Università degli Studi di Palermo
Facoltà di Economia
CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale
Appunti del corso di Matematica
05 - Limiti
Anno Accademico 2013/2014
D. Provenzano M. Tumminello, V. Lacagnina, A. Consiglio
1. Introduzione
1. Introduzione
Il concetto di limite è di fondamentale importanza in matematica.
Le definizioni di derivata e integrale di una funzione, per esempio, si
basano sul concetto di limite.
In questa prima fase daremo una definizione intuitiva che sarà formalizzata successivamente.
Sia f : A ⊆ R → R una funzione e x0 ∈ R̃ un punto di accumulazione per A.
Il nostro problema consiste nel capire quale valore assume f (x) quando
x si avvicina a x0 . Se tale valore esiste (nel senso che definiremo meglio
in seguito) diremo che il limite di x che tende a x0 è pari a l e scriveremo
lim f (x) = l
x→x0
Esempio 1.1
Si consideri la funzione f (x) = x3 + 2. Si ipotizzi di essere
interessati a studiare cosa succede a f (x) in prossimità di x0 = 2.
In questo specifico caso, via via che ci avviciniamo a 2, è facile
osservare che f (x) assume il valore l = 10, ovvero i valori assunti
dalla f (x), per valori della x vicini a 2, sono prossimi a 10.
Quindi,
lim x3 + 2 = 10
x→2
Il diagramma di Figura 1 rappresenta tale situazione.
Esempio 1.2
x3 − 8
La funzione f (x) =
è definita su tutti i reali tranne x = 2:
x−2
Dom.f = R\{2}. Il punto x0 = 2 è comunque un punto di accumulazione per Dom.f , quindi, è possibile investigare cosa succede a
f (x) quando ci avviciniamo, ma non raggiungiamo, x0 = 2, ovvero
x3 − 8
x→2 x − 2
Cerchiamo, innanzitutto, di tracciare il grafico di f (x) (vedi figura
2). Come si può osservare, sebbene la f (x) non sia definita in x = 2,
via via che x si avvicina a 2, la f (x) si avvicina al valore 12.
Ciò soddisfa la definizione intuituiva di limite che abbiamo dato.
In effetti, con semplici passaggi algebrici, si ha che
2
(x−2)(x
+ 2x + 4)
x3 − 8
= lim
= lim x2 + 2x + 4 = 12
lim
x→2
x→2
x→2 x − 2
x
−
2
lim
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1. Introduzione
Figura 1. lim x3 + 2 = 10
x→2
Quindi, quando x0 è punto di accumulazione per A, ma x0 ∈
/ A, la
sostanza del concetto di limite non cambia, nel senso che possiamo
sempre determinare qual è il comportamento della f (x) in prossimità
di tale punto.
Riferendoci all’esempio 1, possiamo considerare l’avvicinamento a x0
per valori di x < x0 (dalla sinistra) oppure per valori x > x0 (dalla
destra).
Nel primo caso, se il limite esiste, diremo che esiste il limite sinistro e
scriveremo
lim− f (x) = l
x→x0
nel secondo caso, se il limite esiste, diremo che esiste il limite destro e
scriveremo
lim+ f (x) = l
x→x0
Nei casi che abbiamo visto finora,
lim f (x) = lim− f (x) = l
x→x+
0
x→x0
ossia, i due limiti coincidono e in questo caso diremo che il limite nel
punto x0 esiste.
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1. Introduzione
x3 − 8
x→2 x − 2
Figura 2. lim
Si osservi, adesso, il grafico della funzione
{ 2
x
se x < 2
f (x) =
1
x
+
4
se
x≥2
2
come riportato in figura 3.
Come si può notare,
lim f (x) = 4
x→2−
mentre
lim f (x) = 5
x→2+
Sebbene esistano il limite destro e sinistro, non è possibile concludere
quale sia il comportamento della funzione per x che si avvicina a 2. In
questo caso il limite non esiste.
In generale, se il limite destro e sinistro non coincidono, oppure uno o
entrambi non esistono, il limite per x → x0 non esiste.
Esaminiamo la funzione di figura 4 nei punti π e 2π.
Come si può osservare, per x che si avvicina a π o a 2π, la funzione f (x)
assume valori infinitamente grandi, ossia f (x) → +∞, oppure assume
valori infinitamente piccoli, ossia f (x) → −∞.
Scriveremo che
lim f (x) = +∞
x→π
Inoltre
lim f (x) = −∞,
x→2π −
lim f (x) = +∞
x→2π +
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1. Introduzione
Figura 3. Grafico della funzione f (x) = x2 se x < 2;
f (x) = 12 x + 4 se x ≥ 2
Nei casi visti finora, l’esistenza o la non esistenza del limite può verificarsi tramite una semplice ispezione del grafico di f (x). Non sempre
ciò è possibile ed in alcuni casi si potrebbe incorrere in errori.
Esempio 1.3
Il grafico della funzione f (x) = sin(π/x) (figura 5) sembra avere
come limite 0. Comunque, da una osservazione più ravvicinata, si
evince che la funzione oscilla fra −1 ed 1 via via che x si avvicina a
0. Anche in questo caso, sebbene la funzione sia limitata, il limite
non esiste per l’oscillazione della funzione nelle vicinanze di 0.
Esempio 1.4
Si determini
sin x
x→0 x
Se valutiamo la funzione in 0, si ottiene la forma priva di significato
0
. Ispezionando il grafico della funzione (figura 9), si nota che per
0
x → 0+ e x → 0− si ha che f (x) → 1.
lim
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2. Rappresentazione grafica del limite
Figura 4. Si osservi la funzione in π e 2π
Figura 5. f (x) = sin(π/x)
Infine, vedremo una tipologia di funzioni per cui la valutazione della
funzione in x0 restituisce una forma indeterminata, ma il limite esiste.
2. Rappresentazione grafica del limite
Avendo tre possibili casi per il valore del punto di accumulazione:
x0 (finito), +∞, and −∞ e tre possibili casi per il valore del limite:
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3. Definizione di limite
Figura 6. f (x) = sin(π/x)
l (finito), +∞, and −∞, le situazioni che possono verificarsi sono in
totale 9. La Figura 1 rappresenta graficamente il caso
lim f (x) = l,
x→x0
la Figura 2 i casi
lim f (x) = +∞
x→−∞
e
lim f (x) = +∞
x→+∞
la Figura 7 i casi
lim f (x) = l
e
lim f (x) = +∞
e
x→−∞
lim f (x) = l
x→+∞
la Figura 8 i casi
x→x0
lim f (x) = −∞
x→x0
la Figura 9 i casi
lim f (x) = −∞
x→−∞
e
lim f (x) = −∞
x→+∞
3. Definizione di limite
Possiamo adesso introdurre la definizione formale di limite
Definizione Sia x0 ∈ R̃ un punto di accumulazione per A, dominio
della funzione f . Si dice che la funzione f (x) ammette limite l ∈ R̃ per
x che tende a x0 e scriviamo
lim f (x) = l
x→x0
se, ∀I(l), ∃I(x0 ): ∀x ∈ I(x0 ) ∩ A, con x ̸= x0 , segue che
f (x) ∈ I(l)
In tal caso si dice che f (x) tende a l, finito o infinito, per x → x0 .
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3. Definizione di limite
Figura 7. f (x) = x2 /(x2 + 4)
Figura 8. f (x) = −2x/(x2 − 1)2
Figura 9. f (x) = −x2 + x − 1
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4. Teoremi sui limiti
In altre parole, diremo che la funzione f (x) tende a l per x → x0 , se
comunque prendo un intorno del valore del limite l, I(l), esiste un intorno del punto di accumulazione x0 , I(x0 ), tale che comunque prendo
un valore x appartenente contemporaneamente al dominio della funzione e all’intorno considerato, con x diverso da x0 , segue che il valore
della funzione calcolato in corrispondenza del valore della x scelto cade
nell’intorno del limite inizialmente fissato.
È importante sottolineare due punti:
• Si ha che x ̸= x0 , quindi, nella definizione di limite non ha
importanza il valore che assume la funzione in x0 .
• Se il punto x0 non fosse di accumulazione per A, la definizione
di limite non avrebbe senso. Infatti siamo sicuri che esistono
punti di A arbitrariamente vicini a x0 solo se x0 è un punto di
accumulazione per A.
Come visto nell’introduzione, è necessario definire il concetto di
limite nella parte destra e sinistra del punto di accumulazione cui tende
la variabile indipendente. In particolare, la definizione di limite destro
e limite sinistro è data da:
Definizione Si parla di limite destro
lim f (x) = l
x→x+
0
se ∀I(l), ∃I + (x0 ): ∀x ∈ I + (x0 ) ∩ A, con x ̸= x0 , segue che
f (x) ∈ (l).
Analogamente si parla di limite sinistro
lim f (x) = l
x→x−
0
se ∀I(l), ∃I − (x0 ): ∀x ∈ I − (x0 ) ∩ A, con x ̸= x0 , segue che
f (x) ∈ (l).
Diremo che la funzione ammette limite per x → x0 se e solo se
lim f (x) = lim− f (x) = l
x→x+
0
x→x0
e scriveremo
lim f (x) = l
x→x0
Se l é un valore finito diremo che la funzione converge a l. Se il valore
del limite é infinito, +∞ o −∞, allora diremo che la funzione diverge.
4. Teoremi sui limiti
Teorema 4.1 (dell’unicità del limite). Sia f : A ⊆ R → R una
funzione e x0 ∈ R̃ un punto di accumulazione per A, se la funzione
ammette limite, finito o infinito, per x → x0 questo é unico.
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4. Teoremi sui limiti
Dimostrazione. Ipotizziamo, per assurdo, che esistano due valori per il limite
lim f (x) = l1
x→x0
e
lim f (x) = l2
x→x0
con l1 ̸= l2 .
Allora, per la definizione di limite, valgono contemporaneamente le due
definizioni
• ∀I(l1 ), ∃I1 (x0 ): ∀x ∈ I1 (x0 ) ∩ A, con x ̸= x0 , segue che
f (x) ∈ I(l1 );
• ∀I(l2 ), ∃I2 (x0 ): ∀x ∈ I2 (x0 ) ∩ A, con x ̸= x0 , segue che
f (x) ∈ I(l2 ).
Tra tutti i posibili intorni dei due valori del limite, I(l1 ) e I(l2 ), ne scelgo
due che non hanno elementi in comune, tali cioé che I(l1 ) ∩ I(l2 ) = ∅.
Facendo l’intersezione dei due intorni I1 (x0 ) e I2 (x0 ), I1 (x0 ) ∩ I2 (x0 ),
∀x ∈ I1 (x0 ) ∩ I2 (x0 ), varranno entrambe le definizioni e quindi, contemporaneamente,
f (x) ∈ I(l1 ) e f (x) ∈ I(l2 ).
I due intorni I1 (l) e I2 (l) avranno necessariamente in comune il valore
f (x) della funzione, contraddicendo la scelta iniziale di due intorni
senza elementi in comune. Si conclude che il valore del limite, se esiste,
deve essere unico.
Teorema 4.2 (della permanenza del segno). Sia lim f (x) = l ̸= 0,
x→x0
allora, ∃I(x0 ): ∀x ∈ I(x0 ), f (x) ha lo stesso segno di l.
Dimostrazione. Dalla definizione di limite segue che
∀I(l), ∃I(x0 ): ∀x ∈ I(x0 ) ∩ A, con x ̸= x0 , segue che f (x) ∈ I(l).
Definita con ϵ > 0 la semiampiezza dell’intorno di l, avremo quindi
l − ϵ < f (x) < l + ϵ.
Fissato allora ϵ = |l|/2, avremo che:
• se l > 0,
l − l/2 < f (x) < l + l/2
e quindi la f (x) sará compresa tra due quantitá positive come
positivo é il segno del limite;
• se l < 0,
l + l/2 < f (x) < l − l/2
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4. Teoremi sui limiti
e quindi la f (x) sará compresa tra due quantitá negative come
negativo é il segno del limite.
Teorema 4.3 (del confronto, valore del limite finito). Siano f , g, h
tre funzioni aventi lo stesso dominio A, x0 ∈ R̃ punto di accumulazione
di A, e sia
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ A, x ̸= x0
Se
lim f (x) = lim h(x) = l
x→x0
x→x0
allora
lim g(x) = l ∈ R
x→x0
Dimostrazione. Dalla definizione di limite per le funzioni f e h
segue che
∀I(l), ∃I1 (x0 ): ∀x ∈ I1 (x0 )∩ A, con x ̸= x0 , segue che f (x) ∈ I(l);
∀I(l), ∃I2 (x0 ): ∀x ∈ I2 (x0 )∩ A, con x ̸= x0 , segue che h(x) ∈ I(l).
Fissato I(x0 ) = I1 (x0 ) ∩ I2 (x0 ), ∀x ∈ I(x0 ), con x ̸= x0 e x ∈ A,
varranno entrambe le definizioni e quindi, contemporaneamente,
l − ϵ < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < l + ϵ
dove ϵ > 0 rappresenta la semiampiezza dell’intorno di l.
Poiché g(x) é un valore compreso tra f (x) e h(x), allora anch’esso
apparterrá all’intorno di I(l), ∀x ∈ I(x0 )∩ A, con x ̸= x0 , che é la
definizione di funzione convergente a l.
Teorema 4.4 (del confronto, valore del limite infinito). Siano f e g
due funzioni aventi lo stesso dominio A, x0 ∈ R̃ punto di accumulazione
di A, e sia
f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ A, x ̸= x0
Se
lim f (x) = +∞
x→x0
allora
lim g(x) = +∞
x→x0
Dimostrazione. Dalla definizione di limite per la funzione f segue
che
∀I(+∞), ∃I(x0 ): ∀x ∈ I(x0 )∩ A, con x ̸= x0 , segue che f (x) ∈
I(+∞).
Poiché g(x) ≥ f (x), ∀x ∈ A, anche la funzione g apparterrá all’intorno
I(+∞), ∀x ∈ I(x0 ) ∩ A, con x ̸= x0 , che é la definizione di funzione
divergente a +∞.
Analogamente si ragiona nel caso di
lim f (x) = −∞
x→x0
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6. Forme indeterminate
e f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ A, x0 ∈ R̃ punto di accumulazione di A, x ̸= x0 .
Il teorema del confronto risulta particolarmente interessante perchè
suggerisce un’alternativa valida per il calcolo del limite.
5. Teoremi per il calcolo dei limiti
Teorema 5.1. Sia f : A ⊆ R → R una funzione costante, cioé
e un punto di accumulazione per A,
tale che ∀x ∈ A, f (x) = c, x0 ∈ R
allora lim f (x) = c.
x→x0
e
Siano f, g : A ⊆ R → R due funzioni reali di variabile reale, x0 ∈ R
un punto di accumulazione per A. Se lim f (x) = l e lim g(x) = m,
x→x0
x→x0
allora
Teorema 5.2. lim [f (x) + g(x)] = l + m
x→x0
Teorema 5.3. lim [f (x) · g(x)] = l · m
x→x0
Teorema 5.4. lim [α · f (x)] = α · l, con α ∈ R
x→x0
Teorema 5.5. lim
m ̸= 0.
x→x0
l
f (x)
= , con g(x) ̸= 0, ∀x ∈ A e x ̸= x0 ,
g(x)
m
Teorema 5.6. lim f (x)g(x) = lm , con f (x) > 0 e f (x) ̸= 1, ∀x ∈
x→x0
A e x ̸= x0 , l > 0 e l ̸= 1.
Teorema 5.7. lim f (x)n = ln , con f (x) > 0 e f (x) ̸= 1, ∀x ∈ A e
x→x0
x ̸= x0 , l > 0 e l ̸= 1, n ∈ N.
Teorema 5.8. lim log(f (x)) = log(l), con f (x) > 0, ∀x ∈ A e
x ̸= x0 e l > 0.
x→x0
Teorema 5.9. lim logg(x) f (x) = logm l, con f (x) > 0, l > 0, g(x) >
x→x0
0, g(x) ̸= 1, ∀x ∈ A e x ̸= x0 .
Teorema 5.10. Siano f e g due funzioni componibili nella funzione composta g ◦ f e x0 un punto di accumulazione per il dominio di
f . Se lim f (x) = l, con l punto di accumulazione per la funzione g, e
x→x0
lim g(x) = m, allora lim g(f (x)) = m.
x→l
x→x0
6. Forme indeterminate
∞ − ∞, 0 · ∞,
0 ∞ ∞ 0
,
, 1 , 0 , ∞0
0 ∞
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7. Limiti notevoli
7. Limiti notevoli
I limiti notevoli che prendiamo in considerazione sono soltanto due
(
1 )x
lim 1 +
= e (costante di Nepero)
x→∓∞
x
da cui si ricava
(
)1
lim 1 + x x = e (costante di Nepero)
x→0
(
1 )x
lim 1 −
= e−1 (costante di Nepero)
x→∓∞
x
ln(1 + x)
lim
=1
x→0
x
e
ax − 1
= ln(a)
x→0
x
lim
da cui si ricava
ex − 1
=1
x→0
x
lim
Sia f : A ⊆ R → R una funzione.
Se f (x) → ∓∞, quando x → x0 , con x0 punto di accumulazione per
A, allora
(
1 )f (x)
lim 1 +
= e (costante di Nepero)
x→x0
f (x)
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