Infinitesimi

pag 1
Appunti elaborati dal collega Prof. Vincenzo De Pasquale
Infinitesimi
Si dice che f è infinitesima o che è un infinitesimo per x → x0 se lim f ( x) = 0 .
x → x0
Un infinitesimo, quindi è una variabile che tende a zero.
Es. 1- y = cos x è un infinitesimo per x →
π
poiché limπ cos x = 0
2
x→
2
y = ln x è un infinitesimo per x → 1 poiché lim ln x = ln 1 = 0 .
x→ 1
Dati due infinitesimi α e β , può accadere che essi tendano a zero con diversa
rapidità.
Es. 2
y1 = x e y2 = x 2
Sono entrambi infinitesimi per x → 0
Per x = 0,1
y1 = 0,1
e y 2 = 0,011
Per x = 0,01
y1 = 0,01 e y 2 = 0,0001
Anche graficamente si nota che le
ordinate
y 2 diminuiscono
più
rapidamente di y1 per x → 0 .
Per confrontare la diversa rapidità di
tendenza a zero, si introduce il
concetto di ordine di un infinitesimo.
1. Diciamo
α e β sono dello stesso ordine se:
α
lim
= k con k ≠ 0 e finito.
x → a β
sin x
=1
x → 0
x
Es. 3 lim
Quindi sin x e x sono infinitesimi dello stesso ordine.
1 − cos x  0 
sin x 1
=
=   = lim
2
x → 0
x
2
 0  x → 0 2 x
2
Quindi 1− cos x e x sono infinitesimi dello stesso ordine
Es. 4
lim
che
due
infinitesimi
pag 2
2. Diciamo che l’infinitesimo α è di ordine superiore a β se
α
=0
x → a β
lim
Es. 5
1 − sin x  0 
− cos x
=   = lim π
=0
cos x
0  x → − sin x
x →

2
2
lim π
Quindi 1 − sinx è di ordine superiore a cos x
3. Diciamo che α è infinitesimo di ordine inferiore a β se
α
=∞
x → a β
α
4. Se lim
x → 0 β
lim
non esiste, i due infinitesimi non sono confrontabili (almeno con
il criterio del rapporto).
5. Diciamo che α è un infinitesimo di ordine n per x → 0 se α è dello stesso
ordine di x n , cioè se
α
=k
n
x → 0 x
lim
con k ≠ 0 e finito.
1 − cos x 1
=
x → 0
x2
2
Concludiamo che 1− cos x è un infinitesimo del secondo ordine.
Es. 6 Dato che lim
Per stabilire l’ordine di un infinitesimo α lo si confronta con
incognito) eseguendo il calcolo del
xn
(con n
α
n
x → 0 x
lim
fino a quando il limite risulta determinato.
Es. 7 Per determinare l’ordine di y = x − sin x per x → 0 si ha:
x − sin x  0 
1 − cos x  0 
sin x
0
=   = lim
=   = lim
= =
n
n −1
n −2
x → 0
x
 0  x → 0 nx
 0  x → 0 n( n − 1) x
0
lim
cos x
n −3
x → 0 n( n − 1)( n − 2) x
Se n − 3 = 0 la forma non è più indeterminata, pertanto x − sin x è infinitesimo del
lim
terzo ordine.
Siano α e β due infinitesimi dello stesso ordine , per cui
pag 3
α
= k con k ≠ 0
x → a β
lim
avremo
α
= k+ε
β
dove ε è un infinitesimo simultaneo con α e β . Segue che
α= β k+ βε
l’infinitesimo β k
α .
è dello stesso ordine di β


βk
 lim
= k  e quindi anche di
 x → a β

βε
essendo il prodotto di due infinitesimi è un infinitesimo di
ordine superiore a ciascuno dei due: in particolare è di ordine
superiore a β .
In conclusione: Ogni infinitesimo α si può decomporre nella somma di due
infinitesimi
α = α 1 + α 2 in cui α 1 è dello stesso ordine di α ed è detto parte
principale di α , mentre α 2 è di ordine superiore rispetto ad
α ed è detto parte complementare di α .
Principio di sostituzione degli infinitesimi
Il limite del rapporto di due infinitesimi è uguale al limite del rapporto delle loro
parti principali.
Infatti se α e β sono infinitesimi simultanei si ha decomponendoli
α
α 1+ α
= lim
x → a β
x → a β + β
1
lim
 α
α 1 1 +
 α
= lim
x → a
 β
β 1 1 +
β

2
2


α
1 
= lim
x → a β
2 

1 
2
1
1
Poiché
α 2
= 0 perché α
x → a α
1
β 2
lim
= 0 perché β
x → a β
1
lim
concludiamo che
α1
α
= lim
x → a β
x → a β
1
lim
2
è di ordine superiore rispetto ad α 1 e
2
è di ordine superiore rispetto ad β
1
pag 4
Segue che il limite del rapporto di due infinitesimi non si altera eliminando gli
infinitesimi di ordine superiore (ciò semplifica il calcolo)
8sin x + 2 x 2 + x sin x
x → 0
3 x − x 2 sin x
Al numeratore :
sin x è del primo ordine
Es. 8
lim
x 2 è del secondo ordine
x sin x è del secondo ordine
Al denominatore
x è del primo ordine
x 2 sin x è del terzo ordine
Pertanto
8sin x + 2 x 2 + x sin x
8 sin x 8
= lim
=
2
x
→ 0
x
→ 0
3 x − x sin x
3x
3
lim
Es. 9 Le due funzioni
α = x − ln( 1 + x )
e
β = 1 − cos x
per x → 0 sono due infinitesimi. Confrontare β con α
Si ha
α
x − ln( 1 + x )  0 
= lim
=   = lim
x→ 0 β
x →0
1 − cos x
 0  x→ 0
lim
1
1
2
1 + x = lim (1 + x) = 1
x→ 0
sin x
cos x
1−
I due infinitesimi sono dello stesso ordine
Es.
10
Confrontare
l’infinitesimo
β = tg x − x .
x2
α = 1 − cos x −
2
con
Si ha
x2
1 − cos x −
α
cos x − 1
2 = lim sin x − x = lim
lim = lim
=
2
x→ 0 β
x →0
x
→
0
x
→
0
tg x − x
1 + tg x − 1
2tg x (1 + tg 2 x)
− sin x
0
= lim
= =0
2
2
2
x→ 0 2 1 + tg x + 3tg x (1 + tg x)
2
[
]
Pertanto α è di ordine superiore rispetto a β
Confrontare l’infinitesimo α = x − sin x con l’infinitesimo β = tg 2 x − sin 2 x
Si ha
lim
x→ 0
α
x − sin x
1 − cos x
= lim 2
= lim
=
2
x
→
0
x
→
0
β
tg x − sin x
2tg x(1 + tg 2 x ) − 2 sin x cos x
l’infinitesimo
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sin x
=
x→ 0 2 1 + tg x + 3(1 + tg 2 x) − cos 2 x + sin 2 x
cos x
= lim
=∞
x →0 2 2tg x (1 + tg 2 x ) + 3 2tg x (1 + tg 2 x) + 3tg 2 x (1 + tg 2 x) + 4sin x cos x
= lim
[
]
2
[
[
]
]
Si conclude che α è infinitesimo di ordine inferiore rispetto a β
Es.
11
La funzione y = xsin
1
se x tende a zero, tende a zero, perciò y è un
x
infinitesimo. Confrontare y con l’infinitesimo x.
Il rapporto è
y
=
x
1
x = sin 1
x
x
xsin
e quindi il
lim
x→ 0
y
1
= lim sin
x x →0
x
non esiste.
1
x
Dobbiamo concludere che l’infinitesimo xsin , per x → 0 non è confrontabile
con l’infinitesimo x, cioè non è dello stesso ordine di x, né di ordine superiore.
Es. 12
Riguardando x come infinitesimo di confronto, determinare l’ordine e
la
parte
principale
dell’infinitesimo,
determinare
la
parte
principale
dell’infinitesimo
8x 3
x2 + 4
Siccome si può scrivere
y
8
= 2
3
x
x +4
essendo
lim
x→ 0
y 8
= =2≠0
x3 4
si conclude che y è infinitesimo del 3° ordine rispetto ad x e che la sua parte
principale è 2 x 3 . Pertanto si può scrivere
y = 2x3 + ε x 3
ove lim ε = 0 .
x→ 0
Es. 13 Determinare l’ordine e la parte principale dell’infinitesimo
y = 1 − cos x
Essendo
pag 6
y = 1 − cos x = 2 sin 2
x
2
basta dividere ambo i membri per x 2 , si ha
x
2sin 2
y
2 = 2 sin 2 x
=
2
2
x
x
x2
2
y
2
x
1
lim 2 = lim 2 sin 2 = ≠ 0
x→ 0 x
x →0 x
2 2
Si conclude che y = 1 − cos x è infinitesimo del secondo ordine rispetto ad x (per
1
x → 0 ) e la sua parte principale è x 2 .
2
L’infinitesimo si può scrivere
y=
1 2
x + ε x2
2
dove lim ε = 0
x→ 0
Quando l’artificio di dividere per una opportuna potenza dell’infinitesimo di
confronto non è evidente si deve procedere confrontando con x n .
Es. 14 Determinare l’ordine dell’infinitesimo
16 x 5
x2 + 2
Per x → 0 si ha
y =3
y
1
= n
n
x
x
3
16 x 5
16x 5
16 x 5 −3 n
3
3
=
=
y
x2 + 2
x 3 n ( x 2 + 2)
x2 + 2
Poiché il denominatore non tende a zero per x → 0 , determiniamo n in modo che
anche il denominatore non vi tenda, occorre quindi che sia 5 − 3 x = 0 , da cui
n=
5
3
Avremo pertanto
lim
y
x→ 0
x
5
3
= lim
x →0
3
16
=3 8=2
x +2
2
Es. 15 Applicando il principio di sostituzione degli infinitesimi calcolare:
3 x + 2 x 3 + sin 2 x cos x
x→ 0 4 x + xtg x + sinx tg 2 x
Al numeratore 3x è infinitesimo del 1° ordine rispetto ad x
2 x 3 è infinitesimo del 3° ordine rispetto ad x
sin 2 x cos x è infinitesimo del 2° ordine rispetto ad x
lim
Al denominatore 4 x è infinitesimo del 1° ordine rispetto ad x
pag 7
tg x è infinitesimo del 2° ordine rispetto ad x
sinx tg 2 x è infinitesimo del 3° ordine rispetto ad x
Per cui
3 x + 2 x 3 + sin 2 x cos x
3x 3
= lim
=
2
x→ 0 4 x + xtg x + sinx tg x
x→ 0 4 x
4
lim
Es. 16 Calcolare
lim
x→ 0
ln( 1 + x) − ln( 1 − x ) − 2 x
tg x − x
E’ immediato verificare che sia il numeratore
infinitesimi (per x → 0 ) e determinare l’ordine.
Per il numeratore
che
1
1
+
−2
ln( 1 + x) − ln( 1 − x ) − 2 x
1+ x 1 − x
lim
=
lim
=
x→ 0
x→ 0
xn
nx n −1
2
2
1
1
+
−
+
3
2
2
(1 + x)
(1 − x) 3
(1 + x ) (1 − x )
= lim
=
lim
=
x→ 0 n( n − 1)( n − 2) x n −3
x→ 0
n (n − 1) x n − 2
Se poniamo n = 3 il limite non è più indeterminato e si ha:
2
2
+
3
ln( 1 + x) − ln( 1 − x) − 2 x
(1 + x)
(1 − x) 3 4 2
lim
=
lim
= =
x→ 0
x→ 0
x3
3 ⋅ 2 ⋅1
6 3
Pertanto la parte principale dell’infinitesimo è
2 3
x
3
Per il denominatore
tg x − x
1 + tg 2 x − 1
2tg x + 2tg 3 x
=
lim
=
lim
=
x→ 0
x →0
x →0 n( n − 1) x n −2
xn
nx n −1
lim
2(1 + tg 2 x ) + 6tg 2 x (1 + tg 2 x )
x→ 0
n( n − 1)( n − 2)( n − 3) x n −3
Ponendo n − 3 = 0 il limite risulta determinato. Si ha
tg x − x
2(1 + tg 2 x) + 6tg 2 x (1 + tg 2 x) 1
lim
=
=
lim
=
x→ 0
x →0
x3
3 ⋅ 2⋅1
3
1
la parte principale dell’infinitesimo tgx − x è x 3
3
= lim
Il limite proposto sarà
il
denominatore
sono
pag 8
2 3
x
ln( 1 + x) − ln( 1 − x ) − 2 x
3
lim
= lim
=2
x→ 0
x →0 1 3
tg x − x
x
3
Es. 17 Calcolare
lim
x→ 0
x 6 − arctg 3
(e
x
( x ) + sin x
3
2
5
− 1) − 7 x 5 − (5 x − 1)
4
La presenza delle potenze suggerisce di trascurare gli infinitesimi di ordine
superiore
A. x 6 è infinitesimo di ordine superiore rispetto a sin 5 x e quindi si può
trascurare
B. Premesso che arctg 3
( x ) sia infinitesimo del 3° ordine, poniamo
3
2
x2 = t
x2 = t3
3
3
x =t2
1
1
2 arctg t
3 arctg 2 t
2
2
arctg 3 t
1
arctg
t
1+ t2 =
1 + t = lim
lim
=
lim
lim
=
1
⋅
lim
t→ 0
t →0
t →0 1 + t 2 t →0
t →0
t3
3t 2
t2
2t
1
=1
1+ t2
Pertanto arctg 3 t e t 3 sono infinitesimi dello steso ordine, inoltre t 3 = x 2 per cui
= lim
t →0
arctg 3
( x ) è infinitesimo del 2° ordine rispetto ad x.
3
2
Ciò suggerisce di trascurare sin 5 x rispetto all’arcotangente.
C. Verifichiamo l’0rdine di e x − 1
e x −1
ex −1
=
lim
x→ 0
x→ 0 nx n −1
xn
Se n − 1 = 0 il limite è determinato, per cui e x − 1 è infinitesimo del 1° ordine.
Trascuriamo inoltre 7 x 5
D. Verifichiamo l’0rdine di (5 x − 1) 4 . Si ha
lim
(5 x − 1) 4
4( 5 x − 1) 3 5 x ln 5
( 5 x − 1) 3
x
=
lim
=
lim
5
ln
5
lim
=
x→ 0
x →0
x →0
x→ 0
x4
4x 3
x3
3(5 x − 1) 2 5 x ln 5
(5 x − 1) 2
2( 5 x − 1)5 x ln 5
x
2
= ln 5 lim
= ln 5 lim 5 ln 5 lim
= ln 5 lim
=
x→ 0
x →0
x→ 0
x →0
3x 2
x2
2x
5 x ln 5
= ln 3 5 lim
= ln 4 5
x →0
1
lim
pag 9
Pertanto (5 x − 1) 4 è infinitesimo del quarto ordine, e possiamo trascurarlo perchè
di ordine superiore rispetto a e x − 1 .
Possiamo quindi scrivere
lim
x→ 0
x 6 − arctg 3
(e
x
( x ) + sin x = lim − arctg ( x ) = − lim arctg t =
3
2
5
− 1) − 7 x 5 − (5 x − 1)
3 3
4
x→ 0
(e
x
− 1)
2
3
t→ 0
3
e −1
1
1
3 arctg 2 t
2
arctg 3 t
1 + t 2 = −2 lim 1 + t 2 lim arctg t =
= − lim 3
= − lim
3
3
1
t →0
t →0
t →0
t →0
2
2 3
2
t
et − 1
et
et t 2
2
1
2 arctg t
1 + t 2 = − lim t ⋅ arctg t = 0
= −2 ⋅ 1 ⋅ lim
t →0
t →0
1
t
2
t2
Calcolare i seguenti limiti
sin 2 x + 2sin 3 x − xtg3 x
É lim
x→ 0 x ln( 1 + x ) − x 3 − + xsin3 x
3x 2 − sin x cos x + tg x
É lim
x→ 0
x sin x
x 2 tg x
x→ 0 2 x 3 + x 2 sin 2 x − tg 4 x
2 x + x 3 + cos x − sin 2 x
É lim
x→ 0 x + xtg x + sin x tg 2 x
É lim
ln( 1 + x 2 ) + tg x + e
É lim
x→ 0
3 x + x sin x
−
1
x
x
1
3
3
3
1
2
2
3
1
3
(1 + cos x) 4 + x 5 + x sin 3 x
x→ 0
sin x + 7 x 4
Calcolare lim
Al numeratore
(1 + cos x) 4 è infinitesimo di ordine 8 essendo 1+ cos x del 2° ordine
x5
“
“ 5
1
1
7
x sin 3 x = x 2 sin 3 x è infinitesimo di ordine + 3 =
2
2
Al denominatore
sin x è infinitesimo del primo ordine
pag 10
7x 4 è infinitesimo del quarto ordine
Possiamo pertanto scrivere
(1 + cos x) 4 + x 5 + x sin 3 x
= lim
x→ 0
x →0
sin x + 7 x 4
lim
x sin 3 x
= lim x sin 3 x = 0
x→0
sin x