A → f - Matematica e Informatica

COMPLEMENTI DI ANALISI
Cristina Di Bari
Dipartimento di Matematica ed Applicazioni
Università degli Studi di Palermo
Anno accademico 2006/2007
• Insieme come concetto primitivo.
• Variabile simbolo che può rappresentare uno
qualunque degli elementi di un insieme.
• Siano A e B due insiemi. Una funzione
dall’insieme A nell’insieme B è una legge che
ad ogni elemento di A associa un ben determinato elemento di B.
Per denotare una funzione f dall’insieme A
nell’insieme B si usa la notazione
f : A → B.
• L’insieme A si chiama dominio della funzione f e si indica con dom f . B si chiama
insieme di arrivo della funzione f . L’elemento
di B che la funzione f associa all’elemento
x ∈ A si denota con f (x) e si chiama immagine di x tramite la f .
A volte si scrive y = f (x) per denotare l’immagine di x tramite la f . In tal modo si visualizza il ruolo delle due variabili x, y. Si dice
che x è la variabile indipendente e y la variabile dipendente.
• Se X è un sottoinsieme di A con f (X) denotiamo l’immagine di X mediante la funzione
f , cioè
f (X) = {y ∈ B : ∃ almeno un x ∈ X con y = f (x)}
= {f (x) : x ∈ X}.
• Se Y è un sottoinsieme di B con f −1(Y )
denotiamo l’immagine inversa di Y mediante
la funzione f , cioè
f −1(Y ) = {x ∈ A : f (x) ∈ Y }.
• L’insieme f (A) è detto codominio della funzione f e si indica con codf . In generale codf
è un sottoinsieme proprio di B.
Esempio 1. Siano A = B = IR e f : IR → IR
definita da f (x) = x2. Si ha:
domf = IR,
codf = IR+ ∪ {0}.
Se X = [−4, −3] ∪ [1, 2], allora f (X) = [1, 4] ∪
[9, 16].
Se Y = [−4, −1], allora f −1(Y ) = ∅.
Se Y = [1, 9], allora f −1(Y ) = [−3, −1]∪[1, 3].
• f : A → B è una funzione a valori reali se
B ⊂ IR, una funzione reale di una variabile
reale se A, B ⊂ IR.
• Siano A, B, C, D sottoinsiemi di IR, f : A →
B e g : C → D. Le funzioni f e g sono uguali
se A = C e f (x) = g(x) per ogni x ∈ A.
Esempio 2. Siano f : [0, 1] → IR+ ∪ {0},
g : [0, 1] → IR e h : IR → IR definite da
q
f (x) = x2,
g(x) =
x4 e h(x) = x2.
Le funzioni f e g sono uguali, ma f e h non
lo sono, anche se queste ultime due funzioni
sono definite dalla stessa legge.
• Siano A un insieme e f, g : A → IR. Alle
funzioni f e g possiamo associare le seguenti
funzioni:
f + g, f g, f /g, f g ,
aventi tutte come dominio l’insieme A.
La funzione f + g all’elemento x ∈ A associa
f (x) + g(x) ∈ IR.
La funzione f g all’elemento x ∈ A associa
f (x)g(x) ∈ IR.
La funzione f /g all’elemento x ∈ A associa
f (x)/g(x) ∈ IR, tale funzione è definita solo
se g(x) 6= 0 per ogni x ∈ A.
La funzione f g all’elemento x ∈ A associa
[f (x)]g(x) ∈ IR, tale funzione è definita se
f (x) > 0 per ogni x ∈ A.
FUNZIONI BIIETTIVE E FUNZIONI
INVERSE
• Una funzione f : A → B è iniettiva se
per ogni x1, x2 ∈ A, con x1 6= x2, risulta
f (x1) 6= f (x2), o in modo equivalente, se
per ogni x1, x2 ∈ A, f (x1) = f (x2) implica
x1 = x2.
• Una funzione f : A → B è surgettiva se
f (A) = B, cioè ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.
• Una funzione f : A → B è biiettiva se è
contemporaneamente iniettiva e surgettiva.
Esempio 3. La funzione f : IR → IR definita
da f (x) = |x| non è né iniettiva né surgettiva.
Esempio 4. La funzione f : IR → IR definita
da f (x) = x − 1 è biiettiva.
Esempio 5. La funzione f : IR+ ∪ {0} → IR
definita da f (x) = x2 è iniettiva, ma non è
surgettiva.
Esempio 6. La funzione f : IR → IR+ ∪ {0}
definita da f (x) = x2 è surgettiva, ma non è
iniettiva.
• Le funzioni biiettive sono caratterizzate dalla
seguente proprietà:
La funzione f : A → B è biiettiva se e solo se
per ogni y ∈ B esiste uno ed un solo elemento
x ∈ A tale che f (x) = y.
Tale proprietà permette di associare a ogni
funzione biiettiva f : A → B una funzione
da B in A, detta funzione inversa della f e
denotata con f −1 : B → A.
La legge che definisce la funzione inversa f −1 :
B → A è quella che all’elemento y ∈ B associa quel ben determinato elemento x ∈ A (che
esiste ed è unico) tale che y = f (x).
Esempio 7. Determinare la funzione inversa della funzione f : IR+ → IR+ definita da
f (x) = x2.
La funzione f è iniettiva dato che x1 6= x2
2
implica che f (x1) = x2
1 6= x2 = f (x2 ).
La funzione f è surgettiva dato che per ogni
√
y ∈ IR+ esiste x ∈ IR+, cioè x = y, tale che
f (x) = y.
Essendo la f biiettiva ammette inversa f −1
√
definita da f −1(y) = y o ciò che è lo stesso
√
−1
f (x) = x.
La proprietà surgettiva di una funzione dipende
dalla scelta dell’insieme di arrivo. Se la funzione f : A → B non è surgettiva sostituendo
all’insieme B l’insieme f (A) si ottiene una
funzione f : A → f (A) surgettiva e uguale
a quella data.
Questa osservazione permette di associare a
ogni funzione iniettiva una funzione inversa e
per questo motivo le funzioni iniettive sono
dette invertibili.
Esempio 8. La funzione f : [0, 1] → IR
definita da f (x) = x + 1 è iniettiva ma non è
surgettiva, quindi non è biiettiva.
Se si sostituisce l’insieme di arrivo IR con
l’intervallo [1,2], la stessa funzione considerata da [0,1] in [1,2] è biiettiva e quindi dotata
di inversa.
La funzione inversa f −1 : [1, 2] → [0, 1] è
definita da f −1(x) = x − 1.
FUNZIONI COMPOSTE
• Siano f : A → B e g : B → C. La funzione da
A in C che ad ogni x ∈ A associa g(f (x)) ∈ C
si chiama funzione composta tramite la f e
la g e si denota con g ◦ f .
Nella definizione precedente il codominio della
funzione f è un sottoinsieme di B, cioè f (A) ⊂
B, questo assicura che ogni elemento dell’insieme
g(f (A)) è immagine di almeno un elemento
di A. La funzione g ◦ f ha come dominio
l’insieme A e come codominio l’insieme g(f (A)).
Esempio 9. Date le funzioni f : IR → IR+
e g : IR+ → IR definite da f (x) = |x| + 1 e
√
g(x) = x, determinare le funzioni composte
g ◦ f : IR → IR
e
f ◦ g : IR+ → IR+.
La
q prima è definita da (g ◦ f )(x) = g(f (x)) =
|x| + 1 e la seconda da (f ◦g)(x) = f (g(x)) =
√
x + 1.
• Siano f : A → B e g : B → C. Se le funzioni
f e g sono iniettive lo è anche la funzione g◦f .
Essendo la f iniettiva per ogni x1, x2 ∈ A, con
x1 6= x2, risulta f (x1) 6= f (x2) ed essendo
anche la g iniettiva si deduce che g(f (x1)) 6=
g(f (x2)). Ciò permette di concludere che la
funzione g ◦ f è iniettiva.
• Siano f : A → B e g : B → C. Se le funzioni
f e g sono surgettive lo è anche la funzione
g ◦ f.
Essendo la g surgettiva per ogni z ∈ C esiste
y ∈ B tale che z = g(y). Essendo la f surgettiva in corrispondenza di y esiste x ∈ A tale
che y = f (x). Segue che z = g(f (x)) e quindi
la funzione g ◦ f è surgettiva.
• Siano f : A → B e g : B → C. Se le funzioni
f e g sono biiettive lo è anche la funzione g◦f .
• Siano f : A → B e g : B → C. Se le funzioni
f e g sono biiettive la funzione g ◦ f è dotata
di funzione inversa (g ◦ f )−1 che coincide con
la funzione composta mediante l’inversa della
g e l’inversa della f . In simboli (g ◦ f )−1 =
f −1 ◦ g −1.
Esempio 10. Siano f : [1, +∞[→]0, 1] e g :
]0, 1] →]0, 1] definite da f (x) = 1/x e g(x) =
x2. Determinare la funzione inversa della funzione composta g ◦ f .
La funzione g ◦ f è biiettiva essendo biiettive
f, g e di conseguenza ammette inversa. Da
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = 1/x2 segue che (g ◦
√
−1
f ) (x) = 1/ x.
GRAFICO DI UNA FUNZIONE
Siano A un sottoinsieme non vuoto di IR e f
una funzione da A in IR, cioè una legge che
ad ogni elemento x ∈ A associa un ben determinato elemento f (x) ∈ IR. Come è noto
f (x) rappresenta il valore che la f assume in
x. La funzione f individua un sottoinsieme
del prodotto cartesiano IR × IR = IR2 che si
chiama grafico della f e si denota con Gr(f ).
Per definizione
Gr(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ A}.
Utilizzando un piano coordinato possiamo visualizzare il grafico della funzione f mediante
un insieme di punti. Tale insieme usualmente
è detto grafico della f e permette di individuare proprietà della f . Un sottoinsieme non
vuoto G di IR2 è il grafico di una funzione,
avente dominio contenuto in IR, solo se G interseca ogni retta parallela all’asse y in al più
un punto. In tale ipotesi la funzione, avente
grafico coincidente con G, ha come dominio
l’insieme
A = {x ∈ IR : ∃ y ∈ IR con (x, y) ∈ G}
e ad ogni x ∈ A associa quell’unico y ∈ IR tale
che (x, y) ∈ G. Ad esempio il sottoinsieme G
di IR2 rappresentato in fig. 1 è il grafico di
una funzione, mentre quello di fig. 2 non lo è.
La funzione f avente come grafico l’insieme
G rappresentato in fig. 1 ha dominio A =
[−3, −1] ∪ [0, +∞[ ed è definita da
(
f (x) =
1 se x ∈ [−3, −1]
x se x ∈ [0, +∞[
Vogliamo riportare i grafici di alcune delle
funzioni che intervengono più frequentemente.
Nelle figure 3 e 4 troviamo il grafico della
funzione esponenziale ax rispettivamente per
a ∈]0, 1[ e a > 1.
Fig.3
Fig.4
Nelle figure 5 e 6 troviamo il grafico della
funzione f (x) = loga x rispettivamente per
a ∈]0, 1[ e a > 1.
Fig.5
Fig.6
INSIEME DI DEFINIZIONE DI UNA
FUNZIONE
Ricordiamo che per assegnare una funzione
occorre indicare il suo dominio e la legge che
permette di determinare il valore che la f associa ad ogni elemento del suo dominio. A
volte, invece, si dà solo la legge (spesso un insieme di operazioni da eseguire sulla variabile
x del dominio) che permette di individuare
f (x). In questo caso il dominio, o ciò che
è lo stesso l’insieme di definizione, della funzione f è dato dall’insieme degli x ∈ IR per i
quali hanno senso le operazioni indicate dalla
legge f . Diamo degli esempi.
Esempio 11. Determinare il dominio della
funzione
q
f (x) =
x2 − 1.
Per ottenere il valore che la f associa a x, cioè
f (x), dobbiamo calcolare la radice quadrata
di x2 − 1 e sappiamo che ciò è possibile solo
se x2 − 1 ≥ 0. Segue che
domf = {x ∈ IR : x2−1 ≥ 0} =]−∞, −1]∪[1, +∞[.
Esempio 12. Determinare il dominio della
funzione
x−1
.
f (x) =
x+1
Per ottenere f (x) dobbiamo dividere (x − 1)
per (x + 1) e come è noto ciò è possibile solo
se x + 1 6= 0. Segue che
domf = {x ∈ IR : x + 1 6= 0} = IR \ {−1}.
Esempio 13. Determinare l’insieme di definizione
della funzione
2
f (x) = ex/(x −4).
Sappiamo che la funzione esponenziale è definita
per ogni x ∈ IR, ciò implica che la f è definita
per ogni x per cui ha senso x/(x2 − 4). Segue
che
domf = {x ∈ IR : x2 − 4 6= 0} = IR \ {−2, 2}.
FUNZIONI MONOTONE
Le funzioni monotone sono una classe importante di funzioni reali. Siano A ⊂ IR e
f : A → IR.
• La funzione f è detta non decrescente in
A se per ogni x1, x2 ∈ A, con x1 ≤ x2 risulta
f (x1) ≤ f (x2).
• La funzione f è non crescente in A se per
ogni x1, x2 ∈ A, con x1 ≤ x2 risulta f (x1) ≥
f (x2).
• Se la funzione f è non decrescente oppure
non crescente in A diremo che la f è monotona in A.
• La funzione f si dice crescente in A se per
ogni x1, x2 ∈ A, con x1 < x2 risulta f (x1) <
f (x2).
• La funzione f si dice decrescente in A se per
ogni x1, x2 ∈ A, con x1 < x2 risulta f (x1) >
f (x2).
• Se una funzione f è crescente oppure decrescente diremo che è strettamente monotona in A.
Nelle figure che seguono abbiamo il grafico di
una funzione crescente e di una noncrescente.
Le nozioni di funzione nondecrescente, noncrescente, crescente e decrescente sono di
tipo globale in quanto riguardano il comportamento di una funzione su tutto il suo dominio. Si noti che le funzioni crescenti sono
nondecrescenti e quelle decrescenti noncrescenti. Le funzioni costanti risultano sia nondecrescenti sia noncrescenti.
Esempio 14. La funzione f : IR → IR definita
da f (x) = 0 per x ≤ 0 e f (x) = x per x > 0 è
non decrescente in IR.
Esempio 15. La funzione esponenziale f (x) =
ex è crescente in IR.
Esempio 16. La funzione f : IR → IR definita
da f (x) = x2 non è monotona in IR. Si noti
che la f risulta crescente in [0, +∞[ e decrescente in ] − ∞, 0].
Remark 1 Se f : A → IR, A ⊂ IR, è una funzione strettamente monotona, allora è iniettiva. Fissati x1, x2 ∈ A con x1 6= x2, non è
restrittivo supporre x1 < x2, risulta f (x1) <
f (x2) se la f è crescente e f (x1) > f (x2) se
la f è decrescente. In ciascuno dei due casi
f (x1) 6= f (x2) e quindi la f è iniettiva.
Ma non è vero che tutte le funzioni iniettive
siano monotone. Ad esempio la funzione f :
[0, 3[→ IR definita da


 x
se x ∈ [0, 1[
f (x) = x + 1 se x ∈ [1, 2[

 x − 1 se x ∈ [2, 3[
non è monotona, ma è iniettiva.
FUNZIONI LIMITATE.
Le nozioni di massimo, di minimo, di estremo
superiore e inferiore di una funzione sono connesse a proprietà del suo codominio. Siano A
un sottoinsieme non vuoto di IR e f : A → IR.
Se il codominio della f , cioè l’insieme f (A), è
limitato diremo che la f è una funzione limitata. In caso contrario diremo che la f non
è limitata, precisando che la f non è limitata superiormente (inferiormente) se f (A)
non è limitato superiormente (inferiormente).
Se esiste max f (A) diremo che la funzione f
è dotata di massimo in A. Un punto x ∈ A
ove f (x) = max f (A) si chiama punto di massimo per la f . Per denotare il massimo di
una funzione utilizzeremo la notazione max f
oppure maxx∈A f (x). Se esiste min f (A) diremo che la funzione f è dotata di minimo in
A. Un punto x ∈ A ove f (x) = min f (A) si
chiama punto di minimo per la f . Per denotare il minimo di una funzione f utilizzeremo
la notazione min f oppure minx∈A f (x). Se
esiste sup f (A) diremo che la f è dotata di
estremo superiore in A e utilizzeremo la notazione sup f oppure supx∈A f (x) per denotare l’estremo superiore della f in A. Se esiste
inf f (A) diremo che la f è dotata di estremo
inferiore in A e utilizzeremo la notazione inf f
oppure inf x∈A f (x) per denotare l’estremo inferiore della f in A. Si noti che i concetti
introdotti riguardano il comportamento della
funzione f su tutto il suo dominio.
Esempio 17. Dopo aver verificato che la
funzione f : IR → IR definita da
x
f (x) =
1 + x2
è limitata, determinare max f, min f, sup f e inf f .
Tenuto conto che per ogni x ∈ IR risulta
(x + 1)2 = x2 + 1 + 2x ≥ 0
(x − 1)2 = x2 + 1 − 2x ≥ 0,
deduciamo che
−
1
x
1
≤
≤
,
2
2
1+x
2
per ogni x ∈ IR. Segue che la f è limitata in
IR. Essendo
1
1
f (−1) = −
e f (1) = ,
2
2
deduciamo che la f è dotata di minimo, massimo, estremo superiore e inferiore dati da
min f = inf f = −1/2, max f = sup f = 1/2.
I punti -1 e 1 sono rispettivamente di minimo
e di massimo per la f .
FUNZIONI PARI, DISPARI.
Siano A un sottoinsieme non vuoto di R tale
che x ∈ A se e solo se −x ∈ A e f : A → R.
• Se f (−x) = f (x) per ogni x del dominio di
f (x) la funzione è detta pari. Essa ha grafico
simmetrico rispetto all’asse y.
• Se f (−x) = −f (x) per ogni x del dominio
di f (x) la funzione è detta dispari. Essa ha
grafico simmetrico rispetto all’origine O del
sistema di riferimento.
Esempio 18. La funzione f (x) = x3 è dispari, mentre la funzione f (x) = x2 è pari.
Esempio 19. Anche la funzione f (x) = |x| è
pari e ha ovviamente questo grafico
SEGNO E ZERI DI UNA FUNZIONE
Finora abbiamo messo in evidenza quelle proprietà delle funzioni che non variano anche se
si operano traslazioni del grafico: ad esempio se f : A → R è monotòna crescente in A
anche g : A → R definita da g(x) = f (x) + c
è monotòna crescente in A. Non è invece
di questo tipo una proprieta` come il segno,
che pure talora si dimostra utile per tracciare
il grafico della funzione.
• La funzione f : A → R è positiva su A se
per ogni x di A risulta f (x) > 0
• La funzione f : A → R è negativa su A se
per ogni x di A risulta f (x) < 0
• La funzione f : A → R ha uno zero in A se
esiste un x0 di A tale che f (x0) = 0.
Notiamo che se si conosce il grafico di una
funzione è possibile stabilire se quella funzione è positiva (o negativa) su un certo insieme e se ha degli zeri. Ad esempio, il grafico
rappresentato qui sotto interseca l’asse x, nel
punto (denotato in figura con un pallino) di
coordinate (x0, 0), ove x0 è un numero compreso tra -1 e 0. Quindi la corrispondente
funzione f ha uno zero in x = x0.