TEOREMI SUL CALCOLO DEI LIMITI- TEORIA
Teorema 1. Limite della somma
Siano
f1 ( x) e f 2 ( x) due funzioni che ammettono per x→c (c finito o infinito), limiti finiti
lim f1 ( x) = l1
lim f 2 ( x) = l 2
Allora il limite della somma delle due funzioni esiste ed è la somma dei loro limiti.
lim[ f1 ( x) ± f 2 ( x)] = lim f1 ( x) ± lim f 2 ( x) = l1 + l2
lim f1 ( x) =
lim f 2 ( x) = lim[ f1 ( x) + f 2 ( x)] =
l1
l1
l2
l1
l1
+∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
Esempi
l1 + l 2
0
Teorema 2. Limite del prodotto
Siano
f1 ( x) e f 2 ( x) due funzioni che ammettono per x→c (c finito o infinito), limiti finiti
lim f1 ( x) = l1
lim f 2 ( x) = l 2
Allora il limite del prodotto delle due funzioni esiste ed è il prodotto dei loro limiti.
lim[ f1 ( x) ⋅ f 2 ( x)] = lim f1 ( x) ⋅ lim f 2 ( x) = l1 ⋅ l 2
lim f1 ( x) =
lim f 2 ( x) =
l1
l1
l2
l1
l1
+∞
−∞
+∞
+∞
0
−∞
+∞
−∞
−∞
lim[ f1 ( x) ⋅ f 2 ( x)] =
l1 ⋅ l 2
Teorema 3. Limite del quoziente
Siano
f1 ( x) e f 2 ( x) due funzioni che ammettono per x→c (c finito o infinito), limiti finiti
lim f1 ( x) = l1
lim f 2 ( x) = l2 ≠ 0
Allora il limite del quoziente delle due funzioni esiste ed è il quoziente dei loro limiti.
f ( x) lim f1 ( x) l1
lim 1 =
=
f 2 ( x) lim f 2 ( x) l 2
lim f 2 ( x) = lim[ f1 ( x) / f 2 ( x)] =
lim f1 ( x) =
l1
l1
l2
0
l2
0
0
l1
±∞
±∞
l2
+∞
−∞
+∞
+∞
−∞
−∞
Esempi
l1 / l 2
0
FORME INDETERMINATE-TEORIA
1- Calcolo dei limiti di funzioni razionali intere per x → ∞
Sia
[+∞
−∞]
y = a0 x n + a1 x n−1 + a2 x n−2 + .......an−1 x + an
a
a
a a
lim a0 x n + a1 x n−1 + a2 x n−2 + .......an−1 x + an = lim x n a0 + 1 + 22 + ..... + nn−−11 + nn
x → ±∞
x → ±∞
x x
x
x
a
a
a
a
lim 1 = lim 22 = lim 33 = lim nn = 0 e per ciò
x → ±∞ x
x → ±∞ x
x → ±∞ x
x → ±∞ x
a
a
a a
lim a0 + 1 + 22 + ..... + nn−−11 + nn = a0 dunque il limite (1) sarà:
x → ±∞
x x
x
x
(
)
(1)
a
a
a a
lim a0 x n + a1 x n−1 + a2 x n−2 + .......an−1 x + an = lim x n a0 + 1 + 22 + ..... + nn−−11 + nn = lim a0 x n = ∞
x → ±∞
x x
x
x x→±∞
x → ±∞
(
)
( per il segno si applica la regola dei segni)
Il limite per
x → ±∞ di una funzione razionale intera è uguale al limite del suo termine di grado massimo
lim a0 x n + a1 x n−1 + a2 x n−2 + .......an−1 x + an = lim a0 x n
x → ±∞
Esempio
(
(
)
)
x → ±∞
2 5
1
lim 4 x 3 − 2 x 2 + 5 x + 1 = lim x 3 4 − + 2 + 3 = lim 4 x 3 = +∞
x → +∞
x → +∞
x x
x x → +∞
2- Forma indeterminata
0
0
In questo caso si devono scomporre in fattori sia il numeratore sia il denominatore, poi si semplificano i fattori
comuni e infine si ricalcola il limite.
lim−
x→ 2
x2 − 4 0
( x + 2)( x − 2)
=
= lim−
= lim− ( x + 2) = 4
x
x→ 2
→
2
x − 2 0
x−2
3- Calcolo dei limiti di funzioni razionali fratte per x → ∞
Sia y =
∞
∞
a0 x n + a1x n −1 + a2 x n − 2 + .......an −1x + an
b0 x m + b1x m −1 + b2 x m − 2 + .......bm −1x + bm
Poiché sappiamo che lim
(
f1 ( x) lim f1 ( x)
sarà (limite di una funzione razionale intera):
=
f 2 ( x) lim f 2 ( x)
)
lim a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + .......an −1 x + an = lim a0 x n mentre :
x → ±∞
(
lim b0 x + b1x
x → ±∞
m
m −1
+ b2 x
m−2
)
+ .......bm −1x + bm = lim b0 x m
x → ±∞
a0 x + a1 x + a2 x n − 2 + .......an −1 x + an
a0 x n
a
=
lim
= lim 0 x n − m (3)
m
m
−
1
m
−
2
m
x → ±∞ b x + b x
x → ±∞ b
+ b2 x + .......bm −1 x + bm x → ±∞ b0 x
0
0
1
n
dunque il limite diventa
x → ±∞
n −1
lim
si possono avere tre casi
1° caso: n > m la (3) semplificando diventa lim
a0 x n
x → ±∞ b x m
0
2° caso: n < m la (3) semplificando diventa lim
a0 x n
x → ±∞ b x m
0
3° caso: n = m la (3) semplificando diventa lim
= lim
= lim
x n − m = ±∞ a seconda del segni. ( il limite è ∞)
a0
x → ±∞ b x m − n
0
a0 x n
x → ±∞ b x
0
m
rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo)
4 x 3 − 2 x 2 + 12
4x3 4
Esempio: lim
= lim 3 =
x → +∞ 3 x + 5 x 3 + x 2
x → +∞ 5 x
3
a0
x → ±∞ b0
=0 (il limite è zero)
a0 a0
(il limite è finito ed è uguale al
=
x → ±∞ b0
b0
= lim
