IL PARADOSSO DI HARDY
ENRICO SANTAMATO
Le probabilità congiunte di eventi calcolate secondo le regole della meccanica quantistica hanno
proprietà diverse da quelle classiche: possono violare, ad esempio, alcune diseguaglianze (chiamate,
in generale, diseguaglianze di Bell, anche se trovate da altri autori), che invece sono soddisfatte
dalle probabilità congiunte di eventi casuali classici. Da qui l’impossibilità di introdurre variabili
nascoste locali al fine di descrivere i processi quantistici come processi stocastici di tipo classico 1.
Il paradosso di Hardy [L. Hardy, Phys. Rev. Lett., 71 1665 (1993)] esclude anch’esso ogni modello
a variabili nascoste locali, ma senza uso di diseguaglianze e praticamente senza uso di probabilità,
nel senso che le probabilità in gioco sono o zero (evento impossibile) o uno (evento certo). Nel
seguito considereremo un caso particolarmente semplice di questo paradosso.
Come il paradosso EPR, anche il paradosso di Hardy considera un sistema bipartito, formato
da sue sottosistemi separati spazialmente e non interagenti. Le osservabili considerate, inoltre,
possono assumere solo due valori. Ad esempio, il sistema può essere costituito da due spin e le
osservabili dalle componenti dello spin in una qualunque direzione, proporzionali agli operatori di
Pauli σ̂x , σ̂y , σ̂z . I valori ammessi per queste osservabili sono ±1. In ottica quantistica, invece, si
possono considerare due fotoni e prendere come osservabili i loro spin, legati allo stato di polarizzazione; ma è ovvio che ogni coppia di sistemi a due livelli può andare altrettanto bene.
Per essere specifici, consideriamo due spin 12 . In una misura locale della componente z, ciascuno
spin può essere trovato (e proiettato) o nello stato up | ↑⟩ o nello stato down | ↓⟩, corrispondenti
ai valori ±1 dell’osservabile σ̂z . In una misura locale della componente x, invece, ciascuno spin
viene proiettato in uno dei due stati
| →⟩ =
| ←⟩ =
1
√ (| ↑⟩ + | ↓⟩)
2
1
√ (| ↑⟩ − | ↓⟩)
2
(1)
(2)
che corrispondono, rispettivamente, ai due valori ±1 dell’osservabile σ̂x . Le misure possono essere
effettuate, ad esempio, con opportuni apparati di Stern-Gerlach (SG).
Si consideri ora il seguente stato della coppia di spin
|ψH ⟩ = N (θ)[2 cos θ| ↑, ↑⟩ + (cos θ + sin θ)(| ↑, ↓⟩ + | ↓, ↑⟩) + 2 sin θ| ↓, ↓⟩].
(3)
dove
N (θ) = √
1
2(3 + 2 sin θ cos θ)
(4)
è la costante di normalizzazione. Il parametro θ è per il momento arbitrario. Chiameremo lo stato
(3) lo stato di Hardy.
Date: January 2, 2011.
1
Modelli stocastici classici possono riprodurre i risultati quantistici al prezzo di essere non locali, di ammettere,
cioè, correlazioni istantanee a distanza tra sistemi spazialmente separati e non interagenti.
1
2
ENRICO SANTAMATO
Un semplice calcolo mostra che
⟨↓, ↓ |ψH ⟩
⟨→, ↓ |ψH ⟩
⟨↓, → |ψH ⟩
⟨←, ← |ψH ⟩
= 2N (θ) sin θ
N (θ)
√ (3 sin θ + cos θ)
=
2
N (θ)
√ (3 sin θ + cos θ)
=
2
= 0
(5)
(6)
(7)
(8)
Scegliendo, in particolare, θ = − arctan(1/3) si ottiene
=
1
12
0
(10)
|⟨↓, → |ψH ⟩|
=
0
(11)
|⟨←, ← |ψH ⟩|2
=
0
(12)
|⟨↓, ↓ |ψH ⟩|2
=
|⟨→, ↓ |ψH ⟩|2
2
(9)
Come interpretare questi risultati relativi allo stato |ψH ⟩ della coppia di spin? Secondo l’interpretazione
usuale dell misure quantistiche, il risultato (9) ci dice che se facciamo passare i due spin in due
apparati di SG orientati lungo z e ripetiamo l’esperimento molte volte su di un ensemble di coppie
di spin identicamente preparati nello stato |ψH ⟩, con probabilità 1/12 le particelle usciranno entrambe nella porta corrispondente al valore σ̂z = −1 e l’esperimento confermerà questo risultato.
Dobbiamo allora concludere che
1 in un dodicesimo delle volte le due particelle hanno entrambe σ̂z = −1.
Il risultato (10) ci dice, inoltre, che, orientando i due apparati di SG il primo lungo x e il secondo
lungo z, non troveremo mai il primo spin con σ̂x = 1 e il secondo spin simultaneamente con σ̂z = −1
e l’esperimento confermerà questo risultato. Dobbiamo allora concludere che è impossibile trovare
σ̂z = −1 nella seconda particella e σ̂x = −1 nella prima, ovvero che
2 ogni qualvolta la seconda particella ha σ̂z = −1, la prima particella ha σ̂x = −1.
Analogamente, il risultato (11) ci dice che
3 ogni qualvolta la prima particella ha σ̂z = −1, la seconda particella ha σ̂x = −1.
Prendiamo ora in considerazione quel dodicesimo di casi in cui le due particelle hanno entrambe
σ̂z = −1. Le proposizioni (2) e (3) ci dicono allora che in questi casi le due particelle avranno
entrambe σ̂x = −1 2. Ma questo è in contraddizione con il risultato (12), ottenuto dal calcolo
quantistico e confermabile dall’esperimento, secondo il quale
4 le due particelle non hanno mai σ̂z = −1 entrambe.
La contraddizione tra le proposizioni (1–4) continua ad esistere per qualsiasi modello, a variabili
nascoste o meno, che riproduca i risultati quantistici (9–12) e che interpreti questi ultimi come
probabilità di eventi associati ad elementi di realtà descritti dallo stato |ψH ⟩. Ogni ipotesi di
realismo imposta alla teoria quantistica dà luogo a contraddizioni logiche. Più specificamente, il
paradosso di Hardy mostra come la teoria quantistica sia in grado di prevedere i risultati delle
misure sperimentali con le giuste frequenze (probabilità), ma che, in certi casi, rende vano ogni
tentativo di usare i risultati delle misure al fine di ottenere informazioni coerenti e non contraddittorie sullo stato del sistema antecedente alle misure stesse. Ne segue che un’interpretazione
logicamente coerente dello stato di un sistema quantistico in termini di elementi di realtà ricavati
dall’analisi dei risultati sperimentali è impossibile. In breve, la teoria quantistica è sı̀ predittiva,
ma non realistica e coerente allo stesso tempo. Realismo e coerenza logica sono mutuamente
esclusive nel mondo quantistico.
2Si ha qui una violazione del principio di indeterminazione di Heisemberg del tutto simile a quella che si determina
nel paradosso EPR nella versione di Bohm.
