Programma di Geometria (6 CFU) A.A. 2012

Programma di Geometria (6 CFU) A.A. 2012-2013
Corso di Studi in Ingegneria Civile-Ambientale
Docente: Dott.ssa Gioia Failla
• Spazi vettoriali (1 CFU)
Definizione ed esempi di spazi vettoriali: L’insieme delle n-uple. Lo spazio delle
matrici. Lo spazio dei polinomi. Sottospazi. L’insieme delle soluzioni di un sistema
lineare omogeneo un sottospazio. Operazioni con i sottospazi: somma, intersezione,
unione e somma diretta. Criterio per la somma diretta di due sottospazi. Sottospazi
supplementari. L’insieme delle matrici quadrate di ordine n è la somma diretta del
sottospazio delle matrici simmetriche di ordine n e del sottospazio dell’insieme delle
matrici antisimmetriche di ordine n. Combinazione lineare di un insieme di vettori
di uno spazio vettoriale. Sistemi di vettori linearmente indipendenti. Criterio per
la lineare indipendenza dei vettori. Spazi vettoriali di dimensione finita. Generatori
e basi di uno spazio vettoriale. Metodo del completamento e metodo degli scarti
per la determinazione di una base. Basi canoniche. Componenti di un vettore
e cambiamenti di base. Teorema sulla dimensione di un sottospazio. Formula di
Grassmann.
• Sistemi lineari e matrici (2 CFU)
Sistemi di equazioni lineari. Sistemi lineari omogenei. Matrici. Matrici diagonali,
simmetriche e antisimmetriche. Matrice trasposta. Matrici triangolari. Matrice
ridotta per righe. Riduzione per righe di una matrice. Sistemi lineari equivalenti.
Sistemi lineari ridotti. Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari. Metodo di GaussJordan. Prodotto di matrici. Matrici invertibili. Proprietà del prodotto: associativa,
distributiva rispetto all’addizione, matrice trasposta di un prodotto di matrici; matrice inversa di un prodotto di matrici. Rango di una matrice. Teorema di RouchèCapelli. Determinante di una matrice. Regola di Sarrus. Teoremi di Laplace.
Calcolo dei determinanti e propriet. Determinanti e matrici invertibili. Matrice
aggiunta. Inversa di una matrice con il metodo di riduzione, con il metodo della
matrice aggiunta. Complementi ed applicazioni: Regola di Cramer, Minore di una
matrice. Teorema di Kronecher. Sistemi lineari parametrici. Equazioni matriciali
per il calcolo dell’inversa di una matrice.
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• Applicazioni lineari e Spazi vettoriali euclidei (1 CFU)
Definizioni ed esempi. Nucleo ed Immagine di un’applicazione lineare. Applicazioni
lineari e matrici. Applicazioni lineari iniettive, suriettive e biunivoche. Isomorfismi. Criterio di iniettivit. Teorema sui generatori dell’immagine di un’applicazione
lineare. Teorema della dimensione. Composizione tra due applicazioni lineari e
matrice associata. Traccia di una matrice. Matrici simili. Controimmagine di un
vettore. Applicazioni lineari parametriche. Autovalori e autovettori. Molteplicità di
un autovalore. Polinomio caratteristico. Diagonalizzazione. Endomorfismi semplici.
Teorema sulla dimensione degli autospazi. Autovettori non nulli relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Matrici ortogonali e ortogonalmente
diagonalizzabili.
Prodotti scalari e matrici simmetriche. Perpendicolarit e basi ortogonali. Norma
di un vettore, normalizzato di un vettore. Procedimento di Gram-Schmidt per la
determinazione di una base ortonormale. Basi ortonormali e matrici ortogonali.
Endomorfismi parametrici. Endomorfismi di spazi vettoriali di polinomi e di spazi
vettoriali di matrici.
• Geometria del piano cartesiano (1 CFU)
Sistemi di riferimento. Coordinate cartesiane e polari nel piano. Rette del piano
cartesiano. Equazione cartesiana: implicita ed esplicita. Forma parametriche. Coefficiente angolare e parametri direttori. Passaggio da equazioni parametriche a
cartesiane e viceversa. Retta per due punti, retta per un punto e parallela (oppure perpendicolare) ad una data retta, proiezione ortogonale di un punto su una
retta, distanza punto-retta. Distanza tra due rette parallele, punto medio di un segmento. Punti simmetrici rispetto ad un centro e rispetto ad una retta. Intersezioni.
Condizioni di parallelismo e ortogonalità. Fasci di rette. Trasformazioni del piano
cartesiano: Traslazioni, rotazioni e rototraslazioni. Circonferenze. Retta tangente in
un punto appartenente ad una circonferenza. Rette tangenti ad una circonferenza da
un punto esterno al cerchio determinato dalla circonferenza. Fasci di circonferenze.
Asse radicale. Coniche. Forme canoniche. Classificazione affine delle coniche. Centro di una conica. Teorema sugli asintoti di un’iperbole anche in forma non canonica.
Riduzione a forma canonica delle coniche. Fasci di coniche.
• Geometria dello spazio cartesiano (1 CFU)
Sistemi di riferimento. Coordinate cartesiane e polari nello spazio. Punti, rette e
piani dello spazio cartesiano. Parametri direttori di una retta nello spazio. Parametri
di giacitura di un piano. Equazioni cartesiane e parametriche di una retta. Retta
per due punti, retta per un punto e parallela ad una retta, retta per un punto e
perpendicolare ad un piano. Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e
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viceversa. Piano per tre punti non allineati. Piano per un punto e parallelo ad un
piano dato, proiezione ortogonale di una retta su un piano. Distanza punto-piano,
distanza tra due rette sghembe. Intersezioni. Mutue posizioni di rette e piani nello
spazio. Condizioni di parallelismo e ortogonalit. Fasci di piani. Trasformazioni dello
spazio cartesiano: traslazione, rotazione e rototraslazione. Sfere e circonferenze.
Intersezioni sfera-piano: piano secante, piano tangente, piano esterno ad una sfera.
Equazione cartesiana del piano tangente ad una sfera in un suo punto. Fasci di sfere.
Piano radicale. Quadriche: definizione. Quadriche degeneri e non degeneri. Coni e
cilindri. Classificazione affine delle quadriche. Forme canoniche. Riduzione a forma
canoniche delle quadriche.
Testi di riferimento
1. S. Greco, P. Valabrega, Lezioni di geometria, Algebra lineare, vol. I, Levrotto Bella,
Torino.
2. S. Greco, P. Valabrega, Lezioni di geometria, Geometria Analitica, vol. II, Levrotto
Bella, Torino.
3. Bonacini, Cinquegrani,Marino, Algebra lineare esercizi svolti, cavallotto edizioni.
4. Bonacini, Cinquegrani,Marino, Geometria Analitica esercizi svolti, cavallotto edizioni.
5. F. Flamini, A. Verra “Matrici e vettori. Corso di base di Geometria e Algebra
Lineare.”; Carocci Editore, Collana: LE SCIENZE , (2008) pp. 380. Pagina Web
della casa Editrice e del Testo
6. N. Chiarli, S. Greco, P. Valabrega, ”100 Pagine diAlgebra lineare” Levrotto Bella,
Torino.
7. N. Chiarli, S. Greco, P. Valabrega, ”100 Esercizi diAlgebra lineare” Levrotto Bella,
Torino.
8. M. Stoka, V. Pipitone, ”Esercizi e problemi di Geometria”, CEDAM
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