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MATEMATICA
a.a. 2014/15
1.d FUNZIONI:
Funzioni base (II parte)
Funzioni potenza
Dati due numeri reali a e b, con a>0, una scrittura del tipo:
c=a
b
c=6
0.75
75
100
=6
≃ 3.83
sta a significare che c è la potenza di base a ed esponente b.
Si ricordano le principali regole di calcolo con le potenze (in cui si assumono a e b numeri reali
positivi, m e n numeri reali arbitrari):
a =1
0
a =a
1
(a
)
m n
= am⋅n
am ⋅ an = am+ n
n
a
−n
1
= n
a
m
a
m−n
=
a
an
( a ⋅ b)
n
= a n ⋅ bn
 a  an
  = n
b  b
Funzioni potenza
La funzione potenza ha legge generale:
y = xb
con x (base) variabile e b (esponente) costante. Se l’esponente b non è un numero intero, si
impone per la base la limitazione x ≥ 0.
I. Se b è un intero positivo (b=1,2,3,+) si ricade nel caso delle funzioni polinomiali:
y=x
y = x2
y = x3
y = x4
Soffermandoci sul caso b (intero) >0, distinguiamo b pari e b dispari.
Funzioni potenza
b (intero) >0: pari
La funzione ha campo di esistenza coincidente con tutto R, ma assumendo solo
valori non negativi ha per immagine R+. Non è iniettiva, pertanto non è invertibile.
Il grafico di tutte le funzioni f(x)=xn con n pari è simile a quello della parabola f(x)=x2, con
una apertura che si restringe all’aumentare di n.
La funzione è pari: ha quindi grafico simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.
b (intero) >0: dispari
La funzione in questo caso mantiene il segno della variabile indipendente x.
L’insieme di definizione è ancora R, l’immagine è R.
La funzione è continua e strettamente crescente, dunque è invertibile su tutto l’asse
reale.
E’ una funzione dispari.
y = x3
y = x5
y = x7
y = x9
y = x2
y = x4
y = x6
y = x8
Funzioni potenza
II. Se b è un intero negativo (b=-1,-2,-3,+) si ottengono le reciproche delle funzioni già
introdotte al punto I.:
y = x−1 =
1
x
y = x−2 =
1
x2
y = x−3 =
1
x3
In questo caso la funzione f è una particolare funzione razionale ed è definita per x≠
≠0
III. Se b è della forma b=1,1/2, 1/3,+si ottengono le inverse funzionali delle funzioni
introdotte al punto I.
y=x
1
2
y=x = x
1
3
y=x = x
3
1
4
y=x =4 x
Funzione identità: la funzione inversa è uguale a se stessa.
Funzioni radice
L’inversa della funzione potenza è la funzione radice:
1
n
y=x =n x
L’esistenza della funzione radice va distinta a seconda di n dispari o n pari:
n dispari: la funzione radice esiste su tutto l’asse reale, pertanto il campo di esistenza
corrisponde ad R
n pari: la funzione radice esiste solo se x è non negativo, ossia ha campo di esistenza
[0, +∞). In altri termini, se n è pari, per costruire la funzione inversa occorre restringere
la funzione in modo che diventi iniettiva. Si ottiene questo risultato considerando come
dominio solo il semiasse positivo, x≥0. Sotto queste condizioni esiste la funzione
inversa.
Ancora, in generale:
Funzioni radice
Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni:
x − 3x + 2
f ( x) =
3− x
2
f ( x) = x − 1
2
C.E. R ( −∞; −1] ∪ [1; +∞)
7
C.E.
R \ {3}
Funzioni radice
x2 − 4 x
f ( x) =
1 − x2
C.E.
( −1,0] ∪ (1, 4]
C.E.
 x2 − 4x
≥0

2
 1− x
1 − x2 ≠ 0

x2 − 4 x ≥ 0
x ( x − 4) ≥ 0
x = 0; x = 4
1 − x2 > 0
x2 − 1 < 0
x = ±1
-1
-
-1
0
+
-
4
+
-
Funzioni radice
x2 − 4 x
f ( x) =
1 − x2
C.E.
 x2 − 4x
≥0

2
 1− x
1 − x2 ≠ 0

-1
0
C.E.
1
4
( −1,0] ∪ (1, 4]
Funzioni esponenziali
Si chiama funzione esponenziale, una funzione del tipo:
y=a
x
con a>0 (detto base della funzione esponenziale) e x variabile in R.
Base della funzione esponenziale >1: il grafico della funzione y=ax «sale»; se la
base è un numero positivo <1 il grafico della funzione y=ax «scende»; se infine a=1,
la funzione esponenziale y=ax si riduce alla funzione costante y=1.
La scelta della base influisce sulla rapidità con cui il grafico della funzione esponenziale
sale o scende.
Campo di esistenza: una funzione esponenziale a base costante esiste purché esiste
l’esponente variabile
L’importanza delle funzioni esponenziali (e poi vedremo logaritmiche) deriva dal fatto che esse
sono in un certo senso i prototipi utili a descrivere fenomeni frequenti in natura quali il
decadimento radioattivo, il processo di raffreddamento di un corpo, il diffondersi di un’infezione o il
moltiplicarsi di una colonia di batteri.
Funzioni esponenziali
Proprietà dell’esponenziale
a a =a
x
y
x+ y
( prodotto),
(a
)
x y
= a xy (composizione), a − x =
a >1
1
(reciproco)
x
a
0 < a <1
La funzione è strettamente crescente
La funzione è strettamente decrescente
Funzioni esponenziali
La funzione esponenziale per antonomasia è quella di base e il numero di Nepero
(Napier) e=2.718.
y = exp ( x ) = e x
Funzioni esponenziali
Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni:
1. y = e
− x2
C.E.
R
x
e
2. y = x
e −1
3. y = e
x−2
x
C.E.
R \ {0}
C.E.
R \ {0}
Funzioni esponenziali
x
e
2. y = x
e −1
C.E.
ex −1 ≠ 0
e ≠e
x
0
C.E.
ex ≠ 1
x≠0
R \ {0}
Funzioni logaritmiche
La funzione inversa dell’esponenziale f(x)=ax (a numero reale positivo, a≠1) si denota
col simbolo:
x = log a y
e si chiama logaritmo di y in base a. Scambiando, secondo l’usanza, il ruolo delle
variabili x e y, scriveremo abitualmente:
y = log a x
Qualunque sia la base a, la funzione logaritmo risulta definita solo per valori
positivi della variabile x. In altre parole il dominio della funzione loga x è costituito
dall’insieme dei numeri reali >0. Ancora più in generale si dice che le funzioni
logaritmo sono definite solo per valori positivi dell’argomento.
I valori y assunti dalla funzione logaritmo variano invece da –∞ a + ∞. In altre parole il
codominio della funzione log a x è tutto R.
Funzioni logaritmiche
Alcune proprietà dei logaritmi:
log a b = c a = b
c
log a 1 = 0
log a a = 1
log a ( b ⋅ c ) = log a b + log a c
log a ( b c ) = loga b − log a c
log a bn = n loga b
(n numero reale qualsiasi)
Funzioni logaritmiche
Alcune proprietà dei logaritmi:
log a ab = b
a
loga b
=b
(b numero reale qualsiasi)
(b numero reale qualsiasi >0)
Le basi più frequenti per i logaritmi sono:
Base 10: logaritmo decimale log
Base e: logaritmo naturale ln
Funzioni logaritmiche
Poiché il grafico dell’inversa di una funzione f si ottiene scambiando ascisse e ordinate,
cioè prendendo il simmetrico del grafico di f rispetto alla retta y=x, dalle proprietà delle
funzioni esponenziali deduciamo le seguenti proprietà delle funzioni logaritmiche:
- Se a>1 allora loga è strettamente crescente, negativa in (0,1) e positiva in (1,+∞)
- Se 0<a<1 allora loga è strettamente decrescente, positiva in (0,1), negativa in (1,+ ∞)
Funzioni logaritmiche
Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni :
1. f ( x) = log x
C.E. x > 0
(0, +∞)
 x +1
3. f ( x) = ln 

x
−
1


C.E.(−∞, −1) ∪ (1, +∞)
2. f ( x) = log x2
C.E. R \ {0}
4. f ( x) = ln ( x + 1) − ln ( x − 1)
C.E. (1, +∞)
Funzioni logaritmiche
3.
C.E.
 x +1 
f ( x) = ln 

x
−
1


 x +1
>0

 x −1
 x − 1 ≠ 0
x +1
>0
x −1
-1
x +1 > 0
x > −1
x −1 > 0
x >1
-1
1
+
0
-
1
-
+
C.E.(−∞, −1) ∪ (1, +∞)
Funzioni logaritmiche
Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni :
4.
f ( x) = ln ( x + 1) − ln ( x − 1)
C.E.
 x > −1

x > 1
x +1 > 0

 x −1 > 0
-1
1
C.E. (1, +∞)
Funzioni logaritmiche
Considerando le seguenti funzioni:
determinare il campo di esistenza, simmetrie, positività e incontro con gli assi:
5. y = ln ( x2 − 4)
 x 
6. y = ln  2 
 x +1 
 3x + 5 
7. y = ln  2

 x + 5x + 6 
5. y = ln ( x2 − 4)
1. CAMPO DI ESISTENZA
x2 − 4 > 0
-2
2
x2 − 4 = 0
C.E. (−∞; −2) ∪ ( 2; +∞ )
x = ±2
2. SIMMETRIE
f ( −x) = f ( x) :
(
)
f ( − x ) = ln ( − x ) − 4 = ln ( x2 − 4)
2
PARI
5. y = ln ( x2 − 4)
3. STUDIO DEL SEGNO (POSITIVITÀ)
ln ( x 2 − 4 ) ≥ 0
ln ( x 2 − 4 ) ≥ ln1
x2 − 4 ≥ 1
x2 − 5 ≥ 0
x=± 5
− 5
+ 5
-2
+
-
+2
-
+
5. y = ln ( x2 − 4)
4. INCONTRO ASSI
 y = ln ( x2 − 4)

 y = 0
ln ( x2 − 4) = 0

 y = 0
(
P(
P1 − 5; 0
2
5; 0
Poiché x=0 non è nel dominio
non ha senso studiare
l’intersezione con l’asse delle
ordinate
)
)
 x 
6. y = ln  2 
 x +1 
1. CAMPO DI ESISTENZA
x
>0
2
x +1
0
x>0
x2 + 1 > 0
-
2. SIMMETRIE
f ( −x) = f ( x) :
 −x 

f ( − x ) = ln 
2
 ( −x ) +1 


NO PARI
 x 
− f ( x ) = − ln  2

 x +1
NO DISPARI
+
C.E. (0, +∞)
3. STUDIO DEL SEGNO (POSITIVITÀ)
 x 
ln  2
≥0
x
+
1


 x 
6. y = ln  2 
 x +1
 x 
ln  2
 ≥ ln1
 x +1
x
≥1
2
x +1
x
−1 ≥ 0
2
x +1
x − x2 − 1
≥0
2
x +1
NUMERATORE:
− x2 + x −1 ≥ 0
x2 − x + 1 ≤ 0
1± 1− 4
→ MAI
2
DENOMINATORE:
x1,2 =
x2 + 1 > 0
sempre
positivo
-
 x 
6. y = ln  2 
 x +1
4. INCONTRO ASSI

 x 
y
=
ln

 2 
 x +1

y = 0

  x 
ln  2  = 0
  x +1
y = 0

MAI
Poiché x=0 non è nel dominio
non ha senso studiare
l’intersezione con l’asse delle
ordinate
1. CAMPO DI ESISTENZA
 3x + 5 
7. y = ln  2

x
+
5
x
+
6


 3x + 5
>0
 2
 x + 5x + 6
 x2 + 5x + 6 ≠ 0

3x + 5 > 0
5
x>−
3
x2 + 5x + 6 > 0
−5 ± 25 − 24 −2
x1,2 =
=
2
−3
-3
-
-2
+
-5/3
-
+
1. CAMPO DI ESISTENZA
x2 + 5x + 6 ≠ 0
−5 ± 25 − 24 −2
x1,2 =
=
2
−3
-3
-2
-5/3
5
3
C.E. (−3; −2) ∪ (− ; +∞)
 3x + 5 
7. y = ln  2

x
x
+
5
+
6


2. SIMMETRIE
f ( −x) = f ( x) :


3( − x ) + 5
 −3x + 5 
 = ln  2
f ( − x ) = ln 

2
 ( −x ) + 5( −x) + 6 
x
−
5
x
+
6




 3x + 5 
− f ( x ) = − ln  2

 x + 5x + 6 
NO DISPARI
NO PARI
3. STUDIO DEL SEGNO (POSITIVITÀ)
 3x + 5 
7. y = ln  2

x
x
+
5
+
6


 3x + 5 
ln  2
≥0
 x + 5x + 6 
 3x + 5 
ln  2
 ≥ ln1
x
+
x
+
5
6


3x + 5
−1 ≥ 0
2
x + 5x + 6
3x + 5 − x 2 − 5 x − 6
≥0
2
x + 5x + 6
− x2 − 2x −1
≥0
2
x + 5x + 6
NUMERATORE:
− x2 − 2x −1 ≥ 0
x2 + 2x + 1 ≤ 0 ∆ = 0
( x + 1)
2
-3
-2
-1
-5/3
≤0
DENOMINATORE:
x2 + 5x + 6 > 0
+
-
4. INCONTRO ASSI

 3x + 5 
y
=
ln

 2

 x + 5x + 6 

y = 0

  3x + 5 
ln  2
=0
  x + 5x + 6 
y = 0

P1 ( −1; 0 )

 3x + 5 
y
=
ln

 2

 x + 5x + 6 

x = 0

  3x + 5 
ln  2
=0
  x + 5x + 6 
x = 0

5

P2  0;ln 
6
