programma DEFINITIVO con dimostrazioni

M. CALANCHI, C. CAVATERRA A.A. 2013-14
PROGRAMMA DETTAGLIATO DI ANALISI MATEMATICA 1
CON INDICAZIONE DELLE DIMOSTRAZIONI RICHIESTE
ALLA PROVA ORALE (*)
IL CAMPO REALE
Rappresentazione decimale dei numeri razionali. Q e sue
proprietà. Numeri reali e ordinamento. Teorema di densità di Q
e R\Q in R (*). Insiemi limitati superiormente/inferiormente.
Maggioranti e minoranti. Sottoinsiemi limitati e illimitati di R.
Maggioranti, minoranti, estremo superiore/inferiore, massimo/
minimo e loro proprietà (*). Intervalli limitati e illimitati di R.
Teorema di completezza di R (*). Partizioni di Q e di R.
Teorema dell'elemento separatore. Operazioni tra numeri reali.
R è un campo archimedeo. R è un campo ordinato. Radice
ennesima di un numero reale non negativo.
FUNZIONI
Definizione di funzione. Dominio, immagine e controimmagine.
Restrizione. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzione
inversa e suo grafico. Composizione di funzioni.
CAMPO COMPLESSO
Operazioni di somma e prodotto, elementi neutri, opposto e
reciproco. R è isomorfo a un sottocampo di C. Forma algebrica e
forma trigonometrica dei numeri complessi. Coniugato e modulo
di un numero complesso e loro proprietà (*). Operazioni in
forma trigonometrica (*). Forma esponenziale dei numeri
complessi. Formula di De Moivre (*). C è campo non ordinato (*).
Radici n-esime di un numero complesso (*). Teorema
fondamentale dell'algebra. Corollario del teorema
fondamentale dell'algebra per polinomi a coefficienti reali.
CARDINALITA’
Insiemi equipotenti, insiemi finiti, insiemi infiniti. Potenza del
numerabile: Z è numerabile (*), unioni numerabili di insiemi
numerabili è numerabile (*), insiemi al più numerabili. Prodotto
cartesiano di insiemi numerabili è numerabile (*). Q è
numerabile (*). Potenza del continuo. Teorema di Cantor: R non
è numerabile (*). Caratterizzazione degli insiemi infiniti (*).
L’insieme delle parti di N ha la Potenza del continuo.
SPAZI METRICI
R^n come spazio euclideo. Norma in R^n. Elementi di topologia:
intorni sferici (o bolle), punti di accumulazione, punti isolati,
punti esterni, punti di frontiera, punti interni. Insieme aperti e
insiemi chiusi. Caratterizzazione dei punti di accumulazione (*).
Caratterizzazione degli insiemi chiusi (*). Unioni e intersezioni
di aperti e di chiusi (*). Insieme derivato. Chiusura di un
insieme. Diametro di un insieme, coincidenza con il diametro
della chiusura (*). Insiemi compatti: condizioni necessarie per
la compattezza (*) e sufficienti. Caratterizzazione degli insiemi
compatti. Sottoinsiemi chiusi di compatti sono compatti (*).
Teorema dei compatti inscatolati (*). Teorema di Heine-Borel.
Teorema di Bolzano-Weierstrass (*). R esteso come spazio
metrico. Cenni alle topologie equivalenti.
SUCCESSIONI
Successioni in spazi metrici. Definizione di successione
convergente. Proprietà di Hausdorff. Unicità del limite (*).
Successioni limtate. Limitatezza delle successioni convergenti
(*). Sottosuccessioni e punti di accumulazione (*).
Successioni in R. Teorema della permanenza del segno . Limite
della somma, prodotto, quoziente per successioni convergenti.
Teorema del confronto per successioni (*). Primi limiti notevoli
(sen x_n, cos x_n, sen x_n/ x_n con x_n infinitesima).
Definizione di successione divergente, oscillante in R.
Definizione di intorni e convergenza in R esteso.
Limiti di successioni in R esteso. Definizione di successioni
convergenti per eccesso/difetto in R. Forme di indecisione.
Successioni monotone. Teorema fondamentale per successioni
monotone (*). Il numero e. Criterio del rapporto per successioni
(*). Confronto tra infiniti ed infinitesimi, relazioni di asintotico,
e “o piccolo”. Classe limite di successioni reali e sue proprietà.
Definizione e proprietà di limsup e liminf. Successioni
di Cauchy in spazi metrici. Spazi metrici completi. Completezza
degli spazi metrici compatti (*). Completezza di R^n.
SERIE NUMERICHE
Definizione di serie numerica, convergenza di serie. Esempi:
serie di Mengoli, geometrica e armonica. Condizione di Cauchy
per le serie (*). Condizione necessaria per convergenza delle
serie (*). Convergenza assoluta. Serie a termini reali di segno
costante. Criteri del confronto e confronto asintotico per serie
a termini positivi (*). Criterio del rapporto e della radice (*)
per serie a termini positivi. Teorema di condensazione.
Convergenza delle serie armoniche generalizzate (*). Serie a
segni alterni: criterio di Leibnitz (*). Convergenza
incondizionata. Somma di serie. Proprietà associativa e
commutativa per le serie. Prodotto alla Cauchy. Teorema
di Riemann.
LIMITI DI FUNZIONI E CONTINUITA’
Limiti di funzioni funzioni tra spazi metrici. Funzioni reali di
variabile reale: definizione di limite nei vari contesti possibili.
Definizione di asintoto verticale e orizzontale. Limiti di
funzioni e limiti successionali (*). Teorema di unicità del limite,
della permanenza del segno e del confronto. Calcolo dei limiti
di funzioni: limiti e operazioni algebriche, limiti e composizione.
Continuità puntuale e globale di funzioni tra spazi metrici.
Caratterizzazione della continuità globale mediante
la controimmagine di aperti o chiusi (*). Continuità delle
funzioni composte. Continuità e compattezza (*). Teorema di
Weiestrass (*). Continuità e connessione (*). Continuità di
funzioni reali di variabile reale. Teorema di Darboux e teorema
degli zeri (*). Classificazione dei punti di discontinuità.
Funzioni monotone. Funzioni monotone ed esistenza dei limiti
(*). Discontinuità delle funzioni monotone (*). Continuità della
funzione inversa di una funzione continua invertibile su un
intervallo. Uniforme continuità: definizione, teorema di HeineCantor (*). Condizioni sufficienti per l’uniforme continuità, la
condizione di Lipschitz (*)
CALCOLO DIFFERENZIALE IN UNA VARIABILE
Definizione di derivabilità in un punto. Retta tangente.
Continuità delle funzioni derivabili (*). Derivate delle funzioni
elementari. Regole di derivazione. Punti di non derivabilità:
punti a tangente verticale, punti angolosi, punti cuspidali.
Derivata della funzione inversa (*) e della funzione composta
(*). Massimi e minimi relativi; teorema di Fermat (*). Teoremi
di Rolle (*), Cauchy (*), Lagrange (*). Conseguenze del teorema
di Lagrange: funzioni con derivata nulla su intervalli (*), segno
della derivata e monotonia (*). Criterio di derivabilità mediante
il limite della derivata (*). Legame tra limitatezza derivata e
uniforme continuità (*). Discontinuità della derivata (*).
Teorema di De L’Hospital (* caso [0/0]). Derivate di ordine
superiore. Formula di Taylor con resto di Peano (*) e di
Lagrange. Unicità dello sviluppo (*). Sviluppi in serie di Taylor
per funzioni elementari. Legame tra formula di Taylor e forma
esponenziale dei numeri complessi. Convessità, concavità, flessi:
segno della derivata seconda e convessità (*). Ulteriore
condizione necessaria e sufficiente per la convessità
(confronto con retta tangente) (*). Flesso: definizione;
condizione necessaria (*). Derivate di ordine superiore al primo
per classificare i punti interni al dominio (condizioni sufficienti
per esistenza di flessi o estremanti) (*). Regolarità delle
funzioni convesse: continuità. Derivabilità destra e sinistra e
infinità numerabile di punti angolosi.