UNIVERSITA` DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II Facoltà di

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica
APPUNTI ED ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI MISURE
Corso 2016/2017
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INDICE
1. (p.3-9): definizione di misurazione e misurando, incertezza e
sua valutazione, stimatori dell’incertezza, la GUM, LPU.
2. (p.10-15): sistemi di misura elettronici, caratteristiche degli
strumenti di misura, architettura dello strumento di misura.
Tipologie di segnali, valore di picco, valore di picco-picco,
fattore di forma, fattore di cresta, valore medio, valore
efficace, intervallo d’indicazione, valutazione delle condizioni
operative dello strumento.
3. (p.15-19): Diagramma di taratura, curva di taratura, incertezza
di misura strumentale.
4. (p.19-24): Misurazioni nel dominio del tempo (misurazione di
intervallo di tempo, di periodo, di frequenza), contatori
reciproci.
5. (p.25-38): Misurazioni nel dominio delle ampiezze (voltmetro a
conversione tensione-frequenza, a doppia rampa e multi
rampa), NMRR, CMRR.
6. (p.39-48): Voltmetri in regime alternato: calcolo valore di
picco, calcolo di picco-picco, valore medio convenzionale,
valore efficace con termocoppia, effetto seebeck, effetto
peltier.
7. (p.49-66): Multimetro, oscilloscopio analogico, digitale (DSO),
convertitore SAR, convertitore flash, convertitori multiplexati,
tipologie di campionamento, visualizzazione, banda passante,
bit effettivi, sonde.
8. (p.67-72): Norme sulla caratterizzazione di un convertitore,
ENOB.
9. (p.73-79): Analizzatori di spettro: real time, sweep tuned,
supereterodina, analizzatori di spettro numerici.
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CAPITOLO 1
MISURAZIONE E MISURANDO
La misurazione si riferisce alla macroarea della “metrologia” cioè la scienza della misurazione e delle sue
applicazioni. La misurazione è un processo (non è un risultato) mediante il quale si ottengono
sperimentalmente dei valori che possono essere attribuiti ragionevolmente alla grandezza. Dunque la
misurazione associa un valore alla grandezza fisica supponendo quindi l’esistenza di un precedente lavoro
per creare una scala di valori da associare ala grandezza. Il processo di misurazione ha un margine
d’incertezza, cioè il valore che associamo alla grandezza fisica misurata (il misurando) non è mai unico ma,
come risultato di misurazione, avrò un intervallo di valori. Il motivo per il quale tale intervallo non è unico è
generato dalla definizione del misurando: se teniamo conto di tutte le variabili che intervengono durante la
misurazione otteniamo una grandezza completa, se invece consideriamo solo alcune variabili che
determinano la misurazione allora si ha una grandezza parziale; dato che è impossibile dare informazioni
per le infinite variabili che possono entrare in gioco, avrò sempre grandezze parziali e ci saranno sempre
variabili non definite che causeranno un margine d’errore sulla grandezza definita e quindi la grandezza non
assume un unico valore, ma un intervallo di valori. La misurazione può essere diretta o indiretta:
1)MISURAZIONE DIRETTA: il misurando è valutato dal sistema di misura in maniera diretta.
2)MISURAZIONE INDIRETTA: il misurando viene valutato tramite una relazione funzionale del tipo:
Y=f(X1,X2,……,Xn), dove Y è il misurando e Xi le grandezze d’ingresso.
Un esempio di MISURAZIONE INDIRETTA è espresso dalla legge di Ohm: V=RI dove, per calcolare la
resistenza R farò R=V/I mostrando R=f(V,I).
Il MISURANDO invece è la grandezza oggetto della misurazione. In generale nessuna misurazione avviene
istantaneamente dunque ha bisogno di un tempo di misura per essere eseguita e il misurando terrà conto
dell’intervallo di tempo che è trascorso per eseguire la misurazione. La valutazione del misurando avviene
tramite un sistema di misura. Nel caso ideale si ha che il sistema di misura non altera il valore del
misurando ma, nella realtà, l’interazione del misurando con il suo relativo sistema di misura, ne causa una
sua modifica. Il risultato di misura sarà espresso tramite un intervallo di valori e da una certa incertezza.
Il risultato di misura dovrà avere anche un riferimento, il campione, con il quale confrontare i vari risultati.
Infatti se voglio associare un’informazione alla grandezza, devo darle un numero e un riferimento; il
numero indica il rapporto tra misurando e riferimento cioè quante volte il riferimento è contenuto nella
grandezza misurata. (ESEMPIO = 3.8m riferimento:metro grandezza:contiene 3.8 volte il riferimento). Il
riferimento viene scelto in base ad alcune proprietà da rispettare, cioè deve essere:
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1-ASSOLUTO= il suo valore non deve dipendere dal posto in cui è conservato.
2-STABILE= il suo valore non varia nel tempo.
3-RIPRODUCIBILE e DISSEMINABILE= di esso è possibile farne delle copie e tali copie devono poter essere
distribuite ovunque.
L’insieme di numero e riferimento dà vita al: ”Quantity value” (valore della grandezza). Dunque il risultato
di misura è formato da: un valore misurato + incertezza. Inoltre il valore misurato è a sua volta formato da
un numero e un riferimento (unità di misura) e quindi in definitiva il risultato di misura è espresso da:
NUMERO + UNITA’ DI MISURA + INCERTEZZA DI MISURA. Il numero è il rapporto tra grandezza e unità di
misura, l’unità di misura è il riferimento e l’incertezza è l’indeterminazione che ho nei valori e permette di
capire l’intervallo che caratterizza il risultato di misura. Dunque il risultato di misura sarà espresso come:
(val.num. ± incertezza).
INCERTEZZA:
Abbiamo introdotto l’incertezza come uno dei 3 termini che caratterizzano il risultato di misura; ma cos’è e
come si determina tale incertezza?
L’incertezza è indice della qualità della misurazione, è un parametro non negativo che caratterizza la
dispersione dei valori attribuiti al misurando, basati sull’informazione utilizzata. Questa è una precisa
definizione d’incertezza in quanto ci dice che essa è un parametro(cioè un numero che viene fuori dal
processo di valutazione legato ai valori misurati), è non negativa (matematicamente può restituire valori
≥0). Essa rappresenta la bontà della misurazione perché più è basso il suo valore e più la misurazione è
buona. L’incertezza va espressa con una massimo due cifre significative per cui è lecito troncare o
arrotondare il numero ottenuto dai calcoli. Il modello che sta alla base della costruzione dell’intervallo dei
valori risultanti da una misurazione è un modello statistico. Supponiamo che l’uscita sia modellata da una
variabile GAUSSIANA, allora si può stabilire che l’intervallo d ‘interesse è quello che la variabile aleatoria
può assumere con un livello di fiducia del 95%. In questo modello statistico vale il TEOREMA DEL LIMTE
CENTRALE:
la pdf risultante di tanti pdf di qualunque tipo è una GAUSSIANA. Ciò tanto è più vero quante più
osservazioni (variabili aleatorie) ho.
Questo teorema vale nelle seguenti ipotesi: Xi ( distribuzione normale) indipendenti, varianza della y
complessiva >> della varianza delle singole x amplificate di 𝐶𝑖 2 (costante).
Già nel misurando troviamo l’incertezza intrinseca del misurando dovuta al fatto che esso non è
completamente definito e quindi è un generatore d’incertezza. Nel definire il misurando abbiamo la fase di
definizione e la fase di realizzazione, che spesso non coincidono. Se per esempio dico che il misurando è la
lunghezza di un banco in certe condizioni, allora non c’è differenza tra le due fasi. Se invece volessi misurare
lo spessore delle lamine, create in un processo di produzione, nasce il problema di decidere su quale lamina
effettuare la misurazione. In tal caso non coincidono definizione e realizzazione e si genera anche
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l’incertezza di realizzazione dove non si è certi che la lamina realizzata misuri quanto il misurando definito.
La NORMA prevede due ipotesi fondamentali che sono:
1) Bisogna sempre mettersi nelle condizioni in cui il contributo d’indeterminazione dovuto al
misurando sia estremamente piccolo rispetto al contributo d’indeterminazione dato dal sistema di
misura
2) La media statistica della v.a. che modella il risultato di misurazione deve fornire il valore nominale
del risultato.
Il modello matematico che descrive l’incertezza è dato da: x=Xn+ɛ, con Xn come valore nominale ed
ɛ è l’errore d’osservazione. Con la seconda ipotesi della norma si va a supporre che la media
statistica della v.a. ɛ sia nulla:
. La seconda ipotesi su cui si basa la normativa
deve prevedere che tutti gli effetti sistematici che sono stati riconosciuti siano stati compensati e
sia stata tenuta in conto anche l’incertezza sulla correzione effettuata. Gli effetti sistematici appena
chiamati in causa sono gli effetti che alterano la misurazione sempre nello stesso modo. Se per
esempio misuro la lunghezza di una cattedra con un metro che in realtà misura quacosa di più del
metro, farò misure tutte con lo stesso errore che generano l’effetto sistematico.
In definitiva si realizza un misurando caratterizzato da un unico valore nella sua definizione e
realizzazione e il sistema di misura è tale che la v.a. che modella il risultato ha una media statistica
pari al misurando e quindi con componente aleatoria di media statistica nulla. Cosa importante
quindi è che, nell’effettuare una misura, bisogna sempre tenere in conto il contributo d’incertezza
dovuto alla correzione.
STIMATORI
La reale distribuzione del valore misurato non si conosce e quindi bisogna relizzare una stima. La
stima fa parte di un processo in cui si cerca di arrivare ai parametri che caratterizzano la
distribuzione di probabilità incognita, a partire dai dati alla mano ( per esempio le singole
realizzazioni della v.a.). Tra le varie tipologie di stimatori abbiamo:
1) STIMATORE DEL VALORE ATTESO: esso realizza una stima della media statistica, realizzando una
media aritmetica. E’ uno stimatore perché se n->∞, cioè ho infinite misurazioni, tale relazione
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converge ala media statistica: Xm= ∑𝑛𝑖=1 𝑋i. La stima migliora al crescere di n e sarà tanto più
𝑛
prossima alla media statistica quanto più n cresce.
2) STIMATORE DELLA VARIANZA: 𝑠 2 (xi)=
1
𝑛−1
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥𝑚)2 . Anche questo stimatore al crescere
di n converge alla varianza della v.a.. Al denominatore ho n-1 perché tiene conto del fatto che
in realtà, se ho n realizzazioni, le informazioni indipendenti contenute nella relazione sono n-1
perché compare il termine xm che già dipende da xi. Quindi al denominatore tengo conto solo
delle variabili indipendenti.
Grazie agli stimatori di media e varianza ottengo le due informazioni con le quali posso costruire la
distribuzione di probabilità.
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CONFRONTO TRA ERRORE DI MISURA ED INCERTEZZA
L’incertezza rappresenta la dispersione dei valori attribuiti al misurando e tale dispersione è data da vari
contributi:
LA GUM E LE SUE ASSUNZIONI
La GUM è una norma congiunta dei due organismi europei ISO e IEC e significa: Guide to the expression of
Uncertainly in Measurement. Nelle sue assunzioni la GUM ha come ipotesi che le informazioni provenienti
dal riquadro blu sono trascurabili rispetto all’incertezza del sistema di misura.
1- PRIMA ASSUNZIONE DELLA GUM: la definizione e la realizzazione del misurando sono dettate dalla
richiesta della incertezza obiettivo (che viene stabilita da chi vuole conoscere il valore del suo
misurando). Il misurando deve essere definito e realizzato con sufficiente completezza rispetto alla
richiesta in modo tale da poter essere assunto come valore unico da chi esegue la misurazione. In
base a ciò che abbiamo detto, la GUM è regolata dal modello: y=Ym+ɛ dove y è il valore misurato, ɛ
è una v.a. e Ym è il valore unico del misurando. La ɛ rappresenta l’ errore di misura, ma può anche
essere vista come la differenza tra y e Ym. Fino a qualche tempo fa ɛ era valutato come questa
differenza invece ora è valutato come una variabile aleatoria, dal momento in cui anche il risultato
di misura è modellato come una v.a. .
Prima di passare alla seconda assunzione della GUM dobbiamo definire vari tipi di errore e le sue relazioni
con l’incertezza. L’errore può essere anche negativo a meno che non si valuti la differenza in valore
assoluto, mentre l’incertezza è sempre positiva perché caratterizza una distorsione. Mentre l’errore è una
variabile aleatoria, l’incertezza quantifica la dispersione e quindi può sempre essere stimata. Tra le tipologie
di errore abbiamo: ERRORE ALEATORIO ed ERRORE SISTEMATICO.
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ERRORE ALEATORIO
Esso è dato da variazioni temporali o spaziali che non possono essere predette e quindi si dice anche
effetto random. In generale non posso correggere l’entità di questo errore perché cambia in ogni
misurazione. Infatti può capitare di non riuscire a controllarle e di conseguenza queste grandezze potranno
avere delle minime variazioni che potranno influenzare il comportamento del misurando e quindi,
ripetendo n misurazioni, avrò che il misurando sta cambiando perché non riesco a mantenere costanti le
grandezze d’influenza che intervengono nella misurazione. Non può essere eliminato ma può essere ridotto
aumentando il numero di osservazioni.
ERRORE SISTEMATICO
La grandezza d’influenza varia in maniera polarizzata cioè fa variare il risultato sempre nella stessa
direzione e nello stesso verso. Come l’effetto random, anch’esso può essere ridotto ma non eliminato.
L’errore sistematico va corretto solo se il suo effetto è significativo rispetto all’incertezza target. Se per
esempio l’incertezza vale 1% allora se l’effetto sistematico è trascurabile rispetto all’1% non ha senso
andarlo a correggere perché non contribuisce all’incertezza complessiva. Va corretto solo se rappresenta un
ostacolo per determinare l’incertezza target. Come avviene la correzione: per esempio effettuo ripetute
misurazioni su un’asta di un metro e ottengo misurazioni intorno a 0.98 e faccio 1metro-0.98 e trovo un
errore di 0.02. Questa stima viene utilizzata per la compensazione, cioè sottraggo alla y lo 0.02 di cui sto
sballando rispetto alla misurazione.
IN SINTESI…abbiamo scoperto che l’errore è sicuramente valutato come differenza tra valore misurato e
valore del misurando, ma nella nostra trattazione è valutato come una v.a. e dunque è caratterizzato da
due contributi cioè l’errore aleatorio e l’errore sistematico.
2- SECONDA ASSUNZIONE DELLA GUM: si assume che il risultato di misura sia stato corretto per tutti
gli effetti sistematici significativi riconosciuti. Ovviamente tale correzione non è pura ma sempre
affetta da incertezza che dovrà essere tenuta in conto dall’operatore nel momento in cui stabilisce
un certo risultato di misura.
Avendo aggiunto tale assunzione notiamo che il modello della GUM y=Ym+ ɛ dopo la correzione diventa
E[ɛ]=0 e E[y]=Ym. Dunque dopo la correzione, affinchè il modello della GUM sia ancora valido, bisogna
fare in modo che la media statistica di ɛ sia nulla. Con la presenza di effetti sistematici notiamo che non
è detto che la media statistica si annulli però io comunque l ‘effetto sistematico lo correggo ed ottengo
un errore residuo che fa zero in media statistica e quindi sicuramente ottengo E[ɛ]=0. Dunque la media
statistica del valore misurato è il valore del misurando. Però, non conoscendo la distribuzione di
probabilità, risulta difficile trovare la media statistica del valore misurato. Il compito si semplifica grazie
alla statistica che ci mette a disposizione delle stime del valore medio attendibili. L’importante è che le
misurazioni siano ripetute e indipendenti in modo da ottenere, con la media aritmetica, la migliore
stima della media statistica e quindi del misurando. Questa migliore stima ottenuta diventa il punto
centrale dell’intervallo in cui è presente il risultato di misura, invece per ottenere la semiampiezza di
tale intervallo conviene considerare la distribuzione di probabilità della media aritmetica. L’incertezza
viene attribuita ad una varianza, cioè ad una dispersione, e quindi dato il valore misurato visto come
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variabile aleatoria del valore del misurando, mi serve la stima della sua media statistica e della sua
varianza, perché grazie a queste due informazioni riesco ad ottenere un intervallo e a tale intervallo, se
sono nelle condizioni per applicare il thm del limite centrale, posso associare un livello di fiducia perché
posso ipotizzare una distribuzione di probabilità gaussiana.
3- TERZA ASSUNZIONE DELLA GUM: qualunque sia il processo di misura, esso deve sempre poter
essere modellato con una relazione matematica e si deve sempre poter tenere conto di tutte le
grandezze che concorrono significativamente al risultato.
Avendo aggiunto la terza assunzione della GUM ho ottenuto un modello del processo di misura:
Y=f(X1,X2,…,Xn), y = grandezza d’uscita, f = relazione funzionale e Xi = grandezze d’ingresso. Ovviamente
questa è una soluzione matematica e quindi una soluzione di ripiego con i relativi eventuali problemi come
il problema di poter avere il valore stimato distaccato dalla distribuzione di popolazione se la f non è lineare
e se le incertezze sulle Xi sono grandi.
VALUTAZIONE DELL’INCERTEZZA:
A questo punto valuto la stima dell’incertezza rappresentata dalla stima di una deviazione standard detta
INCERTEZZA STANDARD COMBINATA: uc(y). Questa valutazione può essere di tipo A o di tipo B. Sono due
approcci alternativi, a volte sono mutuamente esclusivi. Se misuro la distribuzione con un approccio
frequentistico ho la valutazione di tipo A se, invece, effettuo la misura sulla base di altri effetti ho i tipo B.
Entrambi (A e B) sono basati su distribuzioni di probabilità.
VALUTAZIONE DI TIPO A:
Questa valutazione mi dà un ottimo compromesso tra costi e benefici. Devo avere n osservazioni ripetute
indipendenti Xi,k (K=1,…,n) della grandezza d’ingresso Xi. Otterrò un numero adeguato di osservazioni, tipo
32, e ne farò la media aritmetica per ottenere la migliore stima di Xi:
1
1
𝑛
𝑛(𝑛−1)
Xi = ∑ 𝑛
𝑘=1 𝑋𝑖, 𝑘 e l’incertezza standard la valuto così: u(Xi)=√
∑𝑛𝑘=1(𝑋𝑖, 𝑘 − 𝑋𝑖)2 (ovviamente la
radice prende tutto, comprende anche la sommatoria). Si nota che il radicando è lo stimatore migliore della
deviazione standard della media aritmetica perché oltre ad (n-1) ci sta anche 1/n che tiene conto del fatto
che sto ottenendo una stima tramite media aritmetica.
VALUTAZIONE DI TIPO B:
Si realizza sulla base di informazioni che abbiamo a priori e ricavabili da dati di misure precedenti oppure da
specifiche del costruttore o da incertezza assegnata da un manuale ecc… Alcuni esempi di tipo B sono:
1) MULTIPLO DI UNA DEVIAZIONE STANDARD: l’unica info sull’incertezza è un multiplo k di uno scarto
tipo e si ottiene l’incertezza standard dividendo il valore trovato per il fattore di moltiplicazione k.
2) INCERTEZZA OTTENUTA DA UNA IPOTETICA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA “99.73%”: si stimano due
limiti (uno superiore ∆+ e uno inferiore∆− ) tali che la miglior stima della grandezza in ingresso vale
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(∆+ + ∆− )/2 cioè il valore centrale e si ha il 99.73% di probabilità che la grandezza si trovi in tale
intervallo. L’incertezza è approssimativamente ∆/3.
3) DISTRIBUZIONE UNIFORME (RETTANGOLARE): si ha che la probabilità che il risultato cada fuori
dall’intervallo è zero ed è uno la probabilità che invece cada all’interno. Con tali probabilità si
ottiene la distribuzione uniforme come la rettangolare perché la probabilità è costante
nell’intervallo. Di tale distribuzione mi serve il punto centrale e la deviazione standard che vale:
𝑠𝑒𝑚𝑖𝑎𝑚𝑝𝑖𝑒𝑧𝑧𝑎
√3
.
LEGGE DI PROPAGAZIONE DELL’INCERTEZZA (LPU):
Vale per grandezze in ingresso non correlate:
Nel caso in cui le grandezze d’ingresso sono correlate e la f è lineare ottengo la seguente LPU:
INCERTEZZA ESTESA:
Per alcune applicazioni commerciali ed industriali si valuta l’incertezza estesa indicata con U maiuscolo ed è
ottenuta moltiplicando uc(y)[ incertezza tipo composta data da uc2(y)=√𝑖𝑛𝑐. 𝑎2 + inc.b2 tutto sotto radice]
per un fattore di copertura k [va valutato in base al livello di fiducia richiesto. Per distribuzioni gaussiane
varia in un range di 2-3].
U=k× uc(y). Sono quindi giunto al risultato di misura che si esprime come: Y=y±𝑈.
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CAPITOLO 2
ASPETTI GENERALI DELLE MISURE ELETTRONICHE
SISTEMI DI MISURA ELETTRONICI:
Il sistema di misura è l’insieme di uno o più strumenti di misura che, insieme ad altri dispositivi, generano
un’informazione usata per generare i measuring quantity value ( i risultati di misura all’interno di specifici
intervalli). Per altri dispositivi si intende cavi di collegamento, tabelle ecc. Il sistema di misura permette il
confronto tra due grandezze e la maggior parte dei sistemi di misura sono elettronici cioè composti in più
parti da dispositivi elettronici che accettano in ingresso segnali solo di natura elettrica. I vantaggi dei sistemi
di misura elettronici sono i bassi costi, l’elevata velocità, l’affidabilità e la possibilità di memorizzare il valore
misurato. Lo strumento di misura invece è un dispositivo utilizzato per eseguire misurazioni e l’unione di
vari strumenti crea il sistema di misura. Tra i vari tipi di strumento di misura abbiamo quello ad INDICE che
fornisce un segnale d’uscita che trasporta informazioni in base al valore della quantità misurata e si
presenta in forma VISUALE (il risultato compare su un display) o ACUSTICA (quando il segnale supera una
soglia si attiva un suono). Questa tipologia di strumenti di misura è utilizzata per esempio nei sistemi di
monitoraggio terremoti e vulcani in cui le informazioni non servono nel luogo dell’accaduto ma devono
arrivare ad una centrale operativa che deve organizzare la varie operazioni. Le principali caratteristiche di
uno strumento di misura sono:
1)FONDOSCALA (o PORTATA) = valore massimo della grandezza che lo strumento è in grado di misurare.
2)SENSIBILITA’ = analiticamente la derivata dell’uscita rispetto l’ingresso. Rappresenta il rapporto tra il più
piccolo valore rappresentabile da uno strumento di misura e il corrispondente valore della grandezza in
ingresso. La sensibilità di un contatore numerico è la minima ampiezza che il segnale in ingresso deve avere
per poter essere analizzato. Vedremo che, a differenza della risoluzione che si riferisce solo all’uscita, la
sensibilità è un concetto riferito sia all’ingresso che all’uscita, ed è indice di come risponde lo strumento in
termini di variazione d’indicazione se si fa variare, per esempio, il misurando.
3)RISOLUZIONE = minimo valore rappresentabile dallo strumento di misura. Se ho un dispositivo digitale
allora la risoluzione coincide con la variazione di una unità di cifra per la cifra meno significativa. Per
esempio, un voltmetro che può visualizzare al massimo 49999 conteggi con portata di 500mV, avrà
massima indicazione=499.99mV e la minima quantità visualizzabile è 0.01mV che sarà la risoluzione sulla
portata di 500mV. E’ una proprietà che si riferisce all’uscita dello strumento di misura.
Notiamo che può essere differente in
base al fondo scala utilizzato. In queste
specifiche possiamo notare alla prima
riga un fondo scala di 100mV con una
risoluzione di 0.1 uV e quindi è
possibile misurare valori di tensione
continui, da 0 a 100 mV con risoluzione
di 0.1 uV.
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