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Principali differenze tra la ristampa 2014
e l’edizione 2008
Di seguito sono riportate le principali modifiche apportate al testo dell’ edizione
2008 con la ristampa riveduta e corretta del 2014. Si avverte il lettore che non sono
segnalate le correzioni di diversi errori tipografici che non compromettono la
comprensione del testo dell’edizione 2008.
Capitolo 1 La seguente definizione non è presente nell’edizione 2008:
Definizione 1.3.17 Sia f : A → B una funzione. Se A0 è un insieme
tale A ⊂ A0 e g : A0 → B è una funzione tale che g(x) = f (x), per ogni
x ∈ A, si dice che g è un’estensione di f oppure che f è la restrizione di
g all’insieme A; in questo caso useremo la notazione f = g A .
Capitolo 3 Rispetto a pag. 63 dell’edizione 2008 è stata apportata la seguente
correzione:
. . . Per definizione, dunque,
i π πh
arctan : R → − ,
2 2
e vale l’uguaglianza
arctan(tan x) = x,
i π πh
∀x ∈ − ,
.
2 2
Capitolo 5 La seguente definizione è stata corretta:
Definizione 5.4.33 Siano f e g infinitesimi per x → x0 (con g(x) 6= 0, in
un intorno bucato di x0 ). Si dice che:
• f è un infinitesimo d’ordine superiore a g, per x → x0 se lim
x→x0
0
1
f (x)
=
g(x)
• f è un infinitesimo dello stesso ordine di g, per x → x0 , se lim
x→x0
f (x)
=
g(x)
` ∈ R \ {0}.
• f è un infinitesimo d’ordine inferiore a g, per x → x0 , se lim
x→x0
±∞
f (x)
=
g(x)
• f e g sono infinitesimi non confrontabili, per x → x0 , se lim
x→x0
f (x)
g(x)
non esiste.
Capitolo 6 Si riportano le principali modifiche.
Proposizione 6.1.11 Sia f : A → R una funzione definita in A ⊆ R e
sia x0 un punto di accumulazione per A. Le seguenti affermazioni
sono equivalenti.
e
(i) lim f (x) = ` ∈ R.
x→x0
(ii) Per ogni successione (an ) di punti di A\{x0 } tale che lim an =
n→+∞
x0 , risulta
lim f (an ) = `.
n→+∞
Dimostrazione del Teorema 6.2.6 Nella disuguaglianza che precede
la conclusione mancano (nell’edizione 2008) due segni di sopralineatura. La versione corretta è [2014, pag.157]
|an − a| ≤ |an − ank̄ | + |ank̄ − a| <
+ = .
2 2
Capitolo 7 Si riportano di seguito due formulazioni che hanno subito importanti correzioni.
Dimostrazione del Corollario 7.1.4 Supponiamo, per assurdo, che f
non sia né strettamente crescente, né strettamente decrescente ed assumiamo che esistano tre punti x1 , x2 , x3 ∈ I con x1 < x2 < x3 per i
quali risulti, ad esempio, f (x1 ) > f (x2 ) e f (x1 ) < f (x3 ) (questo caso
non esaurisce tutte le possibilità, ma il ragionamento che segue può
essere adattato a tutte le altre situazioni che possono presentarsi).
Dato che f (x1 ) è un valore intermedio tra f (x2 ) e f (x3 ), il Teorema
7.1.2 ci assicura dell’esistenza di un punto y ∈ I, con x2 < y < x3
(e, dunque, certamente y 6= x1 ), tale che f (y) = f (x1 ). Questo
contraddice l’iniettività di f .
2
Dimostrazione della Proposizione 7.4.8 Supponiamo che esista finito
il
lim+ f (x) = `. Allora la funzione
x→a
f˜(x) =
f (x) se x ∈]a, b]
`
se x = a
è continua in [a, b] e, quindi, per il teorema di Heine-Cantor, essa è
uniformemente continua in [a, b]. Ma allora, come si vede immediatamente, anche f è uniformemente continua in ]a, b].
Viceversa, supponiamo che f sia uniformemente continua in ]a, b].
Allora, per ogni > 0, esiste δ > 0 tale che, per ogni x, y ∈]a, b],
con |x − y| < δ, risulti |f (x) − f (y)| < . Sia (xn ) una successione
in ]a, b] con lim xn = a; essa è, quindi, una successione di Cauchy
n→+∞
e pertanto, in corrispondenza a δ, esiste nδ ∈ N tale che, per ogni
n, m ≥ nδ , risulti |xn − xm | < δ. L’uniforme continuità implica, allora, che |f (xn ) − f (xm )| < , per ogni n, m ≥ nδ . La successione
f (xn ) è, dunque, di Cauchy e, perciò, converge ad un limite ` ∈ R
che non dipende dalla particolare successione (xn ) che approssima a
. Infatti, se (x0n ) è un’altra successione di punti di ]a, b] convergente
ad a, risulta definitivamente |x0n − xn | < δ e, quindi, definitivamente,
|f (x0n ) − f (xn )| < . Dunque, lim f (x0n ) = lim f (xn ) = `. Per
n→+∞
n→+∞
la Proposizione 6.1.11, risulta, infine, lim+ f (x) = `.
x→a
Capitolo 8 L’esempio 8.1.11 è stato riscritto come segue.
Esempio 8.1.11 Sia f (x) = xα , α ∈ R. Il dominio di questa funzione
dipende dalla natura dell’esponente α (cosı̀ ad esempio, se α ∈ N+ ,
dom f = R, mentre se α è irrazionale negativo, dom f = R+ ). In
ogni caso, però, f è continua in dom f . Se α = 0, la funzione è
costantemente uguale a 1 in R \ {0} ed ha derivata nulla. Se α 6= 0
ed x0 ∈ dom f , x0 6= 0, ricordando che (1 + y)α − 1 = αy + o(y),
y → 0, si ha
(1 + xh0 )α − 1
α xh0
(x0 + h)α − xα
0
α
= lim xα
=
x
lim
= αx0α−1 .
0
0
h→0
h→0 h
h→0
h
h
lim
Quindi f è derivabile in ogni punto x0 6= 0 del dominio ed f 0 (x0 ) =
αxα−1
. Si lascia al lettore la discussione del caso x0 = 0, se 0 ∈ dom f .
0
Capitolo 9 Si riportano di seguito due formulazioni che hanno subito importanti correzioni.
3
Dimostrazione del Teorema 9.3.3 Dimostriamo solo la (i). Sia x1 ∈
]a, x0 [. Per le ipotesi fatte, la f è continua in [x1 , x0 ] e derivabile in
]x1 , x0 [. Per il teorema di Lagrange esiste t ∈]x1 , x0 [ tale che
f 0 (t) =
f (x0 ) − f (x1 )
.
x0 − x1
Il fatto che f 0 (t) ≤ 0 implica, allora, che f (x1 ) ≥ f (x0 ). Quindi
f (x) ≥ f (x0 ), per ogni x ∈]a, x0 [. In modo del tutto analogo si prova
che l’ipotesi f 0 (x) ≥ 0, per ogni x ∈]x0 , b[, implica che f (x) ≥ f (x0 ),
per ogni x ∈]x0 , b[, e dunque x0 è punto di minimo relativo per f .
Dimostrazione del Teorema 9.5.1 Supponiamo che sia x1 < x2 ed
f 0 (x1 ) < f 0 (x2 ) e sia k ∈ R tale che f 0 (x1 ) < k < f 0 (x2 ). Consideriamo la funzione g(x) = f (x) − kx. La funzione g è di Lagrange
in [x1 , x2 ]; in particolare, è continua in [x1 , x2 ] e, quindi, per il teorema di Weierstrass esiste un x ∈ [x1 , x2 ] in cui g è minima. Dalle
ipotesi, risulta:
g 0 (x1 ) = f 0 (x1 ) − k < 0
g 0 (x2 ) = f 0 (x2 ) − k > 0.
Per il teorema di permanenza del segno, in un opportuno intervallo
del tipo ]x1 , t[, il rapporto incrementale
g(x) − g(x1 )
x − x1
è negativo. Quindi g(x) < g(x1 ) nell’intervallo ]x1 , t[. Ne segue che
il punto di minimo x di g non può coincidere con x1 . In modo simile,
si prova che x non può coincidere con x2 . Quindi x ∈]x1 , x2 [. Per il
teorema di Fermat, sarà g 0 (x) = 0; cioè, f 0 (x) = k.
Capitolo 10 Sono state effettuate le seguenti modifiche:
Esempio 10.3.1 Determiniamo il polinomio di McLaurin della funzione
f (x) = ex . Notiamo, innanzitutto che f è di classe C ∞ in tutto
R; quindi, per ogni n ∈ N+ , è possibile determinare il polinomio di
Taylor d’ordine n centrato in x0 ∈ R. Com’è noto, si ha f (n) (x) = ex ,
per ogni n ∈ N+ . In particolare, f (n) (0) = 1, per ogni n ∈ N+ .
Quindi,
x3
xn
x2
+
+ ··· +
.
Tf,0,n (x) = 1 + x +
2!
3!
n!
Di conseguenza,
ex = 1 + x +
x2
x3
xn
+
+ ··· +
+ o(xn ),
2!
3!
n!
4
x → 0.
Esercizio 10.9.1 Nell’ edizione 2008 le espressioni della derivata seconda di
f recano una radice al denominatore che non dovrebbe esservi. La versione
corretta [v. 2014, pag. 254] è la seguente:
La derivata seconda di f è
f 00 (x) =
e2x − 2xex − 1
3
4(ex − x − 1) 2
.
Utilizzando il polinomio di McLaurin di ordine 3 di f , si puó scrivere:
e2x − 2xex − 1 =
1 3
x + o(x3 ).
3
Facendo uso della (10.13) si ottiene
lim
e2x − 2xex − 1
3
2
1 3
x
1
= lim+ √ 3 √ = √ .
x→0
3 2
2 x6
4(ex − x − 1)
√
Tendendo conto del fatto che x6 = −x3 per x < 0, si trova, in modo
simile, che
1
e2x − 2xex − 1
lim−
3 = − √ .
x→0 4(ex − x − 1)) 2
3 2
x→0+
Il teorema di permanenza del segno assicura che la funzione è convessa
in un intorno destro di 0 e concava in un intorno sinistro di 0.
Corollario 10.10.4 Il rigo iniziale della pagina 262 dell’edizione 2008 è stato
modificato [v. 2014, pag. 260] come segue:
Con una dimostrazione simile a quella della Proposizione 5.1.31 si
deduce inoltre che:
Capitolo 11 Sono state effettuate le seguenti modifiche:
Teorema 11.8.1 Siano f e g funzioni di classe C 1 in un intervallo aperto
I. Le funzioni f (x)g 0 (x) e f 0 (x)g(x) ammettono primitiva in I e si
ha
Z
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)dx.
ed. 2008, pag. 303 Il rigo che precede la formula (11.11) è stato cosı̀
corretto: g(t) di classe C 1 e invertibile
Capitolo 13, Sezione 13.2 La parte iniziale di questo paragrafo (nell’edizione
2008) conteneva un errore che ha reso necessaria la seguente riscrittura:
5
In considerazione del fatto che abbiamo già a nostra disposizione gli strumenti del calcolo integrale, introduciamo una funzione che ci faciliterà lo
studio della convergenza di una serie.
Definizione 13.2.1 Sia (an )n∈N una successione. Indichiamo con A(x) la
funzione definita in R+ ∪ {0} da
n ≤ x < n + 1; n ∈ N.
A(x) = an ,
Diremo che A(x) è la funzione associata alla successione (an ).
Per ogni N ∈ N, fissato, la funzione AN (x), restrizione di A(x) all’intervallo
[0, N + 1], è una funzione a gradini. Si ha, evidentemente,
Z
N +1
N +1
Z
A(x)dx = a0 + · · · + aN = sN .
AN (x)dx =
0
(13.3)
0
D’altra parte, se y ≥ 0, ed N è il più grande intero che non supera y
(cioè, N = [y], la parte intera di y), si ha
Z y
A(x)dx = sN −1 + aN (y − N ).
(13.4)
0
Le uguaglianze (13.3) e (13.4) suggeriscono di studiare il comportamento
+∞
X
R +∞
della serie
an in termini dell’integrale improprio 0 A(x)dx.
n=0
Supponiamo che la serie
+∞
X
an sia convergente, allora, necessariamente
n=0
lim aN = 0.
N →+∞
Ricordando che y − N < 1 e che y → +∞ se, e soltanto se, N → +∞, si
ha
Z y
lim
A(x)dx = lim sN .
y→+∞
Quindi,
R +∞
0
N →+∞
0
A(x)dx è convergente e, inoltre,
Z
+∞
A(x)dx =
0
+∞
X
an ,
n=0
+∞
X
avendo posto simbolicamente
an = lim sN .
N →+∞
Rn=0
+∞
Viceversa, la convergenza di 0 A(x)dx garantisce la convergenza della
serie. Infatti, se esiste
Z y
lim
A(x)dx =: `,
y→+∞
0
6
si ha
Z
lim sN =
N →+∞
N +1
lim
N →+∞
Z
y
A(x)dx = `.
A(x)dx = lim
y→+∞
0
0
Osserviamo, inoltre, che dalla (13.4) risulta
lim aN (y − N ) = 0,
y→+∞
N = [y].
Se si sceglie, in particolare, y = N + 21 , si deduce che
lim aN = 0.
N →+∞
La precedente discussione si può riassumere nella seguente
Proposizione 13.2.2 La serie
+∞
X
an
n=0
è convergente se, e soltanto se, la funzione A(x) associata ad (an ) ha
integrale improprio convergente. In questo caso, il valore dell’integrale
improprio coincide con la somma della serie.
7
Correzioni alle risposte ad alcuni esercizi proposti
nei Fogli di lavoro
Foglio di lavoro 5
– Esercizio 4b: x≥ −
1
2
Foglio di lavoro 6
– Esercizio 3: 1; 5; 0
– Esercizio 12: z = ± √12 (1 + i), ±i
Foglio di lavoro 9
– Esercizio 3f: −∞
– Esercizio 4: 0; 1; e2/3 .
Foglio di lavoro 10
– Esercizio 14: 7/6; 4/81
Foglio di lavoro 11
– Esercizio 10: 3
Foglio di lavoro 13
– Esercizio 1f: f 0 (x) =
√
3
2x2 +1)
4π cos(π
√
x
3
3
(2x2 +1)2
– Esercizio 2e: derivabile in R \ {−1}; f 0 (x) =
1
x+1
per x ∈ R \ {−1}
Foglio di lavoro 14
√
√
– Esercizio 3: Tre soluzioni per p < − 3/ 3 4; due per p = −3/ 3 4;
una per ogni altro valore di p.
– Esercizio 8c: 0
Foglio di lavoro 17
– Esercizio 10: flesso
Foglio di lavoro 19
– Esercizio 3b∗ : log|x − 1|− 12 log(x2 + x + 1) −
√1 arctan 1+2x
√
+c
3
3
log x
– Esercizio 4b: log x− (x+1)
− log(x + 1) + c; x > 0
x
e
– Esercizio 4e: x3 + √13 arctan √
− 16 log(3 + e2x ) + c
3
– Esercizio 4f∗ : x2 − log cos x2 + sin x2 + c
Foglio di lavoro 21
– Esercizio 6b: diverge
8
Foglio di lavoro 22
– Esercizio 1: (a): R; (b): ] − ∞, −2[∪] − 1, +∞[; (c): [−1, 1].
Foglio di lavoro 23
– Esercizio 2:
Conv.
Conv.
Div.
Conv.
Conv.
Conv.
Div.
Conv.
Conv.
Conv.
Conv.
Conv.
Div.
Conv.
Conv.
Conv.
Div.
Div.
NOTA: le due correzioni segnate con ∗ e scritte in blu si applicano anche all’ Edizione 2014.
9