Matrici speciali

Michele Antolini
Lezione3
Informatica Grafica
Ripasso di metodi matriciali
Definizioni
Lezione del 11 Marzo 2011
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
Michele Antolini
Dipartimento di Ingegneria Meccanica
Politecnico di Milano
[email protected]
3.1
Indice
Michele Antolini
Definizioni
• Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
• Matrici speciali, equivalenza, aritmetica tra matrici
• Partizionamento di matrici
• Rappresentazione di prodotto scalare e vettoriale
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.2
Definizioni
Michele Antolini
Una matrice è un insieme ordinato rettangolare di numeri (o
loro equivalenti algebrici) ordinate in m righe e n colonne.
Definizioni
• Indicheremo le matrici con lettere maiuscole in grassetto
come A, B, C, . . . , T e parentesi quadre per racchiuderne
gli elementi.
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
• In minuscolo ne indichiamo gli elementi
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale

a11
 a21
A=
 a31
a41
a12
a22
a32
a41
a13
a23
a33
a43

a14
a24 

a34 
a44
3.3
Definizioni
Michele Antolini
• Le lettere in minuscolo a32 , a41 , . . . a43 si dicono elementi
della matrice
• Un elemento con pedice ij (es. a13 ) si trova alla riga i
Definizioni
Metodi matriciali
colonna j
Sistema di equazioni
• Se necessario (righe o colonne > 10) si può usare una
virgola (es. a10,2 )
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento

a11
 a21
A=
 a31
a41
a12
a22
a32
a42

a13
a23 

a33 
a43
Prodotto scalare e vettoriale
3.4
Definizioni
Michele Antolini
• Il numero di righe e colonne di una matrice si dice ordine
• La matrice A in basso ha ordine 4 × 3
• Si indicano prima le righe, poi le colonne
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni

a11
 a21
A=
 a31
a41
a12
a22
a32
a42

a13
a23 

a33 
a43
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.5
Rappresentazioni
Michele Antolini
Rappresentazione di un sistema di equazioni in forma matriciale
x − 3y + z
=
5
4x + y − 2z
=
−2
−2x + 3y
=
1
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale

1
A= 4
−2
−3
1
3

1
−2 
0


x
X= y 
z


5
B =  −2 
1
3.6
Rappresentazioni
Rappresentazione di un sistema di equazioni in forma matriciale

1
 4
−2
−3
1
3

 

1
x
5
−2   y  =  −2 
0
z
1
Oppure, in maniera più compatta:
Michele Antolini
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
AX = B
Si può utilizzare l’algebra delle matrici per risolvere per
risolvere il sistema di equazioni in x, y e z
3.7
Matrici speciali
Michele Antolini
Matrice quadrata
Definizioni
Metodi matriciali
Ogni matrice con numero di righe uguale al numero di colonne,
m = n si dice matrice quadrata
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
C=
c11
c21
c12
c22
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.8
Matrici speciali
Michele Antolini
Matrice riga, colonna
Una matrice contenente una sola riga di elementi si dice
matrice riga, mentre una matrice colonna contiene una singola
colonna di elementi
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
A
=

B
a11
a12

a13
b11
=  b21 
b31
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
Matrici riga e matrici colonna vengono spesso denominati
vettori
3.9
Matrici speciali
Michele Antolini
Matrice diagonale
Una matrice quadrata con soli elementi nulli ad eccezione della
diagonale principale si dice matrice diagonale
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali

a11
 0

 0

 ..
 .
0
0
a22
0
..
.
0
0
a33
..
.
···
···
···
..
.
0
0
0
..
.
0
0
···
ann

Operazioni
Equivalenza
Aritmetica






Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
Quindi aij = 0 se i 6= j
3.10
Matrici speciali
Michele Antolini
Matrice scalare
Definizioni
Se tutti gli aij sono uguali, la matrice diagonale si definisce
matrice scalare
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza

2
C= 0
0
0
2
0

0
0 
2
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.11
Matrici speciali
Michele Antolini
Matrice identità
La matrice identità è una matrice diagonale speciale: sulla
diagonale principale contiene solo elementi unitari. Si indica
con il simbolo I
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Matrice identità 3 × 3:
Aritmetica
Partizionamento

1
I= 0
0
0
1
0

0
0 
1
Prodotto scalare e vettoriale
3.12
Matrici speciali
Matrice nulla
Michele Antolini
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Una matrice nulla è tale se tutti gli elementi sono zero. Si
indica con il simbolo ∅
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.13
Matrici speciali
Michele Antolini
Matrice simmetrica
Una matrice è simmetrica se l’asse di simmetria è la
diagonale principale. Se, quindi, aij = aji
Definizioni

3
 0

A=
−4
1
0 −4
6 2
2 5
3 7

1
3 

7 
−2
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
Se aij = −aji la matrice si dice antisimmetrica

3
 0
A=
 4
−1
0 −4
6
2
−2 5
−3 −7

1
3 

7 
−2
3.14
Equivalenza tra matrici
Michele Antolini
Due matrici sono uguali se tutti gli elementi corrispondenti
sono uguali.
Definizioni
Metodi matriciali
• Due matrici, per essere comparabili devono avere
necessariamente lo stesso ordine (numero righe e
colonne).
• Se le matrici A e B hanno lo stesso ordine, A = B se e
solo se aij = bij ∀i = 1, . . . , m e ∀j = 1, . . . , n
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
• Una matrice m × n non può essere uguale ad una n × m
perchè, nonostante abbiano lo stesso numero di elementi,
non sono nello stesso ordine!
3.15
Somma tra matrici
Michele Antolini
Definizioni
• La somma tra due matrici A e B è una terza matrice, C i
cui elementi sono uguali alla somma degli elementi
corrispondenti
• Quindi: A + B = C ⇒ aij + bij = cij
• La somma di matrici è commutativa
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.16
Prodotto tra matrice e scalare
Michele Antolini
• Il prodotto di una matrice A con uno scalare k produce
una nuova matrice B dello stesso ordine
• Ogni elemento della matrice B è ottenuto moltiplicando
l’elemento corrispondente di A per lo scalare k
• kA = B
• kaij = bij
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.17
Prodotto tra matrici
Michele Antolini
• Il prodotto AB tra matrici è un’altra matrice C
• L’operazione è possibile se e solo se la prima matrice ha
ordine m × n e la seconda n × p
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
• La matrice C risultante ha ordine m × p
• Quando questa condizione è soddisfatta si dice che le
matrici sono conformabili per il prodotto
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
• Dato il prodotto AB = C si dice the A premoltiplica B,
mentre B postmoltiplica A
3.18
Prodotto tra matrici
Michele Antolini
• In generale il prodotto tra due matrici non è commutativo
• A meno che una delle due sia la matrice identità!
Definizioni
• Quindi in generale AB 6= BA
• Se A = AT , B = B T matrici quadrate con lo stesso ordine,
allora AB = BA
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
• AI = IA
Aritmetica
• Il prodotto elemento per elemento risulta:
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj
3.19
Prodotto tra matrici
Michele Antolini
• Posizionando le matrici nel modo presentato, si può capire
facilmente se le due matrici A e B sono conformabili e
l’ordine della matrice risultante ( 3 × 2 )
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali


a11
 a21
a31
a12
a22
a32

a13
a23 
a33

b11 b12
 b21 b22 
b31 b32


c11 c12
 c21 c22 
c31 c32
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.20
Prodotto tra matrici
Matrice identità
Michele Antolini
Definizioni
Metodi matriciali
• Il prodotto tra una qualunque matrice A di ordine m × n
per la matrice identità riproduce la matrice originale
• AI = A
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.21
Trasposizione
Michele Antolini
• Scambiando righe e colonne di una matrice A otteniamo la
sua trasposta A
|
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
A=
a
b
c
d
e
f

a
, A| =  c
e

b
d 
f
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.22
Riassunto proprietà
Somma e prodotto con scalare
Michele Antolini
Definizioni
• A+B=B+A
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
• A + (B + C) = (A + B) + C
• b(A + B) = bA + bB
• (b + d)A = bA + dA
• b(dA) = (bd)A = d(b(A))
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.23
Riassunto proprietà
Prodotto tra matrici
Michele Antolini
Definizioni
• (AB)C = A(BC)
• A(B + C) = AB + AC
• (A + B)C = AC + BC
• A(k B) = k (AB) = (k A)B
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.24
Riassunto proprietà
Trasposizione
Michele Antolini
Definizioni
• (A + B)| = A| + B|
• (k A)| = k A|
• (AB)| = B| A|
• Se AA| = I, A è una matrice ortogonale.
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.25
Partizionamento
Michele Antolini
• Può essere computazionalmente efficiente partizionare
una matrice in sottomatrici, trattandole come una matrice
le cui componenti sono le sottomatrici.
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali

t11
 t21

T=
 t31
 t41
t51
t12
t22
t32
t42
t52
t13
t23
t33
t43
t53

Operazioni
Equivalenza
 
 = T11

T21

T12
T22
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.26
Partizionamento
Michele Antolini
A=
A11
A21
A12
A22
A13
A23
eB=
B11
B21
B12
A22
B13
B23
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Quindi:
Operazioni
Equivalenza
A+B=
A11 + B11
A21 + B21
A12 + B12
A22 + B22
A13 + B13
A23 + B23
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.27
Partizionamento
Michele Antolini
Definizioni
Metodi matriciali
Partizionamento delle matrici
La tecnica funziona anche con il prodotto tra matrici!!
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.28
Prodotto scalare
Michele Antolini
• Dato che usiamo le matrici (anche) per rappresentare
vettori, possiamo utilizzare il prodotto matriciale anche per
calcolare prodotto scalare e prodotto vettoriale
• Se le matrici A e B rappresentano i due vettori a e b, in cui
A = [ a1 a2 a3 ] e B = [ b1
scalare è a · b = AB|
b2
b3 ], il prodotto
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento

a · b = [ a1
a2

b1
a3 ]  b2  = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
b3
Prodotto scalare e vettoriale
3.29
Prodotto vettoriale
Michele Antolini
Usando i componenti di a per formare la matrice
antisimmetrica:


0
−a3 a2
 a3
0
−a1 
−a2 a1
0
Definizioni
Metodi matriciali
Sistema di equazioni
Matrici speciali
Operazioni
Si può calcolare il prodotto vettoriale:



0
−a3 a2
b1
0
−a1   b2 
a × b =  a3
−a2 a1
0
b3
Equivalenza
Aritmetica
Partizionamento
Prodotto scalare e vettoriale
3.30