Derivate - Dipartimento di Matematica

Matematica e Statistica per Scienze Ambientali
Derivate - Appunti
E NRICO R OGORA1
1
Dipartimento di Matematica
”Sapienza”, Università di Roma
Roma, Novembre 2013
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Retta secante un grafico e rapporto incrementale
Sia f una funzione e x0 un punto del suo dominio. Supponiamo che
anche x0 + h appartenga al dominio di f per tutti i numeri h
sufficientemente piccoli. La retta per i punti (x0 , f (x0 )) e
(x0 + h, f (x0 + h)) è una secante il grafico di f . Il suo coefficiente
angolare è
f (x0 + h) − f (x0 )
∆f
=
∆x
h
detto anche rapporto incrementale della funzione tra i punti x0 e
x0 + h.
Il rapporto incrementale misura quanto rapidamente cresce la
funzione nel passaggio da x0 a x0 + h rispetto all’incremento h.
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Rapporto incrementale
0.0
Rapporto incrementale
-0.6
f(x)
-0.4
-0.2
(x0+h,f(x0+h))
(x0+h,f(x0))
-1.0
-0.8
(x0,f(x0))
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
x
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
0.0
Derivata: limite del rapporto incrementale e
coefficiente angolare della retta tangente
Sia f una funzione e x0 un punto del suo dominio. Definiamo derivata
della funzione in x0 il limite, se esiste, del rapporto incrementale
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
lim
Indichiamo la derivata di f in x0 con il simbolo f 0 (x0 ) (notazione di
df
Newton) o con il simbolo dx
(notazione di Leibniz), o ancora con Df .
La derivata è il coefficiente angolare della retta tangente. Per
illustrare questo fatto, possiamo vedere come ingrandendo sempre di
più una funzione vicino ad un punto, questa funzione diviene presto
indistinguibile da una retta, che rappresenta la nostra intuizione di
retta tangente. Possiamo sperimentare questo fatto con il codice
della slide successiva il cui output viene riportato nella slide ancora
successiva.
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Codice per ingrandire un grafico nell’intorno di un
punto
par(mfrow=c(2,2))
curve(f(x),from=x0-3,to=x0+3)
abline(v=c(x0-1,x0+1))
points(x0,f(x0))
curve(f(x),from=x0-1,to=x0+1)
abline(v=c(x0-1,x0+1))
abline(v=c(x0-1/10,x0+1/10),col="red")
points(x0,f(x0))
curve(f(x),from=x0-1/10,to=x0+1/10)
abline(v=c(x0-1/10,x0+1/10),col="red")
abline(v=c(x0-1/100,x0+1/100),col="blue")
points(x0,f(x0))
curve(f(x),from=x0-1/100,to=x0+1/100)
abline(v=c(x0-1/100,x0+1/100),col="blue")
points(x0,f(x0))
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
0.8
f(x)
0.6
0.0
-1.0
0.4
-0.5
f(x)
0.5
1.0
1.0
Ingrandimento del grafico di una funzione vicino ad un
punto
-1
0
1
2
3
4
0.5
1.0
2.0
f(x)
0.9840
0.9855
0.995
0.985
0.975
0.965
f(x)
1.5
x
0.9870
x
1.30
1.35
1.40
1.45
1.50
x
E NRICO R OGORA
1.390
1.395
1.400
x
Matematica e Statistica
1.405
1.410
La derivata di una funzione quadratica e il vertice della
parabola
Il rapporto incrementale della funzione f (x) = ax 2 + bx + c nel punto
x vale
∆f
a((x + h)2 − x 2 ) + b(x + h − x)
ha(2x + h) + bh
=
=
= 2ax+h+b
∆x
h
h
e quindi la derivata è
∆f
df
= lim
= lim (2ax + b + h) = 2ax + b.
h→0 ∆x
h→0
dx
È intuitivamente evidente che il vertice di una parabola con l’asse
parallelo all’asse delle y è caratterizzato dal fatto che la retta
tangente è parallela all’asse delle x. Questa intuizione è conformata
dal fatto che la derivata prima 2ax + b si annulla per il punto di
ascissa x = −b/2a che è appunto l’ascissa del vertice della
parabola. Il fatto che la derivata si annulli nell’ascissa di un punto di
massimo o di minimo è il teorema di Fermat che vedremo più avanti.
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Derivata numerica e grafico della derivata
Possiamo visualizzare il grafico di una funzione e della sua derivata
utilizzando il seguente codice.
der=function(f,x,epsilon=0.000001){
return((f(x+epsilon)-f(x))/epsilon)
}
f=function(x)sin(x)
a=0;b=2*pi;t=0.01;
curve(f(x),from=a,to=b)
xx=seq(a,b,t)
df=der(f,xx)
points(xx,df,t="l",col="red")
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
La derivata della funzione logaritmo
Ricordiamo che con log x indichiamo il logaritmo in base e, loge x. Il
rapporto incrementale della funzione f (x) = log x nel punto x vale
∆f
∆x
log(x + h) − log x
h
=
log(1 + xh )
h
=
=
1 log 1 +
h
x
x
h
x
Poiché
log 1 +
h
x
h
x
1
log(1 + y)
= lim log(1 + y ) y =
y →0
y →0
y
z 1
1
log lim (1 + y ) y = log lim 1 +
= log e = 1
z→∞
y→0
z
= lim
abbiamo che
∆f
1
=
h→0 ∆x
x
(log x)0 = lim
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
La derivata della funzione seno
Ricordiamo le formule di prostaferesi. Sottraendo a
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
la relazione
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
otteniamo
sin(α + β) − sin(α − β) = 2 cos α sin β
e ponendo p = α + β e q = α − β e quindi α =
sin p − sin q = 2 cos(
p+q
2
eβ=
p−q
2
abbiamo finalmente
p+q
p−q
) sin(
).
2
2
Utilizzando questa formula, il rapporto incrementale del seno si può esprimere come
„
«
sin(x + h) − sin(x)
h
sin h/2
= 2 cos(x + )
h
2
h
da cui
(sin x)0 = lim
h→0
„
«
sin(x + h) − sin(x)
h
sin h/2
= lim cos(x + ) · lim 2
=
h→0
h
2 h→0
h
„
«
h
sin w
ponendo w =
= cos(x) · lim
= cos x · 1cos x
w→0 w
2
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
La derivata della funzione x n
Utilizzando la formula per lo sviluppo delle potenze del binomio, il
rapporto incrementale della funzione x n in x è
xn +
(x + h)n − x n
=
h
e quindi,
n
1
x n−1 h +
n
2
x n−2 h2 + · · · + nn hn − x n
=
h
n n−2
x
+ ···
nx n−1 + h
2
(x + h)n − x n
= nx n−1
h→0
h
(x n )0 = lim
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
f derivabile in x, implica f continua in x
Sia f una funzione derivabile in x, e sia
f 0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Abbiamo allora che
lim f (x + h) − f (x) = lim f 0 (x) · h = 0
h→0
h→0
da cui
lim f (x + h) = lim f (x) = f (x)
h→0
h→0
e quindi f è continua in x.
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Proprietà della derivata
1
(f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
2
(f · g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f (x)
3
(f /g)0 (x) = (f (x)g 0 (x) − g(x)f 0 (x))/g(x)2
4
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x)
5
(f −1 )0 (f (x)) =
1
f 0 (x)
Derivate di ordine superiore
0
Si definisce induttivamente f (n) = f (n−1) .
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
(f · g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f (x)
Il rapporto incrementale di f · g in x è:
(f (x + h) · g(x + h) − f (x) · g(x)
(f · g)(x + h) − (f · g)(x)
=
=
h
h
(f (x + h) · g(x + h)−f (x) · g(x + h)+f (x) · g(x + h) − f (x) · g(x)
=
h
f (x + h) · g(x + h) − f (x) · g(x + h) f (x) · g(x + h) − f (x) · g(x)
+
=
h
h
g(x + h) − g(x)
f (x + h) − f (x)
g(x + h) +
f (x)
h
h
Prendendo il limite del rapporto incrementale abbiamo quindi
(f ·g)0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x)
· lim g(x+h)+ lim
· lim f (x)
h→0
h→0
h→0
h
h
= f 0 (x) · g(x) + g 0 (x) · f (x)
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x)
Sia f una funzione derivabile in x e sia g una funzione derivabile in
f (x). La funzione composta g ◦ f è derivabile in x e vale
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x).
Argomento di plausibilità
Il rapporto incrementale dela funzione composta è
g(f (x + h)) − g(f (x)) g(f (x + h)) − g(f (x)) f (x + h) − f (x)
=
·
h
f (x + h) − f (x)
h
Ora, f (x + h) = f (x) + k con k(h) 7→ 0 quando h 7→ 0. Allora il limite
del rapporto incrementale, per h che tende a zero è
lim
k →0
g(f (x) + k ) − g(f (x))
f (x + h) − f (x)
· lim
= g 0 (f (x)) · f 0 (x)
h→0
k
h
Per esercizio, indicare i punti dove questo argomento di plausibilità
deve essere modificato per ottenere una dimostrazione soddisfacente
di questo risultato.
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
(f −1 )0 (f (x)) = 1/f 0 (x) ovvero (f −1 )0 (y) = 1/f 0 (f −1 y)
Teorema
Se f ha derivata non nulla nel punto x0 , la funzione inversa φ(y ) è
derivabile nel punto y0 = f (x0 ) e vale
φ0 (y0 ) =
1
f 0 (x0 )
Dimostrazione
Siano ∆x = φ(y0 + ∆y ) − φ(y0 ) e ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ). Essendo
entrambe le quantità diverse da zero per valori abbastanza piccoli
degli incrementi,
1
∆x
= ∆y
∆y
∆x
Inoltre, ∆x e ∆y tendono simultaneamente a zero. prendendo i limiti
dei due quozienti si ha l’asserto.
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Derivata della dfunzione inversa
0.0
Derivata della funzione inversa
-0.6
y=f(x)
-0.4
-0.2
(x0+h,f(x0+h))=(phi(y0+k),y0+k)
-1.0
-0.8
(x0,f(x0))=(phi(y0),y0) (x0+h,f(x0))=(phi(y0+k),y0)
-1.0
-0.8
-0.6
E NRICO R OGORA
-0.4
-0.2
Matematica e Statistica
0.0
Derivata di ey .
La funzione y = log(x) ha come funzione inversa la funzione x = ey .
Dal teorema di derivazione della funzione inversa abbiamo allora che
(ey )0 =
1
(log x)0 (ey )
e quindi
(ey )0 =
E NRICO R OGORA
1
1
ey
= ey .
Matematica e Statistica
Derivata di arctan y.
La funzione y = tan x ha come funzione inversa la funzione
x = arctan y. Dal teorema di derivazione della funzione inversa
abbiamo allora che
(arctan y)0 =
1
(tan x)0 (arctan y )
=
1
1
= cos2 (arctan y)
cos2 (arctan y )
Ora, detto α = arctan y , tan α = y e quindi tan2 α = y 2 , ovvero
sin2 α/ cos2 α = y 2 e infine (1 − cos2 α)/ cos2 α = y 2 , da cui,
ricavando cos2 α, abbiamo
cos2 α =
1
1 + y2
e quindi
(arctan y)0 =
E NRICO R OGORA
1
.
1 + y2
Matematica e Statistica
Altre derivate elementari
1
2
3
4
5
(cos x)0 = − sin x. Da cos x = sin( π2 − x) utilizzando la formula
per la derivata della funzione composta.
(tan x)0 = cos12 x . Da tan x =
derivata di un quoziente.
sin x
cos x
utilizzando la formula per la
α
(x α )0 = αx α−1 . Basta osservare che x α = elog x = eα log x e
usare la regola per la derivazione delle funzioni composte.
(x x )0 = (x x )(1 + log x). Analogo al precedente.
(arcsin x)0 = √ 1 . Analogo al caso della derivata
1−x 2
6
dell’arcotangente.
(arccos x)0 = − √ 1
1−x 2
. Analogo al caso della derivata
dell’arcotangente.
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Teorema di Fermat
Sia f una funzione reale definita su un insime E ⊆ R. M ∈ E si dice: punto di massimo
per f in E se f (x) ≤ f (M) per ogni x in E; punto di minimo per f in E se f (x) ≥ f (M)
per ogni x in E; punto di massimo locale per f in E se esiste un intervallo I ⊆ E tale
che f (x) ≤ f (M) per ogni x ∈ I; punto di minimo locale per f in E se esiste un
intervallo I ⊆ E tale che f (x) ≥ f (M) per ogni x ∈ I.
Teorema
Sia f (x) una funzione derivabile, e quindi continua, in un punto x0 interno al dominio.
Se x0 è un punto di massimo o di minimo locale per la funzione allora la derivata della
funzione in x0 è nulla, cioè f 0 (x0 ) = 0.
Se x0 è un massimo (risp. minimo) allora esiste δ > 0 tale che
per ogni x ∈ (x0 − δ, x0 ) e quindi
limx→x +
0
limx→x −
0
f (x)−f (x )
limx→x − x−x 0 ≤
0
0
f (x)−f (x0 )
≥ 0 (risp. ≤ 0). Allora, se
x−x0
f (x)−f (x0 )
f (x)−f (x )
≤ 0 e limx→x + x−x 0
x−x0
0
0
f (x)−f (x0 )
≤
x−x0
0 (risp. ≥ 0)
0 (risp. ≥ 0). Analogamente,
x0 è un punto di massimo, da
≥ 0, poiché limite destro e limite sinistro
devono coincidere per la derivabilità in x0 , deve essere f 0 (x0 ) = 0. Analogamente se
f (x)−f (x )
f (x)−f (x )
x0 è un punto di minimo, limx→x − x−x 0 ≥ 0 e limx→x + x−x 0 ≤ 0 e f 0 (x0 ) = 0.
0
0
E NRICO R OGORA
0
Matematica e Statistica
0
Teorema di Rolle
Teorema
Sia f (x) una funzione continua nell’intervallo chiuso [a, b] e derivabile
nell’intervallo aperto (a, b). Se f (a) = f (b) allora esiste almeno un
punto x ∈ (a, b) dove la derivata prima f 0 (x) si annulla.
Per il Teorema di Weierstrass esistono M e m dove f assume il suo
valore massimo e il suo valore minimo, rispettivamente. Se cadono
entrambi agli estremi, la funzione è costante e quindi la derivata si
annulla in tutti i punti interni all’intervallo. Se uno almeno cade
all’interno, per il teorema di Fermat la derivata si annulla in tale punto.
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Teorema di Rolle
0
1
2
E NRICO R OGORA
3
4
5
6
Matematica e Statistica
Teorema di Lagrange
Teorema
Sia f (x) una funzione continua nell’intervallo chiuso [a, b] e derivabile
nell’intervallo aperto (a, b). Esiste almeno un punto x0 ∈ (a, b) t.c.
f (b) − f (a)
= f 0 (x0 ).
b−a
Basta applicare il teorema di Rolle alla funzione
F (x) = f (a) +
f (b) − f (a)
(x − a).
b−a
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Teorema di Lagrange
0
1
2
E NRICO R OGORA
3
4
5
6
Matematica e Statistica
Conseguenze del teorema di Lagrange
Sia f derivabile su (a, b), t.c. f 0 (x) = 0 per ogni x ∈ (a, b). Allora
f è costante.
Sia f 0 (x) ≥ 0 per ogni x ∈ (a, b). Allora f è crescente in (a, b)
ovvero x < y implica f (x) ≤ f (y ).
Sia f 0 (x) ≤ 0 per ogni x ∈ (a, b). Allora f è decrescente in (a, b)
ovvero x < y implica f (x) ≥ f (y).
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Teorema di Cauchy
Siano f (x) e g(x) funzioni continue nell’intervallo chiuso [a, b] e
derivabili nell’intervallo aperto (a, b), con g 0 (x) diversa da zero in ogni
punto dell’intervallo. Allora esiste almeno un punto x0 ∈ (a, b) t.c.
f 0 (x0 )
f (b) − f (a)
= 0
g(b) − g(a)
g (x0 )
Conseguenza del teorema di Cauchy:
Regola di de l’Hopital
Siano f e g due funzioni derivabili (e quindi continue) in un punto a
0
per cui f (a) = g(a) = 0. Se esiste limx→a gf 0(x)
(x) allora esiste anche
limx→a
f (x)
g(x)
e
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Generalizzazione del teorema di de l’Hopital
Siano f e g due funzioni derivabili per x ∈ (a − δ, a) (per un opportuno
δ > 0) e sia limx→a− f = +∞ e limx→a− g = +∞. Se esiste
0
f (x)
−
limx→a− gf 0(x)
(x) allora esiste anche limx→a g(x) e
lim
x→a−
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
−
g(x) x→a g (x)
La stessa tesi si ha anche quando si considerano limiti destri invece
che sinistri e quando uno o entrambi i limiti valgono −∞ invece che
+∞. Vale anche quando invece invece del limite per x che tende ad a
si considera il limite per x che tende a ±∞, sia quando
limx→±∞ f = limx→±∞ g = 0 sia quando
limx→±∞ f = limx→±∞ g = ±∞.
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Applicazioni del teorema di de l’Hopital
Applicazioni del teorema di de l’Hopital alla risoluzione della forma di
indeterminazione 00 .
(1 + x)n − 1
n(1 + x)n−1
= (H) = lim
=n
x→0
x→0
x
1
lim
lim
x→0
lim
x→0
sin x
cos x
= (H) = lim
=1
x→0
x
1
x − sin x
1 − cos x
= (H) = lim
= (H) =
x→0
x3
3x 2
sin x
cos x
1
lim
= (H) = lim
=
x→0 6x
x→0
6
6
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Applicazioni del teorema di de l’Hopital
Applicazioni del teorema di de l’Hopital alla risoluzione della forma di
indeterminazione ∞
∞.
ex
ex
= (H) = lim
= +∞
x→+∞ x
x→+∞ 1
lim
Iterando l’applicazione della regola di de l’Hopital si dimostra che
x
per n > 0, limx→+∞ xen = 0, cioè la funzione esponenziale cresce
più rapidamente di ogni potenza positiva di x, al crescere di x.
1
log x
x
=
(H)
=
lim
=0
x→+∞ x n
x→+∞ nx n−1
lim
(n > 0)
cioè la funzione logaritmo cresce più lentamente di ogni potenza
positiva di x, al crescere di x.
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Applicazioni del teorema di de l’Hopital
Forme di indeterminazione che si possono ridurre alla forma
0
0
o
∞
∞.
0·∞
lim+ x n log x = (H) = lim+
x→0
log x
x→0
1
xn
= lim+
x→0
1
x
−n
x n+1
= − lim+
x→0
xn
=0
n
00
x
x
lim+ x x = elog limx→0+ x = elimx→0+ log x = elimx→0+ x log x = e0 = 1
x→0
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
(n > 0)
Osservazioni sul teorema di de l’Hopital
Il teorema di de l’Hopital afferma che possiamo calcolare il limite di
un rapporto calcolando il limite del rapporto tra le derivate se
1
Il limite del rapporto dà luogo ad una forma indeterminata del
∞
tipo 00 o ∞
.
2
Il limite delle derivate esiste.
Il teorema di de l’Hopital NON DICE che se il limite delle derivate non
esiste allora non esiste il limite delle funzioni, come mostra il
seguente esempio
lim
x→∞
sin x
x + sin x
= lim (1 +
)=1
x→∞
x
x
(Infatti, da −1/x ≤ sin /x ≤ 1/x, per il teorema dei carabinieri
limx→∞ sinx x = 0).
Prendendo invece le derivate del numeratore e del denominatore di
x+sin x
x
otteniamo 1+cos
che non ha limite.
x
1
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Teorema di Taylor
Sia f : (a, b) → R una funzione n volte derivabile in (a, b) e sia
x0 ∈ (a, b). Il Polinomio di Taylor di grado n centrato in x0 è
Tn (f , x) = f (x0 )+f 0 (x0 )(x−x0 )+
f 00 (x0 )
f (n) (x0 )
(x−x0 )2 +· · ·+
(x−x0 )n
2!
n!
n
X
f (k ) (x0 )
(x − x0 )k
=
k!
k=0
allora f (x) = Tn (f , x) + Rn (x) dove il resto Rn (x) è un infinitesimo di
ordine superiore a (x − x0 )n cioè
lim
x→x0
Rn (x)
=0
(x − x0 )n
Se f è derivabile n + 1 volte, il resto può essere scritto nella forma di
Lagrange: esiste un intorno I di x0 tale che per ogni x di I esiste
ξ(x) ∈ [x0 , x] tale che
Rn (x) =
f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1 .
(n + 1)!
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Taylor: Interpretazione geometrica
curve(sin(x),from=0,to=pi,main="Polinomi di Taylor")
curve(1*x,from=0,to=2*pi,col="green",add=TRUE)
curve(x-xˆ3/6,from=0,to=2*pi,col="red",add=TRUE)
curve(x-xˆ3/6+xˆ5/120,from=0,to=2*pi,col="blue",add=TRUE
curve(x-xˆ3/6+xˆ5/120-xˆ7/factorial(7),from=0,to=2*pi,co
0.0
0.2
0.4
sin(x)
0.6
0.8
1.0
Polinomi di Taylor
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Formula per il resto di Lagrange: Calcolo
approssimato di e
Il polinomio di Taylor di quarto ordine centrato nell’origine per la funzione f (x) = ex è
Tf = 1 + x +
x2
x3
x4
+
+
2!
3!
4!
Abbiamo allora che
e = f (1) = Tf (1) + R4 (1) = 1 + 1 +
1
1
1
+ +
+ R4 (1)
2
6
24
e quindi
65
| = |R4 (1)|
24
D’altra parte per la formula di Lagrange per il resto del polinomio di Taylor
|e −
R4 (1) =
eξ 5
1
120
con ξ ∈ [0, 1]. Poiché eξ è una funzione crescente su [0, 1],
R4 (1) ≤
3
1
e
≤
=
120
120
40
Da questa stima dell’errore che commettiamo approssimando e con
prima cifra decimale di e e di 65
= 2.708333 . . . coincidono.
24
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
65
24
segue che la