Endomorfismi simmetrici

Matteo Moda
Geometria e algebra lineare
Endomorfismi simmetrici
Endomorfismi simmetrici
Endomorfismo simmetrico: Dato uno spazio vettoriale metrico V e un endomorfismo T
appartenente a V. L’endomorfismo si definisce simmetrico se e solo se (T(v1),v2)=(v1,T(v2)) per
ogni v1,v2 appartenente a V
Data una base ortonormale B(e1,…,en) di V:
Se x e y sono vettori righe delle coordinate di v e w rispetto a B allora: (v,w)=xTy
T è un endomorfismo simmetrico se e solo se la matrice associata A=MB(T) è simmetrica
Dimostrazione:
1.) Dati = ∑ = ∑ :
♣ , = ∑ , ∑ = ∑, = ∑ =
ℎ
"ò 1 = %, 0 ≠ %
♣ (, = ) = ) , ( = ) = )
Una matrice si definisce simmetrica se è costituita da autovalori reali e autovettori ortogonali
Teorema spettrale: Dato uno spazio vettoriale metrico V e T un endomorfismo simmetrico
appartenente a V, allora:
1. Esiste una base ortonormale B di V costituita da autovettori di T
2. Ogni matrice reale simmetrica è simile a una matrice diagonale reale
Matrice ortogonale: Una matrice si definisce ortogonale se, data una matrice quadrata
*+, ℝ, ℎ * * = .
L’inversa di una matrice quadrata è la sua trasposta. Ciò è dimostrato per il teorema di Binet:
det* = det* = det. = 1, 2" det *3 = 1 → det * = ±1
Una matrice ortogonale di determinate 1 è detta matrice di rotazione. Questa matrice viene
utilizzata perle rotazioni di un piano intorno all’origine e le rotazioni di uno spazio attorno a una
retta passante per l’origine
Esempio
7 1 1
Data la matrice reale simmetrica ) = 61 7 18 il suo polinomio caratteristico è:
1 1 7
7−:
1
1
9 : = det) − :.< = det 6 1
7−:
1 8 = ⋯ = −: − 63 : − 9 con auto valori 6
1
1
7−:
(DOPPIO) e 9, e auto vettori:
1 1 1
1 1 1
@6 = A) − 6. < = A 61 1 18 = A 60 0 08 =< 1,0, −1, 0,1, −1 >
1 1 1
0 0 0
1,1,1
@9 =<
>
D − Eℎ @6:
1
1,0, −1 → 1
√2
1
1
1
0,1, −1 − 0,1, −11,0, −1 1,0, −1 = H− , 1, − I √6/2
2
2
2
E(6) ha base ortonormale HK
√3
1
, 0, −
√3
L , K−
,
3
√M √M
,−
√M
LI
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, , LI
√N √N √N
E(9) ha base ortonormale HK
ℎ
" @6 O " P " "
). R *:
1
1
1
U
Y
−
√6 √3X
T √2
2
1X
T
T 0
X
√6 √3X
T
1X
T− 1 − 1
S √2
√6 √3W
,che ha come colonne le basi ortonormali elencate prima, è una matrice ortogonale.
Forma quadratica: Data una matrice reale e simmetrica ) + , ℝ. La forma quadratica associata
ad A è la funzione 2: ℝ → ℝ O 2 = ) = ∑, con x vettore colonna di componenti (x1,x2,….)
Per ogni forma quadratica q vale 2: = :3 2 : Matrici congruenti: Due matrici A e B si dicono congruenti se:
Z = * )*
Matrici equivalenti: Due matrici A e B si dicono equivalenti () ≈ Z se valgono le seguenti
proprietà:
Riflessiva: ) ≈ ) → * = .
Simmetrica: * \ Z = )*
* \ Z* \ = )
*\ Z* \ = )
Transitiva: ) ≈ Z Z ≈ ] → ) ≈ ]
Dati Z = * )* ] = ^ Z^. C è uguale a ] = ^ Z^ = ^ * )*^ = * ^ )*^ =
*^ ) *^ = _ )_ _ = *^
Forma quadratica diagonalizzabile: Una forma quadratica q si dice diagonalizzabile se esiste un
cambiamento di coordinate x=Py tale che q(x) si trasformi in una forma quadratica diagonale, cioè:
2 ` = 3 + ⋯ + 3
R Ob
c
* è " c
La forma quadratica q associata ad A è diagonalizzabile se e solo se A è congruente a una matrice
diagonale
Teorema: Ogni forma quadratica è diagonalizzabile mediante una trasformazione ortogonale di
coordinate
Indici di una forma quadratica: Sono i numeri di autovalori positivi, negativi, nulli della matrice
simmetrica A, associata alla forma quadratica, cioè:
e 2"
c " ) → à 2
\ 2"
c " c ) → cà 2
g 2"
c " " ) → "à
Forme quadratiche definite, semidefinite, indefinite: La forma quadratica q (e quindi la matrice A)
si dicono:
Definita positiva se 2 > 0 ≠ 0
Semidefinita positiva se 2 ≥ 0
Definita negativa se 2 < 0 ≠ 0
Semidefinita negativa se 2 ≤ 0
Se ∃ 1, 2 | 21 < 0 < 22 O 2" O
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Riassumiamo il tutto nella seguente tabella
Q
i+ (q)
i-(q)
i0(q)
Def.
Positiva
Semidef.
Positiva
Def.
Negativa
Semidef.
Negativa
Indef.
n
0
0
n-m
m
0
0
0
n
0
m
n-m
P1>0
n-P1-P2
P2>0
Introduciamo ora le coordinate omogenee. Questo argomento non è presente sul libro e non è stato
spiegato bene in classe. Ho pensato, quindi, di scaricare i seguenti appunti di un professore del Poli,
sperando che siano comprensibili.
SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE OMOGENEE
2. 1. Le coordinate omogenee
Riferiamo lo spazio ad una terna di assi cartesiani ortogonali e indichiamo con il vettore:
Vettore coordinate
cartesiane.
X 
Y 
 
Z 
p=  
le coordinate cartesiane di un generico punto P.
Chiamiamo coordinate omogenee di P, una quaterna di numeri x,y,z,w tali che:
X =
x
;
w
Y=
y
;
w
Z=
z
w
Abbiamo quindi un vettore di coordinate omogenee
Vettore coordinate
omogenee.
x
 y
p= 
z
 
 w
Per le coordinate omogenee si hanno le seguenti proprietà:
3
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1) Le coordinate omogenee di un punto sono definite a meno di un fattore di proporzionalità. In
altre parole, due punti le cui coordinate omogenee differiscono tra loro per una costante di
proporzionalità k, corrispondono allo stesso punto in coordinate cartesiane. Infatti, dati
P1=(x,y,z,w) e Q1=(kx,ky,kz,kw), ricaviamo da ciascuno di essi il corrispondente in coordinate
cartesiane:
y
x
z
P1 ⇒
P = ( = X ; = Y; = Z)
w
w
w
ky
kx
kz
Q1 ⇒
Q=(
= X;
= Y;
= Z)
kw
kw
kw
otteniamo quindi che P=Q, come volevasi dimostrare.
2) I punti in coordinate omogenee con coordinata w nulla sono detti punti impropri. Detti
punti non hanno apparentemente un significato geometrico nello spazio cartesiano. Un punto
improprio rappresenta una direzione OP, con P=(X,Y,Z) generico, mediante le coordinate
omogenee (x,y,z,0).
X
Y
Z
x = ; y = ;z =
0
0
0 .Anche per i punti impropri vale la proprietà (1).
Essendo
Nel punto seguente si mostra perché questi punti rappresentano delle direzioni.
2.1.1. Rappresentazione geometrica delle coordinate omogenee
Per poter rappresentare graficamente le coodinate omogenee consideriamo uno spazio cartesiano
Vettore coordinate
bidimensionale. Abbiamo quindi i vettori:
cartesiane e coordinate
x
X 
 
omogenee.
Y  →  y
 
 w
Supponiamo per semplicità che sia w=1: in tal modo le coordinate cartesiane (fisiche) e quelle omogenee coincidono:
X=x/1; Y=y/1.
Il punto P’(X,Y) è ricavato dal punto P(x,y,1), intersecando la retta OP1 col piano w=1.
x
P =  y 
w
w
w=1
P’
O
! Facendo diminuire w fino
a farlo tendere a 0 i vari
punti XY che si trovano
intesecando la retta OP con
il piano a w costante
identificano una direzione
muovendosi verso l’infinito.
Per questo per w=0 si ha un
punto all’infinito che
rappresenta una direzione.
y
Direzione
identificata dal
punto [x,y,0]
x
Figura 2.1.1 1
Geometricamente il parametro u rappresenta un fattore di scala e sarà sempre posto ad 1 oppure a
0, salvo diversa indicazione.
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Il concetto delle coordinate omogenee può essere esteso al caso in tre dimensioni con quattro
variabili di coordinate omogenee.
w≠
≠0 da un punto al finito (proprio)
x
X   
Y  →  y 
  z
 Z   w
 
w=0 si ha un punto all’infinito che rappresenta una direzione
2.1.2 Alcune direzioni particolari
In coordinate omogenee ci sono 4 punti particolari:
1 
0 
 =i
0 
 
0 
0 
1 
 = j
0 
 
0 
0 
0 
 =k
1 
 
0 
0 
0 
 =O
0 
 
1 
Versore (direzione) dell’asse X
Versore (direzione) dell’asse Y
Versore (direzione) dell’asse Z
Origine degli assi degli assi
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Z
O
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→
k
Y
→
j
Questi
quattro
punti
caratterizzano il sistema di
riferimento.
X
→
i
Figura 2.1.2 1
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