“Liceo Scientifico Statale “Guido Castelnuovo”
PROGRAMMA SVOLTO
MATEMATICA
A.S. 2014-2015
Classe VB
LIMITI DI FUNZIONI E CONTINUITA’
Gli assiomi dei numeri reali. Numeri naturali, interi, razionali. La topologia della retta reale: l’assioma di
continuità, massimi, minimi, estremo superiore, estremo inferiore. Illimitatezza dell’insieme dei numeri
naturali (D*). Densità dell’insieme dei numeri razionali in quello dei reali (D). Il concetto di punto di
accumulazione. Il teorema di Bolzano Weierstrass (D). Premesse all’analisi infinitesimale. Limite finito di una
funzione per x che tende ad un valore finito. Limite infinito di una funzione per x che tende ad un valore
finito.
FUNZIONI CONTINUE
Definizione di funzione continua. Insieme di definizione e continuità. Classificazione dei punti di
discontinuità di una funzione. Teorema di Weierstrass (D). Teorema degli zeri di funzioni continue.
Teorema dei valori intermedi (D*), La continuità della funzione inversa. Limite finito per x che tende
all’infinito. Limite infinito per x che tende all’infinito. Il teorema dell’unicità del limite (D*). Il teorema della
permanenza del segno (D*). Il teorema del confronto (D*). Il teorema di collegamento. Limiti di funzioni
goniometriche. Limiti di funzioni razionali. Limiti di funzioni irrazionali. Limiti di funzioni esponenziali e
logaritmiche.
DERIVATE
Il problema delle tangenti. Definizione del concetto di derivabilità di una funzione. Continuità delle funzioni
derivabili (D*). Derivate fondamentali. Teoremi per il calcolo delle derivate. Il teorema di Fermat (D*). Il
teorema di Rolle (D*). Il teorema di Lagrange (o del valor medio) (D*). Il teorema di Cauchy (D*). Le
derivate e l’andamento delle funzioni. Problemi di massimo e minimo. L’approssimazione polinomiale delle
funzioni. Il polinomio di Taylor. Il teorema di De l’Hospital (D*), e il calcolo dei limiti di funzioni. Funzioni
convesse: definizione ed interpretazione geometrica. Una condizione sufficiente per i massimi ed i minimi di
una funzione (D*). Un’applicazione numerica: il metodo delle tangenti (o di Newton) per la determinazione
degli zeri di una funzione derivabile. Asintoti obliqui. Studio completo di una funzione.
INTEGRALI
L’area del segmento di parabola. Funzioni integrabili. Alcune proprietà algebriche dell’integrale. Il teorema
della media integrale (D*). Definizione di funzione integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
(D*). La formula fondamentale del calcolo integrale (D*). Un’applicazione numerica: la formula di quadratura
(detta dei trapezi). L’integrale indefinito: primitive di una funzione integrabile. Integrazione per sostituzione.
Integrazione per parti. Integrazione di semplici funzioni razionali fratte. Calcolo di aree. Calcolo di volumi di
solidi di rotazione. Il teorema di Guldin. Integrali impropri. La funzione gaussiana.
GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO
Vettori nello spazio. Prodotto scalare e prodotto vettoriale: definizione ed interpretazione
geometrica. L’equazione cartesiana del piano nello spazio. Mutua posizione tra piani nello spazio.
L’equazione vettoriale, parametrica e cartesiana della retta nello spazio. Mutua posizione di rette
nello spazio, e di rette e piani nello spazio. L’equazione del fascio di piani generati da una retta
nello spazio. Rette sghembe. Le superfici sferica*.
MODELLI MATEMATICI*
Problemi di crescita esponenziale: legge Malthusiana ed equazione logistica*. Risoluzioni di
semplici equazioni differenziali direttamente riferibili al modello di crescita esponenziale*. Il moto
armonico semplice come modello risolutivo di particolari equazioni differenziali lineari del
second’ordine*.
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’
Introduzione: richiami sulle variabili aleatorie discrete. Distribuzione binomiale. Valor medio di una
variabile aleatoria discreta. Scarto quadratico medio (Deviazione standard). Funzione di ripartizione. La
distribuzione di Poisson. Variabili aleatorie continue. Valor medio di una variabile aleatoria continua.
Funzione di ripartizione. Scarto quadratico medio (Deviazione standard). Distribuzione normale (o di Gauss)
e suo impiego come approssimazione della distribuzione binomiale in casi particolari.
Per quanto riguarda le dimostrazioni dei risultati presentati (indicate con la notazione (D) e (D*) nel programma svolto di cui
sopra), si ritiene doveroso precisare che sono state richieste soltanto quelle contrassegnate da (D*).
Il docente
prof. Francesco Parigi
I rappresentanti degli studenti
