Geometria - I blog di Unica

Geometria
Rudimenti della Logica e della Matematica
Marzo 2013
Geometria
Marzo 2013
1 / 18
I
La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente
della ‘misura della terra’ o più in concreto, delle aree di terreno.
Geometria
Marzo 2013
2 / 18
I
La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente
della ‘misura della terra’ o più in concreto, delle aree di terreno.
I
La geometria classica ha un speciale interesse in certo tipo di figure, che
sono i punti, le linee rette, e i cerchi. Questo è in parte dovuto al fatto che
gli strumenti di studio della geometria erano la riga e il compasso:
Geometria
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2 / 18
I
La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente
della ‘misura della terra’ o più in concreto, delle aree di terreno.
I
La geometria classica ha un speciale interesse in certo tipo di figure, che
sono i punti, le linee rette, e i cerchi. Questo è in parte dovuto al fatto che
gli strumenti di studio della geometria erano la riga e il compasso:
I
La riga è lo strumento che serve per disegnare la retta che passa per due
punti dati A e B.
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2 / 18
I
La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente
della ‘misura della terra’ o più in concreto, delle aree di terreno.
I
La geometria classica ha un speciale interesse in certo tipo di figure, che
sono i punti, le linee rette, e i cerchi. Questo è in parte dovuto al fatto che
gli strumenti di studio della geometria erano la riga e il compasso:
I
La riga è lo strumento che serve per disegnare la retta che passa per due
punti dati A e B.
I
Il compasso è lo strumento che serve per disegnare tutti i punti che
equidistano di un punto dato A (chiamato centro del cerchio) tanto come
un altro punto dato B.
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2 / 18
I
La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente
della ‘misura della terra’ o più in concreto, delle aree di terreno.
I
La geometria classica ha un speciale interesse in certo tipo di figure, che
sono i punti, le linee rette, e i cerchi. Questo è in parte dovuto al fatto che
gli strumenti di studio della geometria erano la riga e il compasso:
I
La riga è lo strumento che serve per disegnare la retta che passa per due
punti dati A e B.
I
Il compasso è lo strumento che serve per disegnare tutti i punti che
equidistano di un punto dato A (chiamato centro del cerchio) tanto come
un altro punto dato B.
B
A
B
A
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2 / 18
I
Due rette diverse si intersecano, e diciamo che sono secanti o incidenti,
se hanno un punto in comune. (Questo punto è unico, per ché?)
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I
Due rette diverse si intersecano, e diciamo che sono secanti o incidenti,
se hanno un punto in comune. (Questo punto è unico, per ché?)
I
Due rette che no si intersecano si chiamano parallele.
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I
Due rette diverse si intersecano, e diciamo che sono secanti o incidenti,
se hanno un punto in comune. (Questo punto è unico, per ché?)
I
Due rette che no si intersecano si chiamano parallele.
I
Due retti che si intersecano dividono il piano dove si trovano in quattro
parti, e determinano quattro angoli. Il vertice di questi angoli è il punto
d’intersezione delle rette, e i lati degli angoli sono le semirette che gli
delimitano.
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I
Due rette diverse si intersecano, e diciamo che sono secanti o incidenti,
se hanno un punto in comune. (Questo punto è unico, per ché?)
I
Due rette che no si intersecano si chiamano parallele.
I
Due retti che si intersecano dividono il piano dove si trovano in quattro
parti, e determinano quattro angoli. Il vertice di questi angoli è il punto
d’intersezione delle rette, e i lati degli angoli sono le semirette che gli
delimitano.
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I
L’angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo
spazio in angoli uguali.
Geometria
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I
L’angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo
spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si
chiamano perpendicolari.
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I
L’angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo
spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si
chiamano perpendicolari.
I
Un angolo più piccolo di un retto è un angolo acuto.
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I
L’angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo
spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si
chiamano perpendicolari.
I
Un angolo più piccolo di un retto è un angolo acuto.
I
Un angolo piatto è un caso limite: è l’angolo determinato per le due
semirette diverse in cui un punto divide una retta. (È uguale a “la somma
di due retti”.)
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I
L’angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo
spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si
chiamano perpendicolari.
I
Un angolo più piccolo di un retto è un angolo acuto.
I
Un angolo piatto è un caso limite: è l’angolo determinato per le due
semirette diverse in cui un punto divide una retta. (È uguale a “la somma
di due retti”.)
I
Un angolo più grande di un retto e più piccolo di un piatto è un angolo
ottuso.
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I
L’angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo
spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si
chiamano perpendicolari.
I
Un angolo più piccolo di un retto è un angolo acuto.
I
Un angolo piatto è un caso limite: è l’angolo determinato per le due
semirette diverse in cui un punto divide una retta. (È uguale a “la somma
di due retti”.)
I
Un angolo più grande di un retto e più piccolo di un piatto è un angolo
ottuso.
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I
Un triangolo è una figura piana determinata da tre punti non allineati, cioè
che non stanno sopra la stessa retta. Questi punti si chiamano i vertici
del triangolo; i tre segmenti determinati per questi punti si chiamano i lati
del triangolo e gli angoli determinati per questi segmenti (quelli che sono
più piccole di un piatto) si chiamano gli angoli del triangolo.
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I
Un triangolo è una figura piana determinata da tre punti non allineati, cioè
che non stanno sopra la stessa retta. Questi punti si chiamano i vertici
del triangolo; i tre segmenti determinati per questi punti si chiamano i lati
del triangolo e gli angoli determinati per questi segmenti (quelli che sono
più piccole di un piatto) si chiamano gli angoli del triangolo.
G
C
A
F
equilatero
B
H
D
E
I
isoscele
scaleno
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5 / 18
I
Un triangolo è una figura piana determinata da tre punti non allineati, cioè
che non stanno sopra la stessa retta. Questi punti si chiamano i vertici
del triangolo; i tre segmenti determinati per questi punti si chiamano i lati
del triangolo e gli angoli determinati per questi segmenti (quelli che sono
più piccole di un piatto) si chiamano gli angoli del triangolo.
G
C
A
C
D
E
F
G
A
equilatero
I
B
B
H
D
E
I
rettangolo
H
F
isoscele
scaleno
acutangolo
ottusangolo
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Costruzione di un triangolo equilatero
C
A
B
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Costruzione di un triangolo equilatero
C
A
No.
1
2
3
4
5
6
Name
Point A
Point B
Circle c
Circle d
Point C
Triangle poly1
B
Definition
Circle through A with center B
Circle through B with center A
Intersection point of c, d
Polygon A, B, C
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Bisettrice di un angolo
D
E
A
B
Geometria
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Bisettrice di un angolo
I
D
E
Prendiamo B in un lato
dell’angolo, disegniamo il cerchio
con centro A e che passa per B e
troviamo la intersezione D con
l’altro lato. Così, AB è uguale a
AD.
A
B
Geometria
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7 / 18
Bisettrice di un angolo
I
Prendiamo B in un lato
dell’angolo, disegniamo il cerchio
con centro A e che passa per B e
troviamo la intersezione D con
l’altro lato. Così, AB è uguale a
AD.
I
Costruiamo un triangolo
equilatero BED. Così, BE è
uguale a DE.
D
E
A
B
Geometria
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7 / 18
Bisettrice di un angolo
I
Prendiamo B in un lato
dell’angolo, disegniamo il cerchio
con centro A e che passa per B e
troviamo la intersezione D con
l’altro lato. Così, AB è uguale a
AD.
I
Costruiamo un triangolo
equilatero BED. Così, BE è
uguale a DE.
I
La bisettrice è la retta che passa
per A ed E.
D
E
A
B
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7 / 18
Bisettrice di un angolo
I
Prendiamo B in un lato
dell’angolo, disegniamo il cerchio
con centro A e che passa per B e
troviamo la intersezione D con
l’altro lato. Così, AB è uguale a
AD.
I
Costruiamo un triangolo
equilatero BED. Così, BE è
uguale a DE.
I
La bisettrice è la retta che passa
per A ed E.
D
E
A
B
Qua stiamo usando il seguente criterio di uguaglianza:
Se due triangoli hanno i suoi tre lati uguali, uno a uno, allora hanno i suoi tre
angoli uguali, uno a uno.
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7 / 18
I tre problemi classici
Geometria
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8 / 18
I tre problemi classici
I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si
chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la
riga e il compasso:
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9 / 18
I tre problemi classici
I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si
chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la
riga e il compasso:
I
La trisezione dell’angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un
qualsiasi angolo assegnato.
Geometria
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9 / 18
I tre problemi classici
I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si
chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la
riga e il compasso:
I
La trisezione dell’angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un
qualsiasi angolo assegnato.
I
La quadratura del cerchio: la costruzione di un quadrato equiesteso a
un cerchi assegnato.
Geometria
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9 / 18
I tre problemi classici
I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si
chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la
riga e il compasso:
I
La trisezione dell’angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un
qualsiasi angolo assegnato.
I
La quadratura del cerchio: la costruzione di un quadrato equiesteso a
un cerchi assegnato.
I
La duplicazione del cubo: la costruzione del lato di un cubo avente il
volume doppio di quello di un cubo con lato assegnato.
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9 / 18
I tre problemi classici
I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si
chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la
riga e il compasso:
I
La trisezione dell’angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un
qualsiasi angolo assegnato.
I
La quadratura del cerchio: la costruzione di un quadrato equiesteso a
un cerchi assegnato.
I
La duplicazione del cubo: la costruzione del lato di un cubo avente il
volume doppio di quello di un cubo con lato assegnato.
Questi problemi classici non hanno soluzione.
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9 / 18
I tre problemi classici
I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si
chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la
riga e il compasso:
I
La trisezione dell’angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un
qualsiasi angolo assegnato.
I
La quadratura del cerchio: la costruzione di un quadrato equiesteso a
un cerchi assegnato.
I
La duplicazione del cubo: la costruzione del lato di un cubo avente il
volume doppio di quello di un cubo con lato assegnato.
Questi problemi classici non hanno soluzione. Il gran trionfo della matematica
su questi tre problemi classici è stato, non il trovarne una soluzione, ma
riuscire a dimostrare che queste costruzioni (soltanto con riga e compasso)
non possono esistere.
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Proposizione 10
Dividere per la metà una retta terminata data.
Geometria
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10 / 18
Proposizione 10
Dividere per la metà una retta terminata data.
I
Sia AB la retta terminata data.
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10 / 18
Proposizione 10
Dividere per la metà una retta terminata data.
I
Sia AB la retta terminata data.
I
Si costruisca su essa il triangolo equilatero ABC,
Geometria
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10 / 18
Proposizione 10
Dividere per la metà una retta terminata data.
I
Sia AB la retta terminata data.
I
Si costruisca su essa il triangolo equilatero ABC,
\ sia diviso per metà dalla retta CD;
e l’angolo ACB
I
Geometria
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Proposizione 10
Dividere per la metà una retta terminata data.
I
Sia AB la retta terminata data.
I
I
Si costruisca su essa il triangolo equilatero ABC,
\ sia diviso per metà dalla retta CD;
e l’angolo ACB
I
dico che la retta AB è stata divisa per metà nel punto D.
Geometria
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10 / 18
Proposizione 10
Dividere per la metà una retta terminata data.
I
Sia AB la retta terminata data.
I
I
Si costruisca su essa il triangolo equilatero ABC,
\ sia diviso per metà dalla retta CD;
e l’angolo ACB
I
dico che la retta AB è stata divisa per metà nel punto D.
C
A
D
Geometria
B
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Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
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11 / 18
Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
I
Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare
sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare.
Geometria
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Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
I
I
Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare
sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare.
Si prenda su AC un punto a piacere D,
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Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
I
I
I
Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare
sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare.
Si prenda su AC un punto a piacere D,
si ponga CE uguale a CD,
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11 / 18
Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
I
I
I
I
Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare
sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare.
Si prenda su AC un punto a piacere D,
si ponga CE uguale a CD,
su DE si costruisca il triangolo equilatero F DE,
Geometria
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11 / 18
Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
I
I
I
I
I
Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare
sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare.
Si prenda su AC un punto a piacere D,
si ponga CE uguale a CD,
su DE si costruisca il triangolo equilatero F DE,
e si tracci la congiungente F C;
Geometria
Marzo 2013
11 / 18
Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
I
I
I
I
I
I
Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare
sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare.
Si prenda su AC un punto a piacere D,
si ponga CE uguale a CD,
su DE si costruisca il triangolo equilatero F DE,
e si tracci la congiungente F C;
dico che sulla retta data AB dal punto C dato su essa è stata innalzata la
linea retta perpendicolare F C.
Geometria
Marzo 2013
11 / 18
Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
I
I
I
I
I
I
Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare
sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare.
Si prenda su AC un punto a piacere D,
si ponga CE uguale a CD,
su DE si costruisca il triangolo equilatero F DE,
e si tracci la congiungente F C;
dico che sulla retta data AB dal punto C dato su essa è stata innalzata la
linea retta perpendicolare F C.
F
A
D
C
Geometria
E
B
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11 / 18
Proposizione 15
Se due rette si tagliano fra loro, formano gli angoli opposti al vertice tra loro
uguali.
γ
β
α
Geometria
Marzo 2013
12 / 18
Proposizione 15
Se due rette si tagliano fra loro, formano gli angoli opposti al vertice tra loro
uguali.
γ
β
α
α + γ = 2 retti = β + γ
Geometria
⇒
α = β.
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12 / 18
Proposizione 15
Se due rette si tagliano fra loro, formano gli angoli opposti al vertice tra loro
uguali.
γ
β
α
α + γ = 2 retti = β + γ
⇒
α = β.
Proposizione 20
In ogni triangolo la somma di due lati, comunque presi, è maggiore del lato
rimanente.
Geometria
Marzo 2013
12 / 18
Proposizione 26
Se due triangoli hanno due angoli uguali rispettivamente a due angoli e un
lato uguale a un lato, o quello [adiacente] agli angoli uguali o quello che è
opposto a uno degli angoli uguali, essi avranno anche i lati rimanenti uguali
rispettivamente ai lati rimanenti, e l’angolo rimanente uguale all’angolo
rimanente.
Geometria
Marzo 2013
13 / 18
Proposizione 26
Se due triangoli hanno due angoli uguali rispettivamente a due angoli e un
lato uguale a un lato, o quello [adiacente] agli angoli uguali o quello che è
opposto a uno degli angoli uguali, essi avranno anche i lati rimanenti uguali
rispettivamente ai lati rimanenti, e l’angolo rimanente uguale all’angolo
rimanente.
F
A
b
C
e
Se
α
d
γ
c
a
D
e
o c=f
β=δ
o
e
a = d,
allora i due triangoli sono
uguali.
β
f
B
b=e
α=γ
δ
E
Geometria
Marzo 2013
13 / 18
Proposizioni 27 e 29
Una retta che viene a cadere su altre due rette forma gli angoli alterni uguali
fra loro se e soltanto se le due rette sono fra loro parallele.
r
α
s
α=β
⇔
r k s.
β
Geometria
Marzo 2013
14 / 18
Proposizione 32
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla
somma dei due angoli interni e opposti, e la somma dei tre angoli interni del
triangolo è uguale a due retti.
A
α
ζ
γ
ε
B
β
C
δ
Geometria
Marzo 2013
15 / 18
Proposizione 32
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla
somma dei due angoli interni e opposti, e la somma dei tre angoli interni del
triangolo è uguale a due retti.
A
A
γ
α
β0
0
α
ζ
γ
ε
B
β
C
B
γ
β
C
δ
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Marzo 2013
15 / 18
Proposizione 32
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla
somma dei due angoli interni e opposti, e la somma dei tre angoli interni del
triangolo è uguale a due retti.
A
A
γ
α
β0
0
α
ζ
γ
ε
B
I
β
C
B
γ
β
C
δ
Questa proposizione non si può dimostrare senza usare il postulato V
(delle parallele).
Geometria
Marzo 2013
15 / 18
Un parallelogrammo e un quadrilatero con i lati opposti paralleli fra loro.
Geometria
Marzo 2013
16 / 18
Un parallelogrammo e un quadrilatero con i lati opposti paralleli fra loro.
Proposizione 34
I parallelogrammi hanno lati e angoli opposti uguali fra loro, e sono divisi dalla
diagonale in due parti uguali
Geometria
Marzo 2013
16 / 18
Un parallelogrammo e un quadrilatero con i lati opposti paralleli fra loro.
Proposizione 34
I parallelogrammi hanno lati e angoli opposti uguali fra loro, e sono divisi dalla
diagonale in due parti uguali
Proposizione 35
Parallelogrammi che siano [posti] sulla stessa base e fra le stesse parallele
sono uguali fra loro [equiestesi].
A
B
D
E
F
C
Geometria
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16 / 18
Un parallelogrammo e un quadrilatero con i lati opposti paralleli fra loro.
Proposizione 34
I parallelogrammi hanno lati e angoli opposti uguali fra loro, e sono divisi dalla
diagonale in due parti uguali
Proposizione 35
Parallelogrammi che siano [posti] sulla stessa base e fra le stesse parallele
sono uguali fra loro [equiestesi].
A
B
D
E
C
F
A
B
Geometria
D
E
F
C
Marzo 2013
16 / 18
Proposizione 37
Triangoli che siano posti sulla stessa base e fra le stesse parallele sono uguali
fra loro [equiestesi].
C
D
B
A
Geometria
Marzo 2013
17 / 18
Proposizione 37
Triangoli che siano posti sulla stessa base e fra le stesse parallele sono uguali
fra loro [equiestesi].
C
D
B
A
I
Infatti, questa proposizione ci permette dimostrare che l’area del triangolo
è uguale alla metà della base moltiplicato per l’alteza.
Geometria
Marzo 2013
17 / 18
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
Geometria
Marzo 2013
18 / 18
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
I
G
\ e BAC
\ sono
D, A e C sono allineati, perché BAD
retti. Quindi, DC e parallela a EB.
F
D
A
E
B
K
H
J
C
I
Geometria
Marzo 2013
18 / 18
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
G
F
I
\ e BAC
\ sono
D, A e C sono allineati, perché BAD
retti. Quindi, DC e parallela a EB.
I
Quindi i triangoli BEA e BEC sono equiestesi.
D
A
E
B
K
H
J
C
I
Geometria
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18 / 18
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
I
G
F
D
A
E
B
K
H
J
\ e BAC
\ sono
D, A e C sono allineati, perché BAD
retti. Quindi, DC e parallela a EB.
I
Quindi i triangoli BEA e BEC sono equiestesi.
I
I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è
uguale a BA, BC è uguale a BH, e
\ = 1 retto + CBA
\ = CBA
\ + 1 retto = HBA.
\
CBE
C
I
Geometria
Marzo 2013
18 / 18
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
I
G
F
D
I
Quindi i triangoli BEA e BEC sono equiestesi.
I
I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è
uguale a BA, BC è uguale a BH, e
\ = 1 retto + CBA
\ = CBA
\ + 1 retto = HBA.
\
CBE
I
AJ è perpendicolare a HI, e quindi parallela a
BH.
A
E
B
K
H
J
C
\ e BAC
\ sono
D, A e C sono allineati, perché BAD
retti. Quindi, DC e parallela a EB.
I
Geometria
Marzo 2013
18 / 18
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
I
G
F
D
I
Quindi i triangoli BEA e BEC sono equiestesi.
I
I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è
uguale a BA, BC è uguale a BH, e
\ = 1 retto + CBA
\ = CBA
\ + 1 retto = HBA.
\
CBE
I
AJ è perpendicolare a HI, e quindi parallela a
BH.
I
Quindi i triangoli BAH e BKH sono equiestesi.
A
E
B
H
K
J
\ e BAC
\ sono
D, A e C sono allineati, perché BAD
retti. Quindi, DC e parallela a EB.
C
I
Geometria
Marzo 2013
18 / 18
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
I
G
F
D
I
Quindi i triangoli BEA e BEC sono equiestesi.
I
I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è
uguale a BA, BC è uguale a BH, e
\ = 1 retto + CBA
\ = CBA
\ + 1 retto = HBA.
\
CBE
I
AJ è perpendicolare a HI, e quindi parallela a
BH.
A
E
B
H
K
J
\ e BAC
\ sono
D, A e C sono allineati, perché BAD
retti. Quindi, DC e parallela a EB.
C
I
Quindi i triangoli BAH e BKH sono equiestesi.
I
Quindi i triangoli BEA, BEC, BAH, BKH sono
tutti equiestesi.
I
Geometria
Marzo 2013
18 / 18
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
I
G
F
D
I
Quindi i triangoli BEA e BEC sono equiestesi.
I
I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è
uguale a BA, BC è uguale a BH, e
\ = 1 retto + CBA
\ = CBA
\ + 1 retto = HBA.
\
CBE
I
AJ è perpendicolare a HI, e quindi parallela a
BH.
A
E
B
H
K
J
C
I
\ e BAC
\ sono
D, A e C sono allineati, perché BAD
retti. Quindi, DC e parallela a EB.
I
Quindi i triangoli BAH e BKH sono equiestesi.
I
Quindi i triangoli BEA, BEC, BAH, BKH sono
tutti equiestesi.
I
E quindi i quadrato ABED, che è il doppio di
BEA, e uguale al rettangolo BKJH, che è il
doppio di BKH.
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