Facoltà di Ingegneria – Corso di laurea in Ingegneria ……………

Facoltà di Ingegneria . Corso di laurea in Ingegneria …………….…A
Compito
Geometria
Luglio 2008
COGNOME …………………… NOME ……………..……………..
Tempo a disposizione:
1 ora e 20 minuti
1. a) Sia f l’endomorfismo di R3 rappresentato, rispetto alla base canonica,
1  2 2
dalla matrice reale A = 1 2 0 ; calcolare f(1,1,2)


1  1 3
b) Determinare per quali valori di k il vettore (0,k,1) e’ autovettore
dell’endomorfismo f.
RISPOSTA 1 : f(1,1,2) = (3,3,6) ; per k=1 il vettore (0,k,1) e’ un autovettore
2.Sia E = ( x, y, z) / x  3 y  3z  0  ; stabilire quali fra i seguenti insiemi e’
una base dello spazio E: A= (3,2,1), (0,2,2),B= (2,0,1), (1,1,2)
RISPOSTA 2 : A e’ una base
3. a) Stabilire se i piani di equazioni rispettivamente x+y-2z=0, y+z+2=0 e x-4y-7z+18=0
individuano una stella di piani ;
b) in caso affermativo stabilire se la stella e’ propria o impropria e
determinare le coordinate omogenee del centro della stella
RISPOSTA 3 : I tre piani individuano una stella impropria il cui centro
e’ il punto di coordinate omogenee (3,-1,1,0)
4.Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano, siano date le rette
r: x+y-2z = 0, y + z + 2 = 0 ed s : x = 1+t, y = 3+2t, z = 1 – t.
Determinare i punti impropri di ciascuna di esse e stabilire se le rette r ed s
sono sghembe o complanari
RISPOSTA 4 :
Le coordinate omogenee dei punti impropri delle rette r ed s sono
rispettivamente (3,-1,1,0) e ( 1,2,-1,0); le rette r ed s sono sghembe.