A → f - Matematica e Informatica

COMPLEMENTI DI ANALISI
Cristina Di Bari
Dipartimento di Matematica ed Applicazioni
Università degli Studi di Palermo
Anno accademico 2006/2007
• Insieme come concetto primitivo.
• Variabile simbolo che può rappresentare uno
qualunque degli elementi di un insieme.
• Siano A e B due insiemi. Una funzione
dall’insieme A nell’insieme B è una legge che
ad ogni elemento di A associa un ben determinato elemento di B.
Per denotare una funzione f dall’insieme A
nell’insieme B si usa la notazione
f : A → B.
• L’insieme A si chiama dominio della funzione f e si indica con dom f . B si chiama
insieme di arrivo della funzione f . L’elemento
di B che la funzione f associa all’elemento
x ∈ A si denota con f (x) e si chiama immagine di x tramite la f .
A volte si scrive y = f (x) per denotare l’immagine di x tramite la f . In tal modo si visualizza il ruolo delle due variabili x, y. Si dice
che x è la variabile indipendente e y la variabile dipendente.
• Se X è un sottoinsieme di A con f (X) denotiamo l’immagine di X mediante la funzione
f , cioè
f (X) = {y ∈ B : ∃ almeno un x ∈ X con y = f (x)}
= {f (x) : x ∈ X}.
• Se Y è un sottoinsieme di B con f −1(Y )
denotiamo l’immagine inversa di Y mediante
la funzione f , cioè
f −1(Y ) = {x ∈ A : f (x) ∈ Y }.
• L’insieme f (A) è detto codominio della funzione f e si indica con codf . In generale codf
è un sottoinsieme proprio di B.
Esempio 1. Siano A = B = IR e f : IR → IR
definita da f (x) = x2. Si ha:
domf = IR,
codf = IR+ ∪ {0}.
Se X = [−4, −3] ∪ [1, 2], allora f (X) = [1, 4] ∪
[9, 16].
Se Y = [−4, −1], allora f −1(Y ) = ∅.
Se Y = [1, 9], allora f −1(Y ) = [−3, −1]∪[1, 3].
• f : A → B è una funzione a valori reali se
B ⊂ IR, una funzione reale di una variabile
reale se A, B ⊂ IR.
• Siano A, B, C, D sottoinsiemi di IR, f : A →
B e g : C → D. Le funzioni f e g sono uguali
se A = C e f (x) = g(x) per ogni x ∈ A.
Esempio 2. Siano f : [0, 1] → IR+ ∪ {0},
g : [0, 1] → IR e h : IR → IR definite da
q
f (x) = x2,
g(x) =
x4 e h(x) = x2.
Le funzioni f e g sono uguali, ma f e h non
lo sono, anche se queste ultime due funzioni
sono definite dalla stessa legge.
• Siano A un insieme e f, g : A → IR. Alle
funzioni f e g possiamo associare le seguenti
funzioni:
f + g, f g, f /g, f g ,
aventi tutte come dominio l’insieme A.
La funzione f + g all’elemento x ∈ A associa
f (x) + g(x) ∈ IR.
La funzione f g all’elemento x ∈ A associa
f (x)g(x) ∈ IR.
La funzione f /g all’elemento x ∈ A associa
f (x)/g(x) ∈ IR, tale funzione è definita solo
se g(x) 6= 0 per ogni x ∈ A.
La funzione f g all’elemento x ∈ A associa
[f (x)]g(x) ∈ IR, tale funzione è definita se
f (x) > 0 per ogni x ∈ A.
FUNZIONI BIIETTIVE E FUNZIONI
INVERSE
• Una funzione f : A → B è iniettiva se
per ogni x1, x2 ∈ A, con x1 6= x2, risulta
f (x1) 6= f (x2), o in modo equivalente, se
per ogni x1, x2 ∈ A, f (x1) = f (x2) implica
x1 = x2.
• Una funzione f : A → B è surgettiva se
f (A) = B, cioè ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.
• Una funzione f : A → B è biiettiva se è
contemporaneamente iniettiva e surgettiva.
Esempio 3. La funzione f : IR → IR definita
da f (x) = |x| non è né iniettiva né surgettiva.
Esempio 4. La funzione f : IR → IR definita
da f (x) = x − 1 è biiettiva.
Esempio 5. La funzione f : IR+ ∪ {0} → IR
definita da f (x) = x2 è iniettiva, ma non è
surgettiva.
Esempio 6. La funzione f : IR → IR+ ∪ {0}
definita da f (x) = x2 è surgettiva, ma non è
iniettiva.
• Le funzioni biiettive sono caratterizzate dalla
seguente proprietà:
La funzione f : A → B è biiettiva se e solo se
per ogni y ∈ B esiste uno ed un solo elemento
x ∈ A tale che f (x) = y.
Tale proprietà permette di associare a ogni
funzione biiettiva f : A → B una funzione
da B in A, detta funzione inversa della f e
denotata con f −1 : B → A.
La legge che definisce la funzione inversa f −1 :
B → A è quella che all’elemento y ∈ B associa quel ben determinato elemento x ∈ A (che
esiste ed è unico) tale che y = f (x).
Esempio 7. Determinare la funzione inversa della funzione f : IR+ → IR+ definita da
f (x) = x2.
La funzione f è iniettiva dato che x1 6= x2
2
implica che f (x1) = x2
1 6= x2 = f (x2 ).
La funzione f è surgettiva dato che per ogni
√
y ∈ IR+ esiste x ∈ IR+, cioè x = y, tale che
f (x) = y.
Essendo la f biiettiva ammette inversa f −1
√
definita da f −1(y) = y o ciò che è lo stesso
√
−1
f (x) = x.
La proprietà surgettiva di una funzione dipende
dalla scelta dell’insieme di arrivo. Se la funzione f : A → B non è surgettiva sostituendo
all’insieme B l’insieme f (A) si ottiene una
funzione f : A → f (A) surgettiva e uguale
a quella data.
Questa osservazione permette di associare a
ogni funzione iniettiva una funzione inversa e
per questo motivo le funzioni iniettive sono
dette invertibili.
Esempio 8. La funzione f : [0, 1] → IR
definita da f (x) = x + 1 è iniettiva ma non è
surgettiva, quindi non è biiettiva.
Se si sostituisce l’insieme di arrivo IR con
l’intervallo [1,2], la stessa funzione considerata da [0,1] in [1,2] è biiettiva e quindi dotata
di inversa.
La funzione inversa f −1 : [1, 2] → [0, 1] è
definita da f −1(x) = x − 1.
FUNZIONI COMPOSTE
• Siano f : A → B e g : B → C. La funzione da
A in C che ad ogni x ∈ A associa g(f (x)) ∈ C
si chiama funzione composta tramite la f e
la g e si denota con g ◦ f .
Nella definizione precedente il codominio della
funzione f è un sottoinsieme di B, cioè f (A) ⊂
B, questo assicura che ogni elemento dell’insieme
g(f (A)) è immagine di almeno un elemento
di A. La funzione g ◦ f ha come dominio
l’insieme A e come codominio l’insieme g(f (A)).
Esempio 9. Date le funzioni f : IR → IR+
e g : IR+ → IR definite da f (x) = |x| + 1 e
√
g(x) = x, determinare le funzioni composte
g ◦ f : IR → IR
e
f ◦ g : IR+ → IR+.
La
q prima è definita da (g ◦ f )(x) = g(f (x)) =
|x| + 1 e la seconda da (f ◦g)(x) = f (g(x)) =
√
x + 1.
• Siano f : A → B e g : B → C. Se le funzioni
f e g sono iniettive lo è anche la funzione g◦f .
Essendo la f iniettiva per ogni x1, x2 ∈ A, con
x1 6= x2, risulta f (x1) 6= f (x2) ed essendo
anche la g iniettiva si deduce che g(f (x1)) 6=
g(f (x2)). Ciò permette di concludere che la
funzione g ◦ f è iniettiva.
• Siano f : A → B e g : B → C. Se le funzioni
f e g sono surgettive lo è anche la funzione
g ◦ f.
Essendo la g surgettiva per ogni z ∈ C esiste
y ∈ B tale che z = g(y). Essendo la f surgettiva in corrispondenza di y esiste x ∈ A tale
che y = f (x). Segue che z = g(f (x)) e quindi
la funzione g ◦ f è surgettiva.
• Siano f : A → B e g : B → C. Se le funzioni
f e g sono biiettive lo è anche la funzione g◦f .
• Siano f : A → B e g : B → C. Se le funzioni
f e g sono biiettive la funzione g ◦ f è dotata
di funzione inversa (g ◦ f )−1 che coincide con
la funzione composta mediante l’inversa della
g e l’inversa della f . In simboli (g ◦ f )−1 =
f −1 ◦ g −1.
Esempio 10. Siano f : [1, +∞[→]0, 1] e g :
]0, 1] →]0, 1] definite da f (x) = 1/x e g(x) =
x2. Determinare la funzione inversa della funzione composta g ◦ f .
La funzione g ◦ f è biiettiva essendo biiettive
f, g e di conseguenza ammette inversa. Da
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = 1/x2 segue che (g ◦
√
−1
f ) (x) = 1/ x.
GRAFICO DI UNA FUNZIONE
Siano A un sottoinsieme non vuoto di IR e f
una funzione da A in IR, cioè una legge che
ad ogni elemento x ∈ A associa un ben determinato elemento f (x) ∈ IR. Come è noto
f (x) rappresenta il valore che la f assume in
x. La funzione f individua un sottoinsieme
del prodotto cartesiano IR × IR = IR2 che si
chiama grafico della f e si denota con Gr(f ).
Per definizione
Gr(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ A}.
Utilizzando un piano coordinato possiamo visualizzare il grafico della funzione f mediante
un insieme di punti. Tale insieme usualmente
è detto grafico della f e permette di individuare proprietà della f . Un sottoinsieme non
vuoto G di IR2 è il grafico di una funzione,
avente dominio contenuto in IR, solo se G interseca ogni retta parallela all’asse y in al più
un punto. In tale ipotesi la funzione, avente
grafico coincidente con G, ha come dominio
l’insieme
A = {x ∈ IR : ∃ y ∈ IR con (x, y) ∈ G}
e ad ogni x ∈ A associa quell’unico y ∈ IR tale
che (x, y) ∈ G. Ad esempio il sottoinsieme G
di IR2 rappresentato in fig. 1 è il grafico di
una funzione, mentre quello di fig. 2 non lo è.
La funzione f avente come grafico l’insieme
G rappresentato in fig. 1 ha dominio A =
[−3, −1] ∪ [0, +∞[ ed è definita da
(
f (x) =
1 se x ∈ [−3, −1]
x se x ∈ [0, +∞[
Vogliamo riportare i grafici di alcune delle
funzioni che intervengono più frequentemente.
Nelle figure 3 e 4 troviamo il grafico della
funzione esponenziale ax rispettivamente per
a ∈]0, 1[ e a > 1.
Fig.3
Fig.4
Nelle figure 5 e 6 troviamo il grafico della
funzione f (x) = loga x rispettivamente per
a ∈]0, 1[ e a > 1.
Fig.5
Fig.6
INSIEME DI DEFINIZIONE DI UNA
FUNZIONE
Ricordiamo che per assegnare una funzione
occorre indicare il suo dominio e la legge che
permette di determinare il valore che la f associa ad ogni elemento del suo dominio. A
volte, invece, si dà solo la legge (spesso un insieme di operazioni da eseguire sulla variabile
x del dominio) che permette di individuare
f (x). In questo caso il dominio, o ciò che
è lo stesso l’insieme di definizione, della funzione f è dato dall’insieme degli x ∈ IR per i
quali hanno senso le operazioni indicate dalla
legge f . Diamo degli esempi.
Esempio 11. Determinare il dominio della
funzione
q
f (x) =
x2 − 1.
Per ottenere il valore che la f associa a x, cioè
f (x), dobbiamo calcolare la radice quadrata
di x2 − 1 e sappiamo che ciò è possibile solo
se x2 − 1 ≥ 0. Segue che
domf = {x ∈ IR : x2−1 ≥ 0} =]−∞, −1]∪[1, +∞[.
Esempio 12. Determinare il dominio della
funzione
x−1
.
f (x) =
x+1
Per ottenere f (x) dobbiamo dividere (x − 1)
per (x + 1) e come è noto ciò è possibile solo
se x + 1 6= 0. Segue che
domf = {x ∈ IR : x + 1 6= 0} = IR \ {−1}.
Esempio 13. Determinare l’insieme di definizione
della funzione
2
f (x) = ex/(x −4).
Sappiamo che la funzione esponenziale è definita
per ogni x ∈ IR, ciò implica che la f è definita
per ogni x per cui ha senso x/(x2 − 4). Segue
che
domf = {x ∈ IR : x2 − 4 6= 0} = IR \ {−2, 2}.
FUNZIONI MONOTONE
Le funzioni monotone sono una classe importante di funzioni reali. Siano A ⊂ IR e
f : A → IR.
• La funzione f è detta non decrescente in
A se per ogni x1, x2 ∈ A, con x1 ≤ x2 risulta
f (x1) ≤ f (x2).
• La funzione f è non crescente in A se per
ogni x1, x2 ∈ A, con x1 ≤ x2 risulta f (x1) ≥
f (x2).
• Se la funzione f è non decrescente oppure
non crescente in A diremo che la f è monotona in A.
• La funzione f si dice crescente in A se per
ogni x1, x2 ∈ A, con x1 < x2 risulta f (x1) <
f (x2).
• La funzione f si dice decrescente in A se per
ogni x1, x2 ∈ A, con x1 < x2 risulta f (x1) >
f (x2).
• Se una funzione f è crescente oppure decrescente diremo che è strettamente monotona in A.
Nelle figure che seguono abbiamo il grafico di
una funzione crescente e di una noncrescente.
Le nozioni di funzione nondecrescente, noncrescente, crescente e decrescente sono di
tipo globale in quanto riguardano il comportamento di una funzione su tutto il suo dominio. Si noti che le funzioni crescenti sono
nondecrescenti e quelle decrescenti noncrescenti. Le funzioni costanti risultano sia nondecrescenti sia noncrescenti.
Esempio 14. La funzione f : IR → IR definita
da f (x) = 0 per x ≤ 0 e f (x) = x per x > 0 è
non decrescente in IR.
Esempio 15. La funzione esponenziale f (x) =
ex è crescente in IR.
Esempio 16. La funzione f : IR → IR definita
da f (x) = x2 non è monotona in IR. Si noti
che la f risulta crescente in [0, +∞[ e decrescente in ] − ∞, 0].
Remark 1 Se f : A → IR, A ⊂ IR, è una funzione strettamente monotona, allora è iniettiva. Fissati x1, x2 ∈ A con x1 6= x2, non è
restrittivo supporre x1 < x2, risulta f (x1) <
f (x2) se la f è crescente e f (x1) > f (x2) se
la f è decrescente. In ciascuno dei due casi
f (x1) 6= f (x2) e quindi la f è iniettiva.
Ma non è vero che tutte le funzioni iniettive
siano monotone. Ad esempio la funzione f :
[0, 3[→ IR definita da


 x
se x ∈ [0, 1[
f (x) = x + 1 se x ∈ [1, 2[

 x − 1 se x ∈ [2, 3[
non è monotona, ma è iniettiva.
FUNZIONI LIMITATE.
Le nozioni di massimo, di minimo, di estremo
superiore e inferiore di una funzione sono connesse a proprietà del suo codominio. Siano A
un sottoinsieme non vuoto di IR e f : A → IR.
Se il codominio della f , cioè l’insieme f (A), è
limitato diremo che la f è una funzione limitata. In caso contrario diremo che la f non
è limitata, precisando che la f non è limitata superiormente (inferiormente) se f (A)
non è limitato superiormente (inferiormente).
Se esiste max f (A) diremo che la funzione f
è dotata di massimo in A. Un punto x ∈ A
ove f (x) = max f (A) si chiama punto di massimo per la f . Per denotare il massimo di
una funzione utilizzeremo la notazione max f
oppure maxx∈A f (x). Se esiste min f (A) diremo che la funzione f è dotata di minimo in
A. Un punto x ∈ A ove f (x) = min f (A) si
chiama punto di minimo per la f . Per denotare il minimo di una funzione f utilizzeremo
la notazione min f oppure minx∈A f (x). Se
esiste sup f (A) diremo che la f è dotata di
estremo superiore in A e utilizzeremo la notazione sup f oppure supx∈A f (x) per denotare l’estremo superiore della f in A. Se esiste
inf f (A) diremo che la f è dotata di estremo
inferiore in A e utilizzeremo la notazione inf f
oppure inf x∈A f (x) per denotare l’estremo inferiore della f in A. Si noti che i concetti
introdotti riguardano il comportamento della
funzione f su tutto il suo dominio.
Esempio 17. Dopo aver verificato che la
funzione f : IR → IR definita da
x
f (x) =
1 + x2
è limitata, determinare max f, min f, sup f e inf f .
Tenuto conto che per ogni x ∈ IR risulta
(x + 1)2 = x2 + 1 + 2x ≥ 0
(x − 1)2 = x2 + 1 − 2x ≥ 0,
deduciamo che
−
1
x
1
≤
≤
,
2
2
1+x
2
per ogni x ∈ IR. Segue che la f è limitata in
IR. Essendo
1
1
f (−1) = −
e f (1) = ,
2
2
deduciamo che la f è dotata di minimo, massimo, estremo superiore e inferiore dati da
min f = inf f = −1/2, max f = sup f = 1/2.
I punti -1 e 1 sono rispettivamente di minimo
e di massimo per la f .
FUNZIONI PARI, DISPARI.
Siano A un sottoinsieme non vuoto di R tale
che x ∈ A se e solo se −x ∈ A e f : A → R.
• Se f (−x) = f (x) per ogni x del dominio di
f (x) la funzione è detta pari. Essa ha grafico
simmetrico rispetto all’asse y.
• Se f (−x) = −f (x) per ogni x del dominio
di f (x) la funzione è detta dispari. Essa ha
grafico simmetrico rispetto all’origine O del
sistema di riferimento.
Esempio 18. La funzione f (x) = x3 è dispari, mentre la funzione f (x) = x2 è pari.
Esempio 19. Anche la funzione f (x) = |x| è
pari e ha ovviamente questo grafico
SEGNO E ZERI DI UNA FUNZIONE
Finora abbiamo messo in evidenza quelle proprietà delle funzioni che non variano anche se
si operano traslazioni del grafico: ad esempio se f : A → R è monotòna crescente in A
anche g : A → R definita da g(x) = f (x) + c
è monotòna crescente in A. Non è invece
di questo tipo una proprieta` come il segno,
che pure talora si dimostra utile per tracciare
il grafico della funzione.
• La funzione f : A → R è positiva su A se
per ogni x di A risulta f (x) > 0
• La funzione f : A → R è negativa su A se
per ogni x di A risulta f (x) < 0
• La funzione f : A → R ha uno zero in A se
esiste un x0 di A tale che f (x0) = 0.
Notiamo che se si conosce il grafico di una
funzione è possibile stabilire se quella funzione è positiva (o negativa) su un certo insieme e se ha degli zeri. Ad esempio, il grafico
rappresentato qui sotto interseca l’asse x, nel
punto (denotato in figura con un pallino) di
coordinate (x0, 0), ove x0 è un numero compreso tra -1 e 0. Quindi la corrispondente
funzione f ha uno zero in x = x0.