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Cap 1. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI
Rivedi la teoria
Come si misurano gli angoli
Gli angoli si possono misurare in gradi oppure in radianti.
n Misurare in gradi significa assumere come unitaÁ di misura un angolo uguale alla novantesima parte dell'angolo retto; il grado ha come sottomultipli:
l
il primo: eÁ la sessantesima parte del grado
l
il secondo: eÁ la sessantesima parte del primo.
n Misurare in radianti significa porre il vertice dell'angolo nel centro di una circonferenza, considerare
l'arco AB sotteso dall'angolo e valutare il rapporto tra la lunghezza dell'arco rettificato AB e il raggio
della circonferenza.
La corrispondenza tra le due misure dei principali angoli eÁ riassunta nella seguente tabella:
In gradi
90
180
270
360
30
45
60
In radianti
2
3
2
2
6
4
3
La regola per il passaggio da un sistema di misura all'altro si ricava dalla proporzione:
…rad † : …gradi † ˆ : 180
Fai gli esercizi
Converti in radianti le misure date in gradi dei seguenti angoli.
1 a. 80
b. 270
c. 225
d. 330
2 a. 110
b. 250
c. 215
d. 350
Converti dal sistema radiale al sistema sessagesimale:
3
2
6
1
b. c. d.
3 a. 5
3
5
5
5
5
7
2
b. c. d. 4 a. 8
6
3
9
5 Gli angoli Ab e Bb sono supplementari e il primo eÁ pari a un terzo del secondo; determina la loro ampiezza,
esprimendola sia in gradi che in radianti.
b
3
b
A ˆ 45 ˆ
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4
; B ˆ 135 ˆ
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
4
1
5
; calcola la misura, in gradi, del6 In un triangolo ABC gli angoli Bb e Cb misurano rispettivamente e
4 12
‰120 Š
l'angolo esterno di vertice A.
Rivedi la teoria
Le funzioni goniometriche fondamentali
Considerata una circonferenza avente centro nell'origine di un sistema
di assi cartesiani ortogonali e raggio 1, detta circonferenza goniometrica, consideriamo un angolo orientato che ha vertice nell'origine,
il primo lato sull'asse x e il secondo lato che interseca la circonferenza
in un punto P. Chiamiamo:
n seno dell'angolo l'ordinata del punto P :
sin ˆ yP
n coseno dell'angolo l'ascissa del punto P :
cos ˆ xp
Tracciata poi la retta tangente alla circonferenza nel punto di coordinate …1, 0† e indicato con Q il punto in cui la semiretta OP incontra
tale tangente, chiamiamo:
n tangente dell'angolo l'ordinata del punto Q : tan ˆ yQ
Al variare dell'angolo , anche il seno, il coseno e la tangente di assumono valori diversi, sono cioeÁ
funzioni di ; indicando come d'abitudine con x la variabile indipendente, cioeÁ l'angolo , le tre funzioni
y ˆ sin x
y ˆ cos x
y ˆ tan x
vengono complessivamente indicate con il nome di funzioni goniometriche.
Poiche i valori assunti dal seno e dal coseno si ripetono ogni 360 e quelli assunti dalla tangente si ripetono ogni 180 , si dice che le prime due sono periodiche di periodo 360 e la terza eÁ periodica di periodo 180 . Di seguito sono rappresentati i loro grafici.
y ˆ sin x
y ˆ cos x
y ˆ tan x
Osserviamo che i valori del seno e del coseno sono sempre compresi tra 1 e 1, mentre la tangente puoÁ
assumere qualsiasi valore reale.
Accanto a queste tre funzioni se ne introduce una quarta che prende il nome di cotangente e che eÁ cosõÁ
definita:
1
cotan ˆ
tan 2
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
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I valori delle funzioni goniometriche
I valori numerici del seno, del coseno e della tangente di un angolo si possono determinare in modo ap3
prossimato con la calcolatrice scientifica; viceversa, sapendo per esempio che il seno di un angolo vale
4
si puoÁ risalire, sempre in modo approssimato, all'ampiezza dell'angolo.
I seguenti schemi mostrano come sia possibile, dal punto di vista grafico, eseguire questa operazione:
sin ˆ
2
3
cos ˆ
1
2
tan ˆ
4
3
Osserviamo che, nell'intervallo che va da 0 a 360 , ci sono sempre due angoli che soddisfano alla condizione richiesta:
l
angoli supplementari nel caso del seno
l
angoli esplementari (la somma eÁ un angolo giro) nel caso del coseno
l
angoli che differiscono di un angolo piatto nel caso della tangente.
In particolare, i valori delle funzioni goniometriche dei principali angoli acuti sono riassunti nella seguente tabella:
30
45
60
sin 1
2
p
2
2
p
3
2
cos p
3
2
p
2
2
tan p
3
3
1
2
p
3
1
Le relazioni fondamentali
Fra il seno, il coseno e la tangente di un angolo sussistono le seguenti relazioni:
sin sin2 ‡ cos2 ˆ 1
e
tan ˆ
cos Esse ci permettono, noto il valore di una delle tre funzioni e conoscendo la tipologia dell'angolo, di ricavare le altre.
3
Per esempio, se sin ˆ e eÁ un angolo acuto, allora:
4
2
p
7
3
7
2
2
l dalla prima relazione ricaviamo che:
quindi cos ˆ
cos ˆ 1 sin ˆ 1
ˆ
4
16
4
3
p
3 7
sin
3
l dalla seconda relazione ricaviamo che:
ˆ p4 ˆ p ˆ
.
tan a ˆ
cos 7
7
7
4
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Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
3
Fai gli esercizi
Converti in radianti le misure date in gradi dei seguenti angoli.
7 Dai la rappresentazione grafica sulla circonferenza goniometrica delle funzioni goniometriche dei seguenti angoli:
a. 80
b. 120
c. 235
d. 320
8 Dati i seguenti valori delle funzioni goniometriche dell'angolo , disegna i possibili angoli supponendo che sia 0 360 :
b. cos ˆ 2
c. tan ˆ 1
d. sin ˆ 1
a. sin ˆ 1
3
3
4
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
9 2…sin 60 ‡ cos 30 †
10 2cos 45
tan 45 ‡ sin 180
sin 45 ‡ cos 360
11 …3cos 0 ‡ 2sin 270 † …3sin 90
3tan 30 ‡ tan 60
2cos 360 †
2cos 45 †
‰1Š
p
2 2
2…sin 270 ‡ 2sin 90 †
‰ 14Š
12 …2cos 180 ‡ cos 270 † …3sin 180
13 3…tan 180
4cos 0 †
p
2 3
p 2
1‡
2
sin 270
14
3sin 90 ‡ 2cos 180
3cos 540 ‡ 2cos 720
‰ 1Š
15
3sin 90
180
‡ tan 180 ‡ cos
2cos 180 ‡ 2sin 270
4tan 45
‰ 1Š
16 Utilizzando la calcolatrice scientifica, calcola il valore delle funzioni seno, coseno e tangente dei seguenti angoli:
a. 25 12 0
b. 145 30 0 10 00
c. 225 23 0 9 00
d. 81 30 0 30 00
f. 3 g. 4 h. 3 e. 12
5
9
5
17 Usando la calcolatrice trova tutti gli angoli con 0 360 sapendo che:
b. cos ˆ 2
c. tan ˆ 3
d. cos ˆ 2
a. sin ˆ 1
4
3
e. cos ˆ 1
f. sin ˆ 3
g. tan ˆ 4
h. sin ˆ 2
4
5
3
5
18 Sapendo che sin ˆ 2 e che eÁ un angolo acuto, calcola le altre funzioni goniometriche fondamentali
3
p p
di .
2 5
5
cos ˆ
4
3
, tan ˆ
5
19 Sapendo che cos ˆ
tali di .
3 e che eÁ un angolo ottuso, calcola le altre funzioni goniometriche fondamen5
20 Sapendo che sin ˆ
tali di .
p
2
e che 270 < < 360 , calcola le altre funzioni goniometriche fondamen4
p
p Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
sin ˆ 4 , tan ˆ
5
cos ˆ
14
, tan ˆ
4
4
3
7
7
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Rivedi la teoria
I triangoli rettangoli
I due teoremi che permettono di risolvere un triangolo rettangolo sono i seguenti.
n In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto eÁ uguale al prodotto
della misura dell'ipotenusa:
l
per il seno dell'angolo opposto al cateto da trovare, oppure
l
per il coseno dell'angolo adiacente al cateto da trovare.
In simboli:
a sin bˆ
a cos cˆ
a sin a cos n In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto eÁ uguale al prodotto della misura dell'altro cateto:
l
per la tangente dell'angolo opposto al cateto da trovare, oppure
l
per la cotangente dell'angolo adiacente al cateto da trovare.
In simboli:
c tan bˆ
c cotan cˆ
b tan b cotan Per esempio:
l
se di un triangolo ABC rettangolo in A si sa che l'ipotenusa BC ˆ 28cm e ˆ 72 , allora:
ˆ 90
72 ˆ 18
AB ˆ 28cos 72 ˆ 8,65
AC ˆ 28sin 72 ˆ 26,63
l
se di un triangolo ABC rettangolo in A si sa che AC ˆ 16cm e ˆ 48 ,
allora:
ˆ 90
48 ˆ 42
AB ˆ 16tan 48 ˆ 17,77
BC ˆ
16
ˆ 23,91
cos 48
Le applicazioni
Conseguenze dirette dei teoremi sui triangoli rettangoli sono le seguenti.
n L'area di un triangolo eÁ uguale al semiprodotto delle misure di due lati per il seno dell'angolo fra essi
1
compreso: S ˆ ab sin 2
Per esempio, se, usando le solite convenzioni, di un triangolo si sa che rispetto a una stessa unitaÁ di
p
misura a ˆ 10, b ˆ 15 e ˆ 45 , la sua area eÁ uguale a: S ˆ 1 10 15 sin 45 ˆ 75 2
2
2
n In ogni circonferenza di raggio r, la misura c di una corda eÁ data dal prodotto del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda: c ˆ 2r sin Per esempio, se r ˆ 20cm, e l'angolo alla circonferenza sotteso da una corda AB eÁ di 86 , alllora
AB ˆ 2 20 sin 86 ˆ 39,90
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Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
5
Fai gli esercizi
Risolvi i seguenti triangoli rettangoli dei quali sono noti i seguenti elementi.
21 c ˆ 26,4
b ˆ 42,6
22 a ˆ 121,2
ˆ 40 20 0
23 b ˆ 14,5
a ˆ 30,6
24 a ˆ 10,7
c ˆ 8,3
25 c ˆ 28,1
ˆ 38 30 0
‰a ˆ 45,14; b ˆ 35,33; ˆ 51 30 0 Š
26 b ˆ 6,8
ˆ 48 25 0
‰a ˆ 9,09; c ˆ 6,03; ˆ 41 35 0 Š
27 c ˆ 88,35
ˆ 68 54 0
‰a ˆ 94,7; b ˆ 34,09; ˆ 21 6 0 Š
28 b ˆ 0,81
ˆ 70 35 0
‰a ˆ 2,44; c ˆ 2,3; ˆ 19 25 0 Š
29 a ˆ 20,89
ˆ 48 33 0 12 00
‰a ˆ 50,12; ˆ 31 47 0 14 00 ; ˆ 58 12 0 46 00 Š
‰c ˆ 78,44; b ˆ 92,39; ˆ 49 40 0 Š
‰c ˆ 26,95; ˆ 61 42 0 54 00 ; ˆ 28 17 0 06 00 Š
‰b ˆ 6,75; ˆ 50 52 0 07 00 ; ˆ 39 7 0 53 00 Š
‰b ˆ 15,66; c ˆ 13,83; ˆ 41 26 0 48 00 Š
30 In un rombo di lato 12cm, l'angolo che la diagonale minore forma con il lato eÁ ˆ 80 24 0 21 00 . Calcola
‰S ˆ 47,32Š
l'area del rombo.
31 In un triangolo ABC, sono noti questi elementi: AB ˆ 24, BC ˆ 30,14, Ab ˆ 46 53 0 7 00 , Cb ˆ 35 32 0 12 00 .
‰S ˆ 358,52Š
Calcola l'area del triangolo.
32 Una corda di una circonferenza eÁ lunga 56cm e sottende un angolo al centro di 128 . Determina il raggio della circonferenza.
‰r ˆ 31,15cmŠ
33 In una circonferenza di centro O e diametro 2r eÁ inscritto un triangolo ABC ; sapendo che Bb ˆ 65 e che
‰S r 2 Š
Cb ˆ 34 , esprimi l'area del triangolo in funzione di r.
Rivedi la teoria
I triangoli qualsiasi
Per tutti i triangoli valgono i seguenti teoremi.
n In ogni triangolo i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti:
a
b
c
ˆ
ˆ
sin sin sin Per esempio, se in un triangolo eÁ ˆ 36 , ˆ 82 e b ˆ 5,2, allora:
l il terzo angolo misura
ˆ 180 …36 ‡ 82 † ˆ 62
l
l
per trovare il lato a impostiamo la relazione:
5,2sin 62
a
b
b sin ˆ
dalla quale ricaviamo che a ˆ
ˆ
ˆ 7,81
sin sin sin sin 36
per trovare il lato c impostiamo la relazione:
b sin 5,2sin 82
c
b
ˆ
dalla quale ricaviamo che c ˆ
ˆ 8,76.
ˆ
sin sin sin 36
sin n In ogni triangolo il quadrato di un lato eÁ uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del
doppio prodotto dei due lati per il coseno dell'angolo tra essi compreso:
a2 ˆ b 2 ‡ c 2
6
2bc cos Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
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Per esempio, se in un triangolo eÁ b ˆ 72, c ˆ 43 e ˆ 52 , allora:
l
il lato a si trova con la relazione
a2 ˆ 722 ‡ 432
l
2
cioeÁ a ˆ 56,75
l'angolo si trova applicando la relazione: c ˆ a ‡ b 2
da cui cos ˆ
l
2 72 43 cos 52 ˆ 3220,8241::::
2
2ab cos 56,752 ‡ 722 432
a2 ‡ b 2 c 2
ˆ
ˆ 0,80219::::
2ab
2 56,75 72
l'angolo si tova per differenza:
ˆ 180
cioeÁ ˆ 36,66 ˆ 36 39 0 34 00
…52 ‡ 36,66 † ˆ 91,34 ˆ 91 200 2600 .
Fai gli esercizi
Applicando il teorema dei seni o quello del coseno, risolvi i seguenti triangoli.
34 c ˆ 10,89
b ˆ 10,05
ˆ 47
35 c ˆ 36,07
b ˆ 25
ˆ 88 07 0 36 00
36 a ˆ 175
b ˆ 120
c ˆ 213
37 a ˆ 15
b ˆ 12
ˆ 37 45 0 13 00
‰c ˆ 19,58; ˆ 49 56 0 12 00 ; ˆ 92 18 0 35 00 Š
38 a ˆ 32
b ˆ 20
ˆ 50 16 0 24 00
‰c ˆ 24,62; ˆ 91 3 0 39 00 ; ˆ 38 39 0 57 00 Š
39 b ˆ 21,40
c ˆ 18,20
ˆ 60 13 0 25 00
‰a ˆ 20,06; ˆ 67 49 0 29 00 ; ˆ 51 57 0 6 00 Š
‰a ˆ 14,89; ˆ 90 33 0 2 00 ; ˆ 42 26 0 58 00 Š
‰a ˆ 43,21; ˆ 35 19 0 42 00 ; ˆ 56 32 0 40 00 Š
‰ ˆ 55 14 0 32 00 ; ˆ 34 17 0 19 00 ; ˆ 90 28 0 9 00 Š
Cap 2. I VETTORI
Rivedi la teoria
I vettori
Per caratterizzare alcune grandezze, come per esempio un tempo o una lunghezza, eÁ sufficiente dare un
numero che rappresenta la sua misura; queste grandezze si dicono scalari. Per altre grandezze, per esempio uno spostamento, la sola misura non eÁ sufficiente ed eÁ necessario dare altre indicazioni; queste grandezze si dicono vettoriali.
Un vettore eÁ quindi una grandezza che eÁ caratterizzata da:
l
una direzione, corrispondente alla retta di azione del vettore
l
un verso che ne indica l'orientamento
l
una intensitaÁ o modulo che ne esprime la misura.
Graficamente un vettore si rappresenta come un segmento orientato di lunghezza proporzionale alla sua intensitaÁ.
Le operazioni fondamentali
~ si possono sommare:
n Due vettori v~ e w
l
con la regola del parallelogramma: si riportano i due vettori con l'origine in comune, si costruisce il parallelogramma che li ha per lati; la diagonale uscente dall'origine comune rappresenta il vettore somma.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
7
l
~ in modo
con il metodo punta coda: disegnato il vettore v~, si riporta w
che la sua origine coincida con il secondo estremo di v~; in pratica la
punta del primo vettore deve coincidere con la coda del secondo; il vettore somma ha origine nella coda di v~ e come secondo estremo la punta
~
di w.
~ si possono sottrarre sommando v~ con l'opposto di w;
~ l'opposto di un vettore eÁ il vetn Due vettori v~ e w
Á
tore che ha la stessa direzione e la stessa intensita, ma verso opposto rispetto al primo. La figura che
segue illustra il procedimento.
In pratica, basta applicare la regola del parallelogramma ai due vettori e
considerare l'altra diagonale del parallelogramma, orientata dalla punta
del secondo vettore alla punta del primo.
n Si puoÁ eseguire il prodotto di un numero reale a per un vettore v~; il vettore risultato ha la stessa direzione
di v~, lo stesso verso se a eÁ positivo, verso opposto se a eÁ negativo, modulo uguale ad av.
Dato il vettore v~ in figura puoi vedere come si ottiene il vettore 2~
v e il vettore 1 v~.
2
n Eseguendo un procedimento inverso rispetto alla somma, si puoÁ scomporre un vettore lungo due direzioni principali; la figura che segue mostra come fare.
Fai gli esercizi
1 Dati i vettori ~
a e b~ in figura, esegui graficamente le seguenti operazioni:
a. ~
a ‡ b~
b. ~
a b~
c. 2~
a
d. 3b~
8
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
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2 Dati i vettori ~
a e b~in figura, esegui graficamente le seguenti operazioni e
rappresenta il vettore risultato:
a.
1~ ~
b a
2
b. 4~
a ‡ b~
c. 2~
a
b~
d. 3~
a ‡ 2b~
3 Scomponi i vettori ~
a e b~ lungo le direzioni r ed s assegnate in figura.
Rivedi la teoria
I vettori nel piano cartesiano
In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, un vettore v~ eÁ dato mediante le sue componenti vx e vy lungo gli assi cartesiani (osserva la figura) e si scrive
v~…vx , vy †
Il modulo del vettore v~ si calcola applicando il teorema di Pitagora:
q
v ˆ vx2 ‡ vy2
La direzione, cioeÁ l'angolo che esso forma con la direzione positiva dell'asse x, si calcola tenendo presente che, in base ai teoremi
sui triangoli rettangoli:
cos ˆ
vx
v
sin ˆ
vy
v
tan ˆ
vy
vx
Per esempio, il vettore v~…4, 6† ha come componenti vx ˆ 4 e vy ˆ 6 ed ha:
p
p
l modulo uguale a:
v ˆ 16 ‡ 36 ˆ 2 13
p
l direzione tale che: cos ˆ
p4 ˆ 2 13
cioeÁ ˆ 56 18 0 36 00
13
2 13
Per sommare o sottrarre due vettori, moltiplicare un vettore per uno scalare, si eseguono le stesse opera~…3, 2† :
zioni sulle loro componenti. Per esempio, se v~…1, 4† e w
l ~
~ ha come componenti vx ‡ wx ˆ 1 ‡ 3 ˆ 4 e vy ‡ wy ˆ 4 ‡ 2 ˆ 6 quindi ~
s ˆ v~ ‡ w
s …4, 6†
l
~
r ˆ v~
l
~ ˆ 3~
p
v
~ ha come componenti vx
w
ha come componenti
wx ˆ 1
3ˆ
3vx ˆ 3 e 3vy ˆ 12
2 e vy
wy ˆ 4
quindi
~…3,12†
p
2 ˆ 2 quindi ~
r … 2, 2†
Fai gli esercizi
4 Calcola il modulo di ciascuno dei seguenti vettori e l'angolo da essi formato con la direzione positiva
dell'asse x :
~
~…5, 8†
s …3, 6†
v~… 3, 2†
w
z~… 6, 2†
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Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
9
ƒ!
5 Calcola il modulo di ciascuno dei vettori AB , nei quali A eÁ il primo estremo e B il secondo, e l'angolo da
essi formato con la direzione positiva dell'asse x :
a. A…0, 1† B…2, 3†
c. A… 2, 1† B …2,
p
p
a: 2 2, 45 ; b: 26, 78 410 2400
p
p
c: 2 5, 153 260 600 ; d: 41, 141 200 2500
b. A…4, 6† B…3, 1†
1†
d. A… 3, 0† B …2,
4†
6 Calcola le componenti cartesiane dei seguenti vettori dei quali sono noti il modulo v e l'angolo da essi
formato con la direzione positiva dell'asse x :
b. v ˆ 3 ˆ 60
c. v ˆ 2 ˆ 45
a. v ˆ 5 ˆ 30
d. v ˆ 7 ˆ 40 35 0
e. v ˆ 6 ˆ 120 45 0
f. v ˆ 4 ˆ 68 24 0 12 00
a:
7 Dati i vettori ~
a…2,
a. ~
a ‡ b~
e. 6~
a
p
p p p
5 3 5
3 3
; b: 3 ;
;
; c:
2; 2 ; d: …5,32; 4,55†; e: … 3,07; 5,16†; f: …1,47; 3,72†
2
2
2
2
3† e b~… 1, 4†, calcola:
b. ~
a
3~
b
4
"
f. 2~
a
a: …1; 1†; b: …3;
8 Dati i vettori ~
a…5,
b~
1~
b
2
c. ~
a ‡ 2b~
g.
2 ~ 5~
b‡ a
3
6
7†; c: …0; 5†; d: …3; 8†; e:
51 ;
4
d. 4~
a ‡ 5b~
h.
21 ; f: 9 ;
2
2~
a
3
3~
b
2
8 ; g: 1; 1 ; h: 1 ;
6
6
#
4
~ determinane poi il modulo e la direzione.
3† e b~…2, 4†, calcola il vettore ~
sˆ~
a ‡ 2b;
~
s…9, 5†; s ˆ
p
106, ˆ 29 30 1700
Rivedi la teoria
Le applicazioni alla Fisica
Oltre alle operazioni viste, in Fisica si ricorre spesso ad altre due operazioni sui vettori: il prodotto scalare e
il prodotto vettoriale.
~ si definisce:
Dati due vettori ~
a e b,
n prodotto scalare di ~
a per b~ lo scalare che si ottiene moltiplicando il modulo dei due vettori per il coseno
dell'angolo tra essi compreso: ~
a b~ ˆ a b cos n prodotto vettoriale di ~
a per b~ il vettore c~ ˆ ~
a b~ che ha:
l
modulo uguale a:
ab sin l
direzione perpendicolare al piano definito dai due vettori ~
a e b~
l
verso determinato dalla regola della mano destra (vedi la figura dell'esempio successivo).
Per esempio, se ~
a ha modulo 6, b~ ha modulo 2, i due vettori formano un angolo di 30 e giacciono sul
piano della pagina (vedi la figura), allora:
10
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
l
l
p
~
a b~ ˆ 6 2 cos 30 ˆ 6 3
~
a b~ ha: modulo uguale a 6 2 sin 30 ˆ 6, direzione perpendicolare al piano della pagina, verso
che si determina puntando il pollice della mano destra nel verso del vettore ~
a, le altre dita della mano
~
nel verso del vettore b: il verso del vettore prodotto eÁ uscente dal palmo della mano.
Fai gli esercizi
Calcola il prodotto scalare e il modulo del prodotto vettoriale dei vettori ~
a e b~ che seguono.
9 aˆ4
bˆ2
ˆ 60
p
4; 4 3
10 a ˆ 2
bˆ5
ˆ 30 40 0
‰8,6; 5,1Š
11 a ˆ 6
bˆ3
ˆ 20 35 0 40 00
‰16,85; 6,33Š
12 a ˆ 5
bˆ4
ˆ 32 43 0 53 00
‰16,82; 10,81Š
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
11
Verifica del recupero
1 Calcola il valore della seguente espressione: 6 cos 45
4 sin 45 ‡ sin 360
9 tan 30 ‡ 3 tan 60 .
0,25 punti
2 Risolvi i triangoli rettangoli rettangoli di ipotenusa a e cateti b e c, di cui si sa che:
a. a ˆ 10,25
b. b ˆ 14,60
c. c ˆ 10,26
ˆ 38 27 0 12 00
c ˆ 34,20
a ˆ 23,40
0,75 punti per
ogni esercizio
3 Risolvi i triangoli qualunque, di cui sono assegnati i seguenti dati:
a. a ˆ 13,7
b. ˆ 47 10 0
c. b ˆ 9
ˆ 44
ˆ 18 44 0
a ˆ 12
ˆ 33
b ˆ 42,36
ˆ 65
1 punto per
ogni esercizio
4 Un triangolo ha un angolo di 115 e i due lati che lo formano sono lunghi 10,24cm e 26,13cm. Calcolane l'area.
0,5 punti
5 Calcola la lunghezza di una circonferenza che ha una corda che misura 56,8 sapendo che un suo corrispondente angolo al centro eÁ di 140 48 0 .
0,5 punti
6 In una circonferenza di raggio r traccia le corde AB e BC che formano fra loro un angolo di 120 ; sap
pendo che la prima eÁ lunga r 2, calcola un valore approssimato dell'area del triangolo ABC.
1,5 punti
7 Per calcolare la distanza di due ripetitori televisivi R1 e R2 separati da un laghetto e da un bosco, si sceglie
un punto P in un luogo accessibile e in modo tale che si possano effettuare le seguenti misure in metri:
PR1 ˆ 860, PR2 ˆ 1230, R1d
PR2 ˆ 120 . Calcola la distanza fra i due ripetitori.
2 punti
12
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Soluzioni
1
p
2
2 a. b ˆ 8,03;
ˆ 51 32 0 48 00 ;
b. a ˆ 37,19;
c. b ˆ 21,03;
3 a. ˆ 103 ;
0
b. ˆ 114 6 ;
c. c ˆ 11,56;
0
c ˆ 6,37
00
ˆ 23 7 4 ;
ˆ 63 59 0 39 00 ;
ˆ 66 52 0 56 00
ˆ 26 21 00
b ˆ 9,77;
c ˆ 7,66
a ˆ 34,03;
ˆ 44 50 0 37 00 ;
c ˆ 14,90
ˆ 70 9 0 23 00
4 121,25cm2
5 189,42
6 0,32 r 2
7 1819,42 metri
Esercizio
1
2
3
4
5
6
7
Punteggio
Valutazione
in decimi
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
13
angle
degree
gradient
ground speed
angolo
grado
pendenza, inclinazione
velocitaÁ rispetto al suolo
cioeÁ
radiante
tracciare un grafico
i.e. (id est)
radiant
to sketch
1 Translate the following degree measures into radian measures:
54
120
150 .
2 In a circle of radius r ˆ 3 centimeters, what arc lenght s along the circumference corresponds to a central
angle of radians?
6
3 Find sin if is an acute angle such that cos ˆ 4 .
5
4 Show that sin …
† ˆ sin and cos …
† ˆ
cos .
d ˆ 3 . Find BC.
5 In triangle ABC is AB ˆ 5, AC ˆ 7 and cos ABC
5
6 Sketch the graph of f …x † ˆ 2jsin x j 1.
7 You are traveling uphill on a road and see a sign telling you this is a 5% grade, i.e. rising 5 meters for
every 100 meters of road. What is the angle between the road and the horizontal direction?
8 An airplane is flying at 170 km/s towards the north-east, in a direction making an angle of 52 with the
eastward direction. The wind is blowing at 30 km/s towards the north west, making an angle 20 with the
northward direction. What is the actual "ground speed" of the airplane, and what is the angle A between
the airplane's actual path and the eastward direction?
9 The Colorado river drops from 3200 feet at Lake Mead to 900 feet elevation at Lee's Ferry, a river distance of 270 miles. What is the gradient in degrees?
3
2
5
; ; 10
3
6
2 sˆ
centimeters
2
3
3
5
p
5 4 2
7 2,86
8 188km/s, 59,8
Tema 5 - MATH IN ENGLISH
1
9 34,5
14
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA