2 , h·, ·i) sia data la matrice
µ
¶
2 3
A=
3 2
(1) Determinare una base rispetto alla quale A sia la matrice di un endomorfismo autoaggiunto di R2 .
(2) Esiste una matrice H ∈ R2,2 tale che D := H −1 AH sia diagonale? È
possibile scegliere H ortogonale?
Svolgimento. Poiché A è simmetrica e reale, la teoria generale ci assicura che
per ogni base ortonormale B di R2 esiste f ∈ EndR (R2 ) autoaggiunto tale che
MBB (f ) = A.
Dalla teoria segue che essendo A simmetrica e reale, essa è simile ad una matrice
diagonale D: in particolare esiste una matrice H ∈ R2,2 tale che D = H −1 AH.
La matrice D deve avere sulla diagonale gli autovalori di A. Il polinomio caratteristico di A è
¯
¯
¯ t − 2 −3 ¯
¯ = (t − 5)(t + 1).
pA (t) = ¯¯
−3 t − 2 ¯
Dunque gli autovalori di A sono λ1 := −1 e λ2 := 5.
Per determinare la matrice H bisogna individuare una base F di V costituita
da autovettori di A: in particolare bisogna risolvere i sistemi
µ ¶ µ ¶
x
0
(λi I2 − A)
=
,
y
0
i = 1, 2, ove I2 è la matrice identità 2 × 2. Nel nostro caso
µ
¶µ ¶ µ ¶
µ
¶µ ¶ µ ¶
−3 −3
x
0
3 −3
x
0
=
,
=
.
−3 −3
y
0
−3 3
y
0
Risolvendo i due sistemi di cui sopra si verifica facilmente che l’autospazio di −1 è
Ef (−1) = L(t (1, −1)), mentre l’autospazio di 5 è Ef (5) = L(T(1, 1)). Per esempio
si può scegliere
µ
¶
1 1
H=
,
−1 1
nel qual caso
µ
D=
−1 0
0 5
¶
.
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1
2
SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE
Sempre dalla teoria delle matrici simmetriche e reali, segue che tra le matrici
H cercate ne esiste sempre una ortogonale. Per esempio, se vogliamo che H sia
anche speciale (cioè det(H) = 1), possiamo scegliere
√ ¶
√
µ
1/ √2 1/√2
b
:
H=
−1/ 2 1/ 2
b −1 AH
b è quella già indicata
si noti che anche con questa scelta la matrice D = H
sopra.
Esercizio 2. Siano (V, h·, ·i) uno spazio vettoriale con prodotto scalare, f ∈
EndR (V ) autoaggiunto.
(1) Esistono m := dimR (ker(f )) tali che f sia invertibile?
(2) Se 0 è autovalore, determinare le sue molteplicità algebrica e geometrica.
Svolgimento. Ricordo che f ∈ EndR (V ) è invertibile se e solo se è o iniettivo o
suriettivo. D’altra parte f è iniettivo se e solo se ker(f ) = {0}. Concludiamo che
f è invertibile se e solo se m = 0.
La molteplicità geometrica mg (0, f ) di 0 è la dimensione dell’autospazio di 0,
che è
Ef (0) := { v ∈ V | f (v) = 0v } = { v ∈ V | f (v) = 0 } = ker(f ).
Quindi mg (0, f ) = dimR (Ef (0)) = dimR (ker(f )) = m.
Essendo autoaggiunto f è anche diagonalizzabile, quindi la molteplicità algebrica di ogni suo autovalore coincide con quella geometrica (in generale è minore
od uguale). Concludiamo che ma (0, f ) = mg (0, f ) = m.
Esercizio 3. Sia C la base canonica dello spazio euclideo standard (R3 , h·, ·i) e si
consideri la matrice


a
b
0
A =  c 1/2 0  .
0
0
1
(1) Esistono a, b, c ∈ R tali che A = MCC (f ) per un qualche f ∈ EndR (R3 )
autoaggiunto?
(2) Esistono a, b, c ∈ R tali che A sia ortogonale?
Svolgimento. Ricordo preliminarmente che se B è una base ortonormale di uno
spazio (U, h·, ·i) con prodotto scalare ed h ∈ EndR (U ) allora h è autoaggiunto se e
solo se MBB (h) è simmetrica. In particolare, nel caso in esame, l’endomorfismo f
esiste se e solo se A è simmetrica, cioè b = c.
Ricordo che A si dice ortogonale se e solo se t AA = I3 ove I3 è la matrice
identità 3 × 3. Ciò significa che a, b, c devono soddisfare il sistema
 2
2

 a +c =1
b2 + 1/4 = 1


ab + c/2 = 0.
SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE
3
√
Per ogni x ∈ R \ {0} indichiamo con sgn(x) il segno di x. Quindi b = sgn(b)
3/2
√
dalla seconda equazione. Sostituendo nella terza si ottiene c = −
sgn(b)
3a.
Dalla
√
prima allora risulta a = sgn(a)1/2, dunque c = − sgn(a) sgn(b) 3/2.
Perché A sia ortogonale vi sono allora le seguenti possibilità:
√
√
√
√
3/2, − 3/2), (a, b, c) = (1/2, − 3/2, 3/2),
√
√
√
√
(a, b, c) = (−1/2, 3/2, 3/2), (a, b, c) = (−1/2, − 3/2, − 3/2),
(a, b, c) = (1/2,
corrispondenti ordinatamente alle matrici
√
√


1/2
3/2
0
1/2
−
3/2
√
√
A1 :=  − 3/2 1/2 0  , A2 :=  3/2
1/2
0
0
1
0
0
√
√



−1/2
−1/2
− 3/2
3/2 0
√
√
A3 :=  3/2 1/2 0  , A4 :=  − 3/2
1/2
0
0
1
0
0


0
0,
1

0
0.
1
Si noti che A1 ed A2 sono speciali, mentre A3 ed A4 sono non speciali: si noti che
A3 ed A4 sono anche simmetriche.
Esercizio 4. Nello spazio euclideo standard (R3 , h·, ·i) sia dato l’endomorfismo f
definito da
f (T(1, 0, 0)) = T(0, 2, 3),
f (T(0, 1, 0)) = (2, 3, 6),
f (T(0, 0, 1)) = T(3, 6, 8).
(1) Verificare che f è autoaggiunto.
(2) Determinare una base ortonormale B di R3 costituita da autovettori di f .
(3) Calcolare MBB (f ) ed una matrice ortogonale P tale che P −1 MCC (f )P =
MBB (f ), ove C è la base canonica di R3 .
Svolgimento. Risulta

0
C

MC (f ) = 2
3
2
3
6

3
6.
8
Poiché C è ortonormale e MCC (f ) è simmetrica segue che f è autoaggiunto.
Calcoliamo gli autovalori di f . Il polinomio caratteristico di f è
¯
¯ t
−2
¯
pf (t) = pMCC (f ) (t) = ¯¯ −2 t − 3
¯ −3 −6
¯
−3 ¯¯
−6 ¯¯ = t3 − 11t2 − 25t − 13 = (t + 1)2 (t − 13),
t − 8¯
4
SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE
sicché spR (f ) = { −1, 13 } con ma (−1, f ) = 2, ma (13, f ) = 1. Per calcolare gli
autospazi di f dobbiamo risolvere i seguenti sistemi

   

   
−1 −2 −3
x
0
13 −2 −3
x
0
 −2 −4 −6   y  =  0  ,
 −2 10 −6   y  =  0  .
−3 −6 −9
z
0
−3 −6 5
z
0
Segue allora che Ef (−1) = L(T(1, 1, −1), T(5, −4, 1)), Ef (13) = L(T(1, 2, 3)). I
tre vettori T(1, 1, −1), T(5, −4, 1), T(1, 2, 3) sono a due a due ortogonali ma nessuno
di essi è un versore,√ quindi dobbiamo √
dividere ciascuno di√ essi rispettivamente
per kT(1, 1, −1)k = 3, kT(5, −4, 1)k = 42, kT(1, 2, 3)k = 14: perciò una base
ortonormale di R3 costituita da autovettori di f è
√
√
√
B := (T(1, 1, −1)/ 3, T(5, −4, 1)/ 42, (1, 2, 3)/ 14).
Poiché B è una base costituita da autovettori

−1 0
MBB (f ) =  0 −1
0
0
di f abbiamo

0
0 .
13
Una possibile matrice P è allora

1
1 
1
P :=
42
−1

5 1
−4 2  .
1 3
Esercizio 5. Siano (R2 , h·, ·i) lo spazio euclideo standard, f ∈ EndR (R2 ) tale che
µ
¶
−2 0
B
MB (f ) = A =
2 2
ove B := (T(1, 0), T(1, 1)).
È vero o falso che f è autoaggiunto?
Svolgimento. Per stabilire se f è autoaggiunto si può procedere in due modi.
Un primo metodo è quello di utilizzare la definizione di endomorfismo autoaggiunto. Precisamente si deve vedere se
hf (v), wi = hv, f (w)i,
∀v, w ∈ V.
Ricordo che è sufficiente verificare tale identità per gli elementi di una base. Siano
v1 := T(1, 0), v2 := T(1, 1): si deve quindi verificare che hf (vi ), vi i = hvi , f (vi )i, che
è sempre vera per le proprietà del prodotto scalare, e che hf (v1 ), v2 i = hv1 , f (v2 )i.
Si noti che
[f (v1 )]B = MBB (f )[T(1, 0)]B = [T(−2, 2)]B = −2T(1, 0) + 2T(1, 1) = T(0, 2),
[f (v2 )]B = MBB (f )[T(1, 1)]B = [T(0, 2)]B = 2T(1, 1) = T(2, 2),
SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE
5
quindi risulta
hf (v1 ), v2 i = ( 0
µ ¶
1
2)
= 2 = ( 1 0 ) ( 2 2 ) = hv1 , f (v2 )i,
1
cioè f è autoaggiunto.
Un secondo metodo consiste nel verificare che, rispetto ad una base ortonormale
di V , la matrice di f è simmetrica. Nel nostro caso la base canonica C è ortonormale
per definizione.
Per calcolare MCC (f ) iniziamo con il determinare la matrice del cambiamento di
base da C a B che è la matrice avente per colonne le coordinate dei vettori di B
rispetto a C, od anche MCB (idR2 ). Risulta
µ
¶
1 1
B
MC (idR2 ) =
.
0 1
Inoltre (MCB (idR2 ))−1 MCC (f )MCB (f ) = MBB (f ) da cui segue che
MCC (f ) = MCB (idR2 )MBB (f )(MCB (idR2 ))−1 =
µ
¶µ
¶µ
¶ µ
1 1
−2 0
1 −1
0
=
=
0 1
2 2
0 1
2
2
0
¶
,
cioè f è autoaggiunto.
Esercizio 6. Sia f ∈ EndR (R2 ) l’endomorfismo avente matrice che
µ
¶
4 −2
A :=
,
3 −1
Rispetto alla base canonica C di R2 .
(1) Verificare che f è diagonalizzabile
(2) Determinare gli autospazi di f .
(3) Verificare che f non è autoaggiunto rispetto al prodotto scalare standard
in R2 .
(4) Verificare che esistono infiniti prodotti scalari h·, ·i in R2 rispetto ai quali
f è autoaggiunto.
Svolgimento. Calcoliamo gli autovalori di f . Il suo polinomio caratteristico è
¯
¯
¯t − 4
¯
2
¯ = t2 − 3t + 2 = (t − 1)(t − 2),
pf (t) = pA (t) = ¯¯
−3 t + 1 ¯
sicché spR (f ) = { 1, 2 }: questo ci permette di affermare che f è diagonalizzabile.
Per calcolare gli autospazi di f dobbiamo risolvere i due sistemi
µ
¶µ ¶ µ ¶
µ
¶µ ¶ µ ¶
−3 2
x
0
−2 2
x
0
=
,
=
.
−3 2
y
0
−3 3
y
0
6
SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE
Quindi Ef (1) = L(T(2, 3)), Ef (2) = L(T(1, 1)).
Se (R2 , h·, ·i) è lo spazio euclideo standard la base canonica C è ortonormale:
quindi f è autoaggiunto se e solo se MCC (f ) è simmetrica. Poiché, nel caso in
esame, MCC (f ) non è simmetrica allora f non può essere autoaggiunto. Allo stesso
risultato si sarebbe potuti pervenire osservando che
hf (T(1, 0)), T(0, 1)i 6= hT(1, 0), f (T(0, 1))i
(verificare).
Per verificare l’esistenza di infiniti prodotti scalari h·, ·i in R2 rispetto ai quali f
è autoaggiunto ricordiamo che f è autoaggiunto se e solo se è diagonalizzabile ed i
suoi autospazi sono ortogonali. La diagonalizzabilità di f l’abbiamo già verificata.
Quindi è sufficiente costruire infiniti prodotti scalari per cui Ef (1) ⊥ Ef (2). Poiché
Ef (1) = L(T(2, 3)), Ef (2) = L(T(1, 1)) è sufficiente costruire infiniti prodotti scalari
per cui hT(2, 3), T(1, 1)i = 0. A trale scopo osserviamo che
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶ µ ¶
µ ¶
1
2
1
0
2
1
=−
+3
,
=
−2
.
0
3
1
1
3
1
Allora il prodotto scalare h·, ·i soddisfa la condizione richiesta se e solo se
hT(x1 , x2 ), T(y1 , y2 )i =
= h(x2 − x1 )T(2, 3) + (3x1 − 2x2 )T(1, 1), (y2 − y1 )T(2, 3) + (3y1 − 2y2 )T(1, 1)i =
= (x2 − x1 )(y2 − y1 )kT(2, 3)k2 + (3x1 − 2x2 )(3y1 − 2y2 )kT(1, 1)k2 .
Quindi per ogni scelta di λ, µ ∈]0, +∞[ l’applicazione
(T(x1 , x2 ), T(y1 , y2 )) 7→ λ(x2 − x1 )(y2 − y1 ) + µ(3x1 − 2x2 )(3y1 − 2y2 ).
soddisfa le condizioni richieste.
Esercizio 7. Siano

1
A = 0
2

0
2
7 −4 
−4 3
ed w := T(1, 0, 1).
(1) Verificare che l’applicazione
f : R3 −→ R
v −→ TwAv
è lineare.
(2) Determinare la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche.
(3) Esiste una matrice B ∈ R3,3 tale che f (v) = TvBw per ogni x ∈ V ?
(4) Determinare la forma quadratica L: V → R associata ad A.
SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE
7
Svolgimento. La verifica che f è lineare è un’immediata conseguenza della distributività del prodotto di matrici rispetto alla somma ed è lasciata al lettore.
Siano e1 := T(1, 0, 0), e2 := T(0, 1, 0), e3 := T(0, 0, 1) ∈ R3 , e := 1 ∈ R: le basi
canoniche di V e di R sono rispettivamente C := (e1 , e2 , e3 ) e B := (e). Per
calcolare MBC (f ) si devono determinare i numeri f (ei ). Risulta
f (e2 ) = −4,
f (e1 ) = 3,
da cui
MBC (f ) = ( 3 −4
f (e3 ) = 5,
5)
Poiché f (v) ∈ R segue che f (v) = Tf (v), quindi
T
wAv = Tv t Aw,
perciò si deve scegliere B := TA: d’altra parte A è simmetrica, sicché B = A.
Quiz
Quiz 1. Siano (R3 , h·, ·i) lo spazio euclideo standard, f ∈ EndR (R3 ) tale che
f (T(1, 1, −1)) = T(−2, −2, 2),
f (T(−1, 2, 1)) = T(1, −2, −1),
f (T(5, −3, 2)) = T(−5, 3, −2).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) f non è diagonalizzabile.
b) f (T(5, 0, 2)) = T(5, 0, 2).
c) f è autoaggiunto.
d) La matrice di f rispetto alla base canonica è antisimmetrica.
Svolgimento. L’affermazione a) è falsa. Infatti
f (T(1, 1, −1)) = −2T(1, 1, −1),
f (T(−1, 2, 1)) = −T(−1, 2, 1),
f (T(5, −3, 2)) = −T(5, −3, 2),
quindi T(1, 1, −1), T(−1, 2, 1), T(5, −3, 2) ∈ V sono autovettori per f . Inoltre
¯
¯ 1
¯
¯ −1
¯
¯ 5
¯
1 −1 ¯¯
2
1 ¯¯ = 21 6= 0
−3 2 ¯
quindi T(1, 1, −1), T(−1, 2, 1), T(5, −3, 2) sono linearmente indipendenti, sicché V ha
una base costituita da autovettori di f , precisamente
B := (T(1, 1, −1), T(−1, 2, 1), T(5, −3, 2)) :
8
SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE
perciò f è diagonalizzabile per definizione.
L’affermazione b) è falsa. Infatti l’affermazione implicherebbe che T(5, 0, 2) è
autovalore di f associato all’autovalore 1. Ma, come abbiamo avuto modo di verificare sopra, f ha già i due autovalori −2 con molteplicità geometrica mg (−2, f ) =
ma (−2, f ) = 1 e −1 con molteplicità geometrica mg (−1, f ) = ma (−1, f ) = 2:
quindi f non può avere altri autovalori.
Allo stesso risultato si può pervenire procedendo per linearità. Rispetto alla
base B si ha
T
(5, 0, 2) = T(1, 1, −1) + T(−1, 2, 1) + T(5, −3, 2)
da cui segue per linearità che
f (T(5, 0, 2)) = f (T(1, 1, −1) + T(−1, 2, 1) + T(5, −3, 2)) =
= f (T(1, 1, −1)) + f (T(−1, 2, 1)) + f (T(5, −3, 2)) =
= T(−2, −2, 2) + T(1, −2, −1) + T(−5, 3, −2) =
= T(−6, −1, −1) 6= T(5, 0, 2).
L’affermazione c) è vera. Infatti abbiamo verificato sopra che f è diagonalizzabile e, dalle ipotesi, si ha che l’autospazio di −2 è Ef (−2) = L(T(1, 1, −1)),
mentre l’autospazio di −1 è Ef (−1) = L(T(−1, 2, 1), T(5, −3, 2)). Per verificare che
f è autoaggiunto basta verificare che Ef (−2) ⊥ Ef (−1). A tale scopo basta dimostrare che ogni vettore di una base di Ef (−2) è perpendicolare ad ogni vettore
di una base di Ef (−1): risulta
hT(1, 1, −1), T(−1, 2, 1)i = hT(1, 1, −1), T(5, −3, 2)i = 0.
L’affermazione d) è falsa. Infatti ricordo preliminarmente che A ∈ Rn,n si dice
antisimmetrica se e solo se −A = TA. Abbiamo dimostrato sopra che f è autoaggiunto, quindi la sua matrice rispetto alla base canonica C, che è ortogonale per
definizione di spazio euclideo, deve essere simmetrica: l’unica matrice simultaneamente simmetrica ed antisimmetrica è la matrice nulla. Quindi dovrebbe essere
MCC (f ) = 0, sicché f = 0 il che è contro le ipotesi fatte su f (motivare l’ultima
frase).
Quiz 2. Siano (V, h·, ·i) uno spazio vettoriale con prodotto scalare ed f ∈ EndR (V )
autoaggiunto. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a)
b)
c)
d)
hf (v), f (w)i = hv, f 2 (w)i per ogni v, w ∈ V (ricordo che f 2 := f ◦ f ).
f è invertibile.
hf (v), f (w)i = hv, wi per ogni v, w ∈ V .
Se f (v) = f (w) allora v = w.
Svolgimento. L’affermazione a) è vera. Infatti f è autoaggiunto se e solo se
hf (v), ui = hv, f (u)i per ogni v, u ∈ V : in particolare ciò vale scegliendo u := f (w).
L’affermazione b) è falsa. Infatti, fissata una qualsiasi base ortonormale B in
V , si ha da un lato che f è autoaggiunto se e solo se MBB (f ) è simmetrica dall’altro
SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE
9
che f è invertibile se e solo se tale è MBB (f ). Concludiamo che b) è equivalente
ad affermare che ogni matrice simmetrica è invertibile, il che è ovviamente falso
(perché?).
L’affermazione c) è falsa. Infatti, in caso contrario, risulterebbe hf (v), f (v)i =
hv, vi per ogni v ∈ V : dunque se f (v) = 0 si dovrebbe avere v = 0, ovvero f
sarebbe necessariamente iniettiva, quindi invertibile essendo un endomorfismo.
L’affermazione d) è falsa. Infatti in caso contrario f sarebbe iniettiva, dunque
invertibile.
Quiz 3. Sia (V, h·, ·i) uno spazio vettoriale con prodotto scalare e sia k·k la norma
corrispondente. Dato f ∈ EndR (V ) autoaggiunto siano v1 , v2 ∈ V autovettori di
f associati agli autovalori λ1 e λ2 . Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a)
b)
c)
d)
Se λ1 6= λ2 allora kv1 + v2 k2 6= kv1 k2 + kv2 k2 .
Se kv1 + v2 k2 > kv1 k2 + kv2 k2 allora λ1 6= λ2 .
kv1 + v2 k2 > kv1 k2 + kv2 k2 se e solo se λ1 6= λ2 .
Nessuna delle affermazioni precedenti è vera.
Svolgimento. Ricordo preliminarmente che se v ∈ V si pone kvk2 = hv, vi. Inoltre,
essendo f autoaggiunto, autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali.
L’affermazione a) è falsa. Infatti se λ1 6= λ2 allora hv1 , v2 i = 0 da cui segue che
kv1 + v2 k2 = hv1 + v2 , v1 + v2 i = hv1 , v1 i + 2hv1 , v2 i + hv2 , v2 i = kv1 k2 + kv2 k2
(Teorema di Pitagora).
L’affermazione b) è falsa. Infatti come sopra si ha
kv1 + v2 k2 = kv1 k2 + kv2 k2 + 2hv1 , v2 i,
dunque kv1 + v2 k2 > kv1 k2 + kv2 k2 se e solo se hv1 , v2 i > 0: in particolare v1 e v2
non sono ortogonali e, quindi, non possono essere associati ad autovalori distinti
per quanto ricordato sopra.
L’affermazione c) è falsa perché implica b).
Per esclusione segue che l’affermazione d) è vera.
Quiz 4. Siano (R2 , h·, ·i) lo spazio euclideo, f ∈ EndR (V ) autoaggiunto tale che
f (T(1, 1)) = T(1, 1). Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a)
b)
c)
d)
f (T(1, −5)) = T(−1, 1).
f (T(1, −5)) = T(−2, 1).
f (T(1, −5)) = T(−4, 1).
f (T(1, −5)) = T(−5, 1).
Svolgimento. Studiamo f . Innanzi tutto essendo f autoaggiunto segue che è diagonalizzabile e che V ammette una base ortogonale costituita da autovettori di f :
in particolare, poiché T(1, 1) è autovettore di f con autovalore 1, segue che T(1, −1)
deve essere anch’esso autovettore di f .
10
SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE
Sia α l’autovalore di T(1, −1). Poiché T(1, −5) = −2T(1, 1) + 3T(1, −1) segue per
linearità
f (T(1, −5)) = f (−2T(1, 1) + 3T(1, −1)) = −2f (T(1, 1)) + 3f (T(1, −1)) =
= −2T(1, 1) + 3αT(1, −1) = T(−2 + 3α, −2 − 3α).
In ogni caso si richiede che la seconda entrata sia 1: risolvendo l’equazione −2 −
3α = 1 si ottiene allora α = −1, da cui
f (T(1, −5)) = T(−5, 1).
Concludiamo che l’affermazione vera è d) mentre a), b), c) sono false.