Rivediamo alcuni argomenti semplici di

Il sapere autentico
LA MATEMATICA E’ FACILE
IN QUESTO LAVORO NON CI SARANNO MAI DIMOSTRAZIONI ANALITICHE
Per studiare con profitto ogni disciplina è necessario considerare
diversi elementi e tra questi il rispetto verso l’autore del libro, che
si sta leggendo, anzi l’amore verso l’opera, che ha richiesto tanto
lavoro per la sua realizzazione; poi la necessità di leggere con
calma ed attenzione la sua introduzione, che rappresenta, in quel
momento, l’unico modo per avvicinarsi all’autore, per capire
qualcosa di lui e delle sue intenzioni o raccomandazioni in
riferimento all’opera scritta, per stabilire un rapporto di fiducia
indispensabile, di amore, quell’amore, che ci rende più intelligenti
e che ci porta ad una lettura del testo attenta, serena e veramente
produttiva, che ci fa apprezzare sia la funzione implicita del libro,
che quella formativa, per la quale l’opera assume il suo maggior
valore. Essa non espone soltanto una teoria, fa molto di più: fa sì
che il lettore possa assimilare il sapere, la cultura viva dello stesso
autore, per trasfigurarsi nella stessa esperienza, ricevendone alla
fine un compenso immenso, che inferisce quella sensazione di
grande e serena gioia, imprescindibile per ogni essere umano che
voglia sottrarsi, per dirla con Hegel, alla più bassa scuola della
saggezza o del relativismo. E’ chiaro che quanto anzidetto non
può non considerare il relativismo attualmente imperante ed il
valore relativo dei libri, attualmente pubblicati, come d’altronde
qualsiasi altra opera che ci arriva con qualsiasi mezzo di
comunicazione.
Per la MATEMATICA verranno pubblicati degli appunti, che
faranno riferimento al seguente percorso:
1
Capire bene in concetto di rapporto impostando la sua spiegazione
in modo tale che lo si interpreti sempre nel modo seguente: il
valore del numeratore corrispondente al valore uno, unitario, del
denominatore. E’ indispensabile che, sotto questa forma del
rapporto, sia riportato sia il concetto di proporzione che di
similitudine. E’ indispensabile fare molti esempi, soprattutto
strani, prima di affrontare qualsiasi argomento successivo.
Si dovranno considerare anche diversi esempi di rapporti
importanti iniziando dai più semplici: costo e numero di
caramelle, determinare il costo di una caramella; fare poi l’inverso
dello stesso rapporto, spiegando il risultato. Spiegare in tal senso
anche il concetto di pressione e di carico unitario.
Spiegare il concetto di similitudine tra triangoli simili, soprattutto
fra triangoli rettangoli simili, spostando in modo irreversibile il
concetto di proporzionalità a quello di rapporto; in modo da poter
parlare in futuro solo di rapporto.
Spiegare graficamente le funzioni trigonometriche col concetto di
rapporto.
Spiegare la derivata di una curva (funzione) col concetto di
limite, il tutto visto solo in modo grafico, sempre come rapporto,
come inclinazione di una retta. Considerare nelle esercitazioni
solo esempi pratici, quali pendenze di strade, andamento dei
prezzi della benzina in un certo periodo, con relativo studio
dell’andamento della curva relativa
Integrazione grafica partendo sempre da metodi grafici
approssimati per il calcolo di aree, spiegando sui grafici il
concetto di limite; Proporre diverse esercitazioni sempre con
argomenti sul reale.
2
Grandezze vettoriali, quali sono e come si esprimono
graficamente, considerando anche le matrici, nella parte inerente
all’argomento trattato.
Per impedirci di trattare argomenti solo teorici ed evitare nel
lettore qualsiasi convinzione errata sul loro utilizzo, faremo
intervenire una specie di congegno per spostare gli scenari( stage
machinery), che chiameremo brevemente STANERY; la sua
comparsa porterà improvvisamente ad un cambiamento di
argomento, che verrà spiegato non interamente e nè in profondità,
ma solo per la parte utile, in quel momento, alla prosecuzione
della spiegazione dell’argomento che si sta trattando.
Si fa notare inoltre che negli esempi utilizzati figureranno solo
grandezze comunque utili per una formazione culturale non
settaria, pertanto è necessario cercare di ricordare anche i loro
concetti.
TUTTO CIO’ CHE SEGUE NON HA AVUTO ALCUNA
REVISIONE. VIENE PUBBLICATA PER SPIEGARE IL
METODO
RAPPORTO TRA DUE GRANDEZZE
Rivediamo alcuni argomenti semplici di Matematica, già studiati
alle elementari, per cercare una migliore comprensione di essi dal
punto di vista pratico, per porre il lettore in condizioni di
affrontare i futuri argomenti oggetto di studio di qualsiasi tipo,
con maggiore autonomia didattica, migliorando sensibilmente le
sue attitudini all’apprendimento.
Si inizia dal concetto di rapporto tra due grandezze, cioè dalla
divisione tra due numeri, eventualmente seguiti per convenzione
3
dalle unità di misura. Consideriamo l’esempio di comprare dieci
caramelle e di pagarle cinquanta lire. In questo caso 10, non ha
unità di misura, è solo un numero, che ha comunque un suo
significato, è il numero di caramelle, mentre cinquanta ha l’unità
di misura, in quanto è un costo, che per comodità usiamo le lire,
quindi 50£; useremo l’euro quando avremo spiegato i centesimi.
Abbiamo:
numero di caramelle = 10;
costo di 10 caramelle = 50£
50/10 = 5
Il significato di 5, penso sia chiaro a tutti: rappresenta il costo di
una caramella; se si considera invece il rapporto inverso
10/50 = 0,2
il significato del risultato 0,2 non è più immediato. L’allievo con
calma provi a dare la sua interpretazione e possibilmente
giustificando le sue affermazioni, discutendone possibilmente con
qualcuno. Alla fine si dovrebbe cercare di stabilire una regola con
parole semplici, che fissi, una volta per tutte, un metodo da
applicare in modo automatico, che dovrebbe essere all’incirca del
tipo seguente:
Il risultato di un rapporto prende significato dalla conoscenza del
numeratore o in particolare dalla sua unità di misura, nel nostro
primo caso è un costo in lire ed il risultato 5 è un costo in lire; la
differenza tra 50 e 5 è dovuta al fatto che 50 rappresenta il costo
4
di dieci caramelle, mentre 5 è il
costo di una caramella e questa
differenza è dovuta al rapporto che
ha diviso cinquanta in un numero di
volte pari a quello delle caramelle,
cioè ogni quantità di lire in cui
cinquanta
viene
suddiviso,
corrisponde ad una caramella:
abbiamo quindi il costo di una
caramella. In definitiva possiamo
dire che :
STANERY
0,2 è un numero, che può essere scritto
0,2
1
,
che moltiplicando per dieci numeratore e
denominatore , non cambia il suo valore;
infatti diventando
2
10
, conserva sempre il
valore di 0,2, solo che diventa più
comprensibile il significato di rapporto, che
invece di dire che divido l’ intero in decimi,
dico che divido la caramella in dieci parti, e
se ne prendono due, che è la stessa cosa.
Questo significa, considerando la caramella,
come il rettangolo in figura, che comunque
per considerare la parte corrispondente a
0,2, devo dividere il segmento in dieci parti e
prenderne due parti, come si è fatto nella
figura seguente
Il risultato di un rapporto prende
significato dalla conoscenza del
numeratore, in particolare dalla sua unità di misura e
corrisponde al valore del numeratore quando il denominatore è
uno, o al valore unitario del denominatore.
Nel secondo esempio il numeratore è un numero di caramelle, e
quindi 0,2 è un numero 1di caramelle; in questo caso è il numero
di caramelle che ho comprato con una lira, perché al
denominatore c’è la somma spesa in lire per comprare dieci
caramelle.
Un’altra grandezza utile può essere la densità, indicata con ρ,
definita dal rapporto tra la massa di un corpo, m2, espressa per
esempio in grammi, ed il suo volume corrispondente in
centimetri cubici:
1
2
il significato di un numero minore di uno. INTERVENTO DI STANERY
STANERY :spiegare il significato di massa col peso che cambia
5
𝑚(𝑔)
ρ = 𝑉(𝑐𝑚³)
In questo caso possiamo dire che la densità ρ è la massa in
grammi di un volume pari ad un centimetro cubo, o più
brevemente la massa di un centimetro cubo. In particolare
questo ci permette di conoscere non solo la densità di un corpo,
di fare un confronto con altri corpi più o meno densi, ma anche,
sapendo che la densità è la massa di un centimetro cubo, di
calcolare subito la massa di qualsiasi volume; il volume infatti non
è altro che il numero dei centimetri cubici, che moltiplicati per la
massa di un centimetro cubo si ha la massa totale:
m=ρV
Il lettore non abbia paura se qualche incertezza rimane, perché di
esempi ne faremo diversi, in modo tale che il concetto di
rapporto alla fine sarà pienamente assimilato.
L’inverso del precedente rapporto, che ora, prima di continuare
la lettura bisogna spiegare, facendo contemporaneamente
qualche calcolo numerico, è altrettanto interessante perché si
incontra una grandezza, il volume specifico, molto utile nello
studio di gas e vapori, fluidi che, quando sono liquidi, occupano
un volume notevolmente più piccolo. FARE un esempio del vol.
acqua e del suo vapore
Un altro rapporto importante, anche per la vita di tutti i giorni è
quello che definisce la pressione, p, su una superficie. Essa è
definita dal rapporto tra la forza, che sulla superficie deve essere
6
costante3, diretta normalmente alla superficie, Fⁿ, e la misura
della superficie stessa S.
DISEGNO di una forza normale ad una superficie
Si ha:
p = Fⁿ / S
La pressione può essere dovuta ad un gas contenuto in un
recipiente chiuso o ad un liquido in un recipiente aperto
superiormente, anche se ci sono molti altri esempi diversi, che
verranno considerati singolarmente in un secondo tempo.
Nel caso del gas, le particelle che compongono il fluido
considerato si suppongono senza peso e pertanto la pressione è
dovuta solo all’urto delle particelle sulla parete del recipiente, è
quindi costane sulla sua parete e per misurarla o si usa uno
strumento, che con un tubo, è messo in comunicazione,
attraverso un foro, con l’interno del recipiente o questo presenta
una superficie mobile avente, per comodità di calcolo, la
direzione del moto verticale, cioè un pistone sul quale si dispone
un peso; in quest’ultimo caso la pressione sarà data da un
rapporto con al numeratore la somma del peso del pistone, Fp, e
del peso aggiunto, Pp, ed al denominatore, il valore della
superficie del pistone, normale alla direzione verticale del
movimento.
Nel caso di un liquido il discorso cambia completamene in quanto
le particelle di liquido sono molto vicine e dal peso non più
3
L’esempio della forza non costante sarà considerato successivamente
7
trascurabile. In un recipiente pieno di liquido azzurro, aperto
superiormente, come per esempio nella figura seguente
𝑝𝑎
h
ρgh+𝑝𝑎
consideriamo la pressione atmosferica agente sulla parte
superiore 𝑝𝑎 , orizzontale del pelo libero del liquido; sul fondo del
recipiente agirà la pressione atmosferica 𝑝𝑎 con in più la
pressione dovuta al peso del liquido 𝑝𝑙 . Consideriamo la
pressione dovuta al liquido; essa è ….
𝑝𝑙 = 𝑃𝑙 / S
La pressione è quindi il peso del liquido agente sull’unità di
superficie. In questo caso conoscendo il peso specifico ρg
possiamo esprimere la pressione in un forma molto più
espressiva:
Poiché il peso del liquido, come sappiamo è
𝑃𝑙 = ρgV = ρgSh
8
si ha che sostituendo il peso di liquido nel rapporto che definisce
la pressione sul fondo de recipiente si ha che
𝑝𝑙 = ρgSh / S = ρgh = γh BISOGNA CHIARIRE γ
La pressione, poiché S compare sia al numeratore sia al
denominatore, si ha semplificazione della superficie nel rapporto;
possiamo quindi affermare che la pressione dovuta al liquido non
dipende in effetti da tutto il volume d’acqua soprastante la
superficie ma solo dalla profondità; ciò significa che la pressione
è la stessa se il contenitore diventa un semplice tubo d’acqua. A
questo punto è necessario ripetere che la pressione è sempre il
peso, perpendicolare alla superficie, sulla superficie stessa quindi
per esempio i chilogrammi peso su un centimetro quadrato,
anche se il tubo ha una sezione di un millimetro quadrato. Quindi
ogni volta che parlo dei chilogrammi peso che agiscono sull’unità
du superficie, per avere una visione unitaria devo fare riferimento
ad un’unica unità di superficie. Diminuendo la profondità la
pressione diminuisce in proporzione. A questo punto conviene
chiarire che la definizione di pressione permane anche se si parla
di pressione in un punto; in quel punto la pressione è sempre la
forza normale sull’unità di superficie, dove l’unità di superficie,
per esempio il centimetro quadro, passa per il punto, ed è
normale alla forza. Inoltre sull’acqua agisce la pressione
atmosferica e quindi la pressione totale sul fondo del recipiente è
la somma della pressione dovuta all’acqua più quella dovuta
all’aria atmosferica:
pt = p + Pa
9
Comincia qui la proporzione
Anche nelle proporzioni è fondamentale il concetto di rapporto;
per esempio se per fare la torta margherita si conosce che per
400g di farina ci vogliono 300 g di zucchero mentre si vuole
preparare una torta più con 250g di farina e non si conosce la
quantità di zucchero, che diventa l’incognita x. Per calcolarla
bisogna rispettare la proporzione conosciuta tra 400 e 300; ma
cos’è la proporzione se non il rapporto
400
300
= 1,33
che deve conservare lo stesso valore, lo stesso rapporto. Basterà
quindi uguagliare i due rapporti:
400
250
=
300
𝑥
col seguente ragionamento, avendo cura di usare dopo
l’uguaglianza la stessa proporzionalità: prima la farina e poi lo
zucchero, altrimenti la proporzione cambia completamente
significato.
DETERMINAZIONE DI UNA INCOGNITA
nell’uguaglianza è possibile moltiplicare o dividere tutti e due i
membri per uno stesso numero in modo tale che essa,
l’uguaglianza, si conservi; posso quindi moltiplicare primo e
secondo membro per x, per 250 e dividere per 400 o meglio, che
10
è la stessa cosa, moltiplicare primo e secondo membro per
300
400
𝑥
in questo modo:
400
300
𝑥
300
=
400
250 300
𝑥 400
𝑥
Semplificando i rapporti che sono moltiplicati e divisi per lo stesso
numero, si cancellano con un segno si ottiene
300
𝑥=
250
400
Tale risultato si può ottenere molto più semplicemente, è come
se facessimo le stesse operazioni, seguendo queste regole:
1) devo ricavare l’incognita x, quindi devo scrivere” x = “ quindi
devo portare l’incognita al numeratore, dovrei quindi
moltiplicare primo e secondo membro per x, sempre perché
l’uguaglianza si conservi, ma per fare questo e poi
semplificare basta solo prendere il numero e spostarlo
all’altro membro, ricordando che se sta al numeratore lo
devo mettere al denominatore e se sta al numeratore, va al
denominatore; facendo attenzione al fatto che il numero
che si sposta, se al numeratore o denominatore c’è una
somma, bisogna mettere le parentesi e moltiplicare il
numero per tutta la somma:
2) faccio lo stesso lavoro lo per lasciare la x da sola e portare
tutte le grandezze all’altro membro.
Consideriamo il seguente esempio:
x
400
300
= 250
11
𝑥
250
=
300
400
𝑥=
300
400
250
Si fa notare che è la stessa cosa se il numero o la x stanno davanti
al segno di frazione o sopra ad esso.
Un altro esempio
(2+𝑎)25
5
2+𝑎
5
=
𝑥
25
= x che è la stessa cosa che x =
25(2+𝑎)
5
; il 25 ed il 5 si
possono semplificare dividendoli entrambi per 5 ed ottenendo 5
al numeratore ed 1 al denominatore(si faccia attenzione non 0)
e quindi x = 5(2+a) ).
Possiamo quindi considerare:
300
x = 250 * 400
E’ importante capire il significato del rapporto 300/400,uguale a
0,75, in modo tale che non si debba più scrivere la proporzione
con i relativi calcoli, ma direttamente la relazione precedente. Il
rapporto anzidetto definisce la quantità in grammi di zucchero,
che devo usare nel dolce, per ogni grammo di farina;
moltiplicando per il numero di grammi di farina, che è il suo peso,
250g, ottengo subito la quantità necessaria di zucchero, per
preparare la quantità giusta di torta. Ogni volta che devo
preparare quel dolce, basterà non cercare di ricordare 0,75, il
numero giusto da moltiplicare, ma il suo concetto, che è il
quantitativo di zucchero per grammo di farina. Poi a seconda del
12
peso complessivo della torta, varierà la quantità di farina e quindi
di zucchero; è necessario fare questi ragionamenti non solo per
ricordare, ma anche per esercitarsi la mente al ragionamento
logico.
Un altro esempio può essere la preparazione di una bevanda, che
verrà scritta a questo punto successivamente.
ANGOLI UGUALI: Due angoli sono uguali quando sono formati da
semirette parallele fra loro o alle volte anche coincidenti come
nell’esempio seguente:
MISURA DELL’ANGOLO
L’angolo si può misurare in gradi o in
radianti. Il grado corrisponde alla
trecentosessantesima parte di un angolo
giro, cioè di quattro angoli retti. Per quanto
riguarda il radiante, si considera una
circonferenza di raggio unitario, in modo che
la stessa, cioè il perimetro del cerchio, è pari
a 2π, che in radianti corrisponde a 360ͧ⁰; in
pratica è come se misuriamo l’angolo con un
arco di circonferenza particolare, quella di
raggio unitario. Per esempio 30⁰
corrispondono a, sono 1/3 di 90, 1/3 di π/2 e
cioè 0,52 rad . Questo è stato possibile
perché da ora in poi quando parleremo di
angoli espressi in radianti faremo sempre
riferimento alla circonferenza di raggio
unitario.
α
α
Triangoli rettangoli simili
13
A’
A
B
C B’
In un triangolo qualsiasi la somma degli angoli interni è di 180⁰,
quindi in un triangolo rettangolo, oltre all’angolo retto, la somma
dei due angoli acuti deve essere di 90⁰. Affinché due triangoli
rettangoli siano quindi simili è sufficiente che abbiano uno dei
due angoli acuti uguali, perché necessariamente avranno gli altri
due uguali. I lati corrispondenti di due triangoli simili, sono i lati
opposti ad angoli uguali, come si evidenzia dalle seguenti figure
dove i lati corrispondenti, opposti ad angoli uguali, hanno lo
stesso colore come gli angoli opposti.
14
C’
A
S
h = 10 cm
x
T
U
O
b
=1cm
u
d
3 cm
e
b=5 cm
v
e
st
a
r nel senso che se uno
I triangoli simili hanno i lati in proporzione,
e
dei tre lati è il doppio di un altro lato di un altro triangolo ad esso
s
simile, anche gli altri due lati sono il doppio dei lati corrispondenti
o
come da figure seguenti: Per i lati corrispondenti
di triangoli simili
tt
è possibile scrivere il loro legame dovuto oalla proporzionalità, che
si spiegherà quando studieremo l’equazione
di una retta vista
U
H
C
graficamente: conoscendo il valore del rapporto tra due lati e la
misura di un terzo lato, è possibile ricavare la misura del suo lato
corrispondente.
Consideriamo i triangoli rettangoli OAH e OSC, che avendo gli
angoli uguali sono simili; essendo simili, i lati corrispondenti sono
in proporzione come nella seguente relazione:
15
AH : HO = SC : CO
che si può scrivere:
𝐴𝐻
𝑥
=
𝐻𝑂
𝐶𝑂
per ricavare x è necessario portare CO all’altro membro, e poiché
sta al denominatore si porta al numeratore o ciò che è lo stesso
vicino al segno di frazione:
𝐴𝐻
𝐻𝑂
∗ 𝐶𝑂 = x
invece di cambiare di membro la x ed il prodotto, continuo
utilizzando la relazione già scritta:
𝐴𝐻
𝐻𝑂
∗ 𝐶𝑂 = x = 3*
10
5
= 3*2
2 è il risultato del rapporto che ha un significato, come sappiamo
molto importante, in quanto mette in relazione l’altezza AH del
triangolo con la sua base HO, anzi seguendo le istruzioni
precedenti, dovrebbe corrispondere all’altezza di un triangolo
che ha la base pari ad un centimetro; ma quale triangolo?
16
A
S
h = 10 cm
x
T
U
O
b
=1cm
d u
3 cm
e
b=5 cm
v
e
Riprendiamo la figura precedente e suddividiamo
la base in unità
st per il punto U della
di un centimetro e tracciamo la parallela
figura. Dalla figura possiamo vedere che ail triangolino OTU ha gli
r
angoli interni uguali a quelli del triangolo
OAH; pertanto i due
e
triangoli sono simili ed i lati in proporzione e quindi il lato TU è il
s
corrispondente di AH, anzi poiché ho opreso la base OU un
centimetro, ho diviso la base in cinque
tt parti e quindi devo
dividere l’altezza in cinque patri per determinare
l’altezza TU del
o
U in proporzione, ed in
triangolino, perché sappiamo che i lati sono
H
C
particolare nel nostro caso abbiamo visto che il triangolo grande
OAH ha i lati cinque volte i lati più piccoli; In conclusione
possiamo dire, avendo volutamente costruire il triangolo piccolo
in quel modo, con la base unitaria, che il rapporto 10/ 5 mi dà il
valore del numeratore, l’altezza del triangolo(simile), quando il
denominatore, la base del triangolino, è uguale a uno.
17
Questa dimostrazione molto semplice, ma che deve essere
capita, si potrebbe fare semplicemente scrivendo la proporzione
sui due triangoli:
AH : OH = TU : OU
e quindi constatare che TU che è 2cm è l’altezza con la base uno.
Tutto questo discorso fatto per il calcolo di SC, da ora in poi si
dovrà evitare, determinando col rapporto l’altezza del triangolino
unitario per moltiplicarlo per il numero di volte in cui si è divisa in
unità la base del triangolo grande, cioè cinque volte che coincide
col numero che definisce la lunghezza della base.
ALTRO ESERCIZIO come il precedente
Il discorso del rapporto si ripeterà ogni volta che si incontra non
solo il semplice rapporto, ma anche nelle formule di ogni
disciplina, contenenti una serie di prodotti al numeratore ed al
denominatore; in questo caso è possibile considerare il tutto
come una serie di prodotti di rapporti per noi significativi. In tal
caso, spiegando col concetto anzidetto tutti i rapporti significativi
considerati, è possibile capire cosa rappresenta tutto l’insieme
dei rapporti considerati.
ESEMPIO DA RIPORTARE
Consideriamo il rapporto, indicato con la lettera u, tra lo spazio
s=420metri percorso da un pedone ed il tempo t = 60 secondi
impiegati per percorrerlo; Il numero, che si ottiene come
risultato, prende significato dal numeratore, sono 70m, che sono
18
percorsi in un secondo, è quindi la velocità media del pedone, nel
senso che può essere cambiata lungo il percorso, per esempio
alla fine diminuita per stanchezza.
Trigonometria
A
r =1
STANERY
α
O
H
H₀
nella
trattazione
seguente si useranno
semplicemente numeri,
come d’altronde in
altre
parti
della
matematica; in realtà
rappresentano misure e
quindi potranno essere
centimetri, metri o
tante altre unità di
misure
anche
composte.
Considerando la circonferenza in figura di
raggio unitario, abbiamo che il triangolo
AOH è definito solo dall’angolo α, e
quindi è possibile conoscere, attraverso
tabelle, i cateti OH e AH per ogni valore
di α. Questa possibilità è molto
importante nella tecnica, perché
vedremo che il calcolo dei cateti sarà
possibile poi per qualsiasi valore del raggio r; conviene quindi
approfondire tale argomento. Bisogna subito dire che i cateti
anzidetti hanno un nome particolare, che tiene conto della loro
dipendenza dall’angolo ed infatti si chiamano:
AH
seno dell’angolo alfa
scritto senα
19
e OH
coseno dell’angolo alfa
scritto cosα
A questo punto potremo affermare che, se l’ipotenusa del
triangolo rettangolo ha la misura i qualsiasi, i cateti
rispettivamente opposto all’angolo e quello ad esso adiacente, si
potranno calcolare facilmente col prodotto dell’ipotenusa per il
seno o il coseno dell’angolo α, che rappresentano le misure dei
cateti quando l’ipotenusa è uguale ad uno. In questo caso i due
triangoli, che sono rappresentati nella figura seguente, che sono
simili, hanno la misura dell’ipotenusa una unitaria e l’altra un
valore qualsiasi, per esempio dieci: l’ipotenusa col valore dieci
significa semplicemente che è dieci volte il lato OA, unitario; per
tale motivo ogni lato del triangolo OTS è dieci volte il lato
corrispondente del triangolo OAH; questo perché, ripeto, avendo
scelto il triangolo di riferimento con l’ipotenusa uguale ad uno,
qualsiasi misura dell’ipotenusa di qualsiasi altro triangolo,
rappresenterà il numero di volte che il triangolo, nei suoi lati, è
più grande dell’altro.
Indicando più semplicemente
TS, il cateto opposto all’angolo
con h, OS, il cateto ad esso
adiacente, con b, ed infine OT
con i, potremo scrivere in
generale le seguenti relazioni:
T
a
i
A
r =1
s
O
α
c
i
b
H
S
TS = a = i senα
20
OS = b = i cosα
Il termine i, l’ipotenusa del triangolo grande OT, essendo unitaria
l’ipotenusa OA del triangolo piccolo, rappresenta sia per
l’ipotenusa che per gli altri lati, automaticamente, per il nostro
concetto di rapporto, il numero di volte che i lati del triangolo
OTS sono più grandi rispetto a quelli di OAH; tale numero si può
chiamare rapporto di moltiplica; infatti una volta determinato il
valore del rapporto delle ipotenuse corrispondenti:
OT / OA = i/ 1 = i
che è proprio l’ipotenusa, si è determinato il rapporto di
moltiplica per tutti i lati del triangolo rettangolo; ogni lato del
triangolo rettangolo OAH, moltiplicato per i, mi dà il lato
corrispondente di OTS.
Il triangolo OAH è molto importante nella scienza, perché
permette, conoscendo il semplice angolo α, di determinare i
cateti s e c del particolare triangolo rettangolo con l’ipotenusa di
lunghezza unitaria. Da questi con la semplice similitudine tra
triangoli rettangoli è possibile determinare qualsiasi dimensione
di qualsiasi triangolo rettangolo di cui si abbia solo una sola
dimensione.
Una grandezza molto utile nella tecnica è il rapporto tra i due
cateti considerati precedentemente, chiamato tangente
dell’angolo α, che sinteticamente si scrive tgα:
senα
tg α =
cosα
21
la tangente dell’angolo α è, allo stesso modo delle grandezze
seno e coseno, dipendente solo dall’angolo e può rappresentare
l’inclinazione di una curva in un punto o di una strada in salita o in
discesa o tante altre caratteristiche molto utili alla conoscenza di
un certo fenomeno. Bisogna considerare ancora il significato
interessante del rapporto, che definisce la tangente: essa, come
rapporto, essendo il seno un’altezza di un triangolo rettangolo, il
valore del rapporto è ancora un’altezza di un altro triangolo
rettangolo, l’altezza in corrispondenza della base unitaria, cioè
l’altezza MN nella figura seguente:
La tangente di α è
T
ovviamente
anche
uguale al rapporto TS /
OS, che rappresenta
M
come rapporto l’altezza
del triangolo rettangolo
r =1
quando la base è uno,
α
cioè MN del triangolo
S
O
N
MNO con la base ON
uguale ad uno, che è
diverso dal triangolo
considerato prima, ma
che il rapporto è sempre fra due triangoli simili, come nella
figura.
22
Prima uno era l’ipotenusa, per fare in modo che il valore dell’altra
ipotenusa risultasse il rapporto di moltiplica, nella proporzione
dei triangoli simili.
Attraverso calcolatrici o tabelle
è possibile dall’angolo
determinare il valore corrispondente del
seno, coseno o tangente
o a sua volta, conoscendo il valore
numerico di queste grandezze, determinare
l’angolo con la funzione inversa arco-x,
dove al posto di x si può mettere la
grandezza ricorrente, che può essere seno,
coseno o tangente, e quindi arcoseno, arco
coseno o arcotangente.
STANERY
Si ricorda che l’angolo può essere espresso
in gradi o in radianti con
2π = 360 da cui π = 180 cioè 3,14 = 180
volendo determinare quanti gradi
corrispondono ad un radiante sappiamo
come procedere:
180
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖
= 57,3
𝜋
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒
o se interessa i radianti per un grado basta
𝜋
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑖
= 0,017
180
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜
Per esempio:
Il simbolismo per le funzioni considerate può
a volte essere diverso come sin al posto di
sen o tg o tag al posto di tang o invece di
arcotang più semplicemente la inv di tang.
seno 45◦ = 0,71
arcotang1,73 = 60
Esempi con tabelle:
GEOMETRIA
Nella geometria si considerano le forme degli oggetti e si parte da
quelle più semplici come il punto, la retta o una curva, che
combinandosi fra loro danno origine prima nel piano a delle
figure come il triangolo, il rettangolo ed altri poligoni più
complessi con confini non ugualmente rettilinei, per poi arrivare
alle figure solide nello spazio. Il loro interesse è notevole e
23
riguarda tutto il sapere umano, che cerca di utilizzare le forme
anzidette per esprimere i propri concetti, per comunicarli con il
mezzo più espressivo che l’uomo abbia mai introdotto.
Iniziamo dal punto, che pur non avendo dimensioni, serve
moltissimo in alcuni schemi, come per indicare una posizione su
una carta geografica di un oggetto qualsiasi, che può essere uno
spillo o una cattedrale o una città ecc. o per formare una retta o
interi corpi. Per definire il punto consideriamo due assi cartesiani
come riferimento, cioè due rette perpendicolari fra loro con delle
frecce indicanti il verso positivo scelto da noi.
Assi cartesiani
24
y
P(---2; 3)
3
P(4; 2)
-2
P(-1; -2)
4
-1
25
x
Ogni punto è individuato, nel piano xy, da due coordinate,
l’ascissa x e l’ordinata y, come indicato nella figura precedente. Si
possono individuare nella figura quattro porzioni di piano,
ognuna delle quali ha una coordinata di segno diverso dalle altre
porzioni. Una retta, formata da infiniti punti, ha la caratteristica
che due suoi punti, comunque presi su di essa, hanno come
distanza minima, il segmento che li unisce, che appartiene
completamente alla retta. La retta, in qualunque sua parte,
forma sempre lo stesso angolo con l’asse x orientato. Lo stesso
discorso con l’asse y, che essendo orientato, definisce con la retta
un solo determinato angolo, come da figura seguente:
y
α
T
α
S
R
2
α
b=1
h
H
-2
O
L
4,3
-1
26
C
x
Guardando la figura è possibile notare che i punti T,S e C
appartengono sia alla retta e che ai triangoli rettangoli simili,
quali THC, SLC e TRS. Consideriamo per esempio il triangolo TSR,
che ha i punti T ed S sulla retta e utilizzando le coordinate del
piano xy, applichiamo i rapporti di similitudine tra i cateti del
triangolo anzidetto ed il triangolino simile che ha la base unitaria
come nella figura precedente.
Possiamo scrivere il rapporto caratteristico dei triangoli simili,
ricordando il significato di h e b del triangolino con base unitaria,
che sono funzioni solo di α:
𝑇𝑅
𝑅𝑆
=
ℎ
𝑏
= ℎ = 𝑡𝑎𝑛𝑔𝛼
possiamo quindi scrivere in definitiva, sostituendo ai cateti i
valori delle coordinate corrispondenti:
𝑦𝑇 − 𝑦𝑅
𝑦𝑇 − 𝑦𝑆
ℎ
=
=
= 𝑡𝑎𝑛𝑔𝛼.
𝑥𝑅 − 𝑥𝑆
𝑥𝑇 − 𝑥𝑆
𝑏
Come si può constatare per una retta l’angolo α è costante e
quindi possiamo scrivere, indicando tangα con m:
𝑦𝑇 − 𝑦𝑆
= 𝑡𝑎𝑛𝑔𝛼 = 𝑚
𝑥𝑇 − 𝑥𝑆
che portando il denominatore all’altro membro, abbiamo la
seguente relazione :
𝑦𝑇 − 𝑦𝑆 = (𝑥𝑇 − 𝑥𝑆 )𝑚
27
Conoscendo l’angolo si può considerare fisso il punto S e variare il
punto T; in pratica si può fissare a piacere un qualsiasi valore
dell’ascissa 𝑥𝑇 e determinare, con l’equazione precedente,
l’ordinata corrispondente del punto T sulla retta, 𝑦𝑇 .
Considerando inoltre la condizione che con m si fissa
l’inclinazione di una retta, basterà un punto per individuare la
retta in oggetto CONTINUARE.
Inoltre per una retta passante per l’origine, le coordinate di T
sono nulle, per cui :
𝑦𝑇
=
𝑥𝑇
m
Studio di una curva y = f(x) per indicare che l’ordinata y dipende,
è funzione della sola x. Per esempio
𝑦 = 2𝑥 2
Bisognava spiegare la corrispondenza dei punti grafici e dei punti
formula e di come si legge una formula azzerando un’ascissa e
vedendo cosa succede.
28
y = 2𝑥 2
y
98
50
32
8
2
2
3
4
5
DERIVATA DI UNA FUNZIONE
L a derivata o primitiva di una funzione, interpretata
graficamente, esprime in modo completo e significativo il suo
concetto, rendendo immediata la sua apprensione e facile la sua
29
utilizzazione. Consideriamo una curva regolare, che ammetta
sempre in ogni suo punto la tangente geometrica, ed abbia il
verso di percorrenza dal punto 𝑃0 a P. E’ necessario fissare il
verso perché come in una strada a seconda di come la si percorre
si può avere davanti una solita o una discesa. Consideriamo una
retta secante, avente lo stesso verso della curva, che forma con la
direzione dell’asse x, preso con verso positivo, l’angolo α. Se
avessimo scelto come verso di percorrenza della secante da P a
𝑃0 , avremmo avuto che l’angolo che la secante forma con l’asse x
30
sarebbe stato il complementare di α, cioè α’ = 180-α.
Anche la tangente alla curva, nel punto P₀ ha il verso della curva
da 𝑃0 a P, e l’angolo che forma con lo stesso asse orientato, nel
senso che si conosce la direzione ed il verso da P₀ a P, è l’angolo
α₀:
La retta secante, che interseca la curva nei punti P₀ e P, si fa
ruotare intorno al punto P₀, questo punto, mantenuto fisso, con
retta secante
y’
y = f(x)
y
P
Δy= y-y₀
retta tangente
α
T
𝛼°
𝑃°
𝑦°
H
Δx = x-x₀
α
𝑥°
x
α’ = 180-α
31
x’
la conseguenza che l’altro punto d’intersezione P si sposta lungo
la curva avvicinandosi sempre più al punto P₀: esiste una
posizione limite per cui il punto P coincide con P₀ e la retta
secante con la tangente, così che α diventa α₀. Lo stesso
movimento considerato può esprimersi considerando i cateti del
triangolo PP₀H della figura seguente; infatti il loro rapporto dato
dalla variazione delle ordinate y-y₀ =Δy ,sulla variazione delle
ascissex-x₀ = Δx:
Δy
Δx
rappresenta la secante nella sua posizione iniziale ed è la
tangente trigonometrica dell’angolo α; facendo ruotare la
secante con tutto quello che segue, non si fa altro che far
avvicinare il punto P a P₀ e quindi le coordinate di P si avvicinano
a quelle di P₀; questo significa fare tendere a zero il numeratore e
denominatore del rapporto precedente, che diventano grandezze
infinitesime, che indicheremo con dx e dy, le quali diventano i
cateti del triangolino di dimensioni infinitesime, la cui ipotenusa
coincide con la tangente geometrica considerata ed inclinata
rispetto all’asse x positivo dell’angolo α₀. Si faccia attenzione che
il tendere a zero non significa mai che si arriva allo zero, perché
altrimenti le grandezze perderebbero completamente di
significato. Possiamo scrivere il rapporto precedente come limite
che tende a zero nel modo seguente:
𝛥𝑦 𝑑𝑦
lim
=
= 𝑚 = 𝑓′₀
Δx→0 𝛥𝑥
𝑑𝑥
32
Dove con Δx che tende a zero si intende non è il semplicistico
tendere a zero del solo termine Δx, ma tutto il fenomeno che
abbiamo visto, cioè la rotazione della secante che viene a
coincidere con la tangente, formando l’angolo α₀.
retta secante
y
’’
y = f(x)
P
y
Δy= y-y₀
retta tangente
T
𝛼°
𝑃°
𝑦°
dx
h
dy
h
1
H
Δx = x-x₀
Il triangolino
infinitesimo è
rappresentato
grossolanamente dal
triangolino rosso in
P₀; in realtà è così
piccolo che non si
dovrebbe vedere.
α
𝑥°
x
In altri termini con Δx tende a zero, diventando dx, anche Δy
tende a zero, diventando a sua volta dy; se a volte nel
considerare un limite di una funzione, in una somma di termini in
cui compare x alcuni autori pongono x = 0, non significa
semplicemente questo, ma è conseguenza di un ragionamento in
cui la x, vicina allo zero,
33
Inoltre il rapporto tra infinitesimi, grandezze molto piccole,
vicine allo zero, che sono i cateti del triangolo infinitesimo,
rappresentato in figura dal triangolo rosso in P₀, non è una
grandezza infinitesima, in quanto anche nel rapporto tra
grandezze infinitesime, ritorna sempre il significato del rapporto,
che fa riferimento all’altezza di un altro triangolo, avente, come
sappiamo, l’altezza h quando la base è uno, simile sia al triangolo
infinitesimo, sia al triangolo P₀TH, rappresentato nella figura, con
la base uno e con l’altezza h. Si ripeti concettualmente il
movimento del triangolo P₀PH, che diventa il triangoloP₀TH, del
quale si considera il triangolino simile non infinitesimo.
Infinitesime, ripeto, sono le due variazioni, il risultato del
rapporto delle due variazioni è l’altezza del triangolino, che non è
infinitesimo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=h
A questo punto abbiamo definito la derivata di una funzione, una
curva definita da un y variabile al variare di x, che ci permette di
calcolare il coefficiente angolare di una retta tangente ad una
curva in un certo punto, che può comunque essere anche
generico, in quanto non fissiamo il punto numericamente.
Bisogna considerare ora il significato del segno della derivata. Nel
diagramma precedente abbiamo tracciato la curva nel quarto di
piano positivo, e la retta tangentema i punti, di cui dobbiamo
considerare le variazioni Δx e Δy, come anche dx e dy, possono
essere disposti in qualsiasi posizione del piano e quindi le
variazioni, che sono sempre il valore finale meno il valore iniziale
34
possono risultare sia positive che negative. Anche il rapporto sarà
quindi condizionato dal segno e la derivata, che rappresenta
l’inclinazione di una retta può essere sia positiva che negativa;
inclinazione che corrisponde rispettivamente, comunque, ad una
𝑦1𝑓
𝑦8𝑓
𝑣1
𝑣8
𝑦10
𝑦80
𝑦70
𝑣7
𝑣2
𝑦7𝑓
𝑥60
𝑥70
𝑥7𝑓
𝑥6𝑓
𝑦20
𝑥80
𝑥50
𝑥8𝑓
𝑥5𝑓
𝑦6𝑓
𝑦2𝑓
𝑦3𝑓
𝑥10
𝑥40
𝑥1𝑓
𝑥4𝑓
𝑥20
𝑥30
𝑥2𝑓
𝑥3𝑓
𝑣3
𝑣6
𝑦60 𝑦30
𝑦50 𝑦40
𝑣4
𝑣5
𝑦5𝑓 𝑦4𝑓
retta in “salita” o in “discesa”. Nella figura seguente si sono
disegnate delle rette orientate e, per non occupare troppo spazio
si sono disegnati dei segmenti orientati, che vedremo
rappresenteranno anche le grandezze vettoriali. Per ogni retta
orientata si deve determinare l’inclinazione attraverso le
35
coordinate; questa inclinazione rappresenta, come abbiamo visto
precedentemente e come vedremo poi, la derivata di una
qualsiasi curva che ha come tangente la retta considerata. Diamo
le coordinate iniziali e finali degli otto segmenti orientati.
ESERCIZIO SULLA INCLINAZIONE DI UNA RETTA
Dalla figura precedente
𝑣𝑖
𝑣1
Coordinate
iniziali in cm
𝑥𝑖0 ; 𝑦𝑖0
Coordinate
finali in cm
𝑥𝑖𝑓 ; 𝑦𝑖𝑓
𝑥1𝑓 = 2,8;
𝑦1𝑓 = 4,6
𝑥10 = 0,6;
𝑦10 = 3,0
𝑣2
𝑥20 = 3,3;
𝑦20 = 2,1
𝑥2𝑓 = 5,6;
𝑦 2𝑓 = 0,8
𝑣3
𝑥30 = 3,7;
𝑦30 =2,0
𝑥3𝑓 = 6,7 ;
𝑦3𝑓 = 0,6
𝑣4
𝑥40 = 0,7;
𝑦40 = 2,2
𝑥4𝑓 = 3,2;
𝑦4𝑓 = 3,7
𝑣5
𝑥50 = 2,7;
𝑦50 = 2,3
𝑥5𝑓 = 0,7;
𝑦5𝑓 = 3,7
𝑣6
𝑥60 = 5,3;
𝑦60 = 2,0
𝑥6𝑓 = 3,3;
𝑦6𝑓 = 0,8
𝑣7
𝑥70 = 4,9;
𝑦70 = 2,2
𝑥7𝑓 = 3,2;
𝑦7𝑓 = 1,0
𝑣8
𝑥80 = 2,8;
𝑦80 = 2,8
𝑥8𝑓 = 1,0;
𝑦8𝑓 = 4,3
F I N I R
E
LA
Δx𝑖 = 𝑥𝑖𝑓 − 𝑥𝑖0
Δy𝑖 = 𝑦𝑖𝑓 − 𝑦𝑖0
cm
Δx1 = 2,2
Δy1 = 1,6
Δx2 = 2,3
Δy2 = −1,3
Δx3 = 3,0
Δy3 = −1,4
Δx4 = 2,5
Δy4 = 1,5
Δx5 = −2,0
Δy5 = 1,4
Δx6 = −2,0
Δy6 = −1,2
Δx7 = −1,7
Δy7 = −1,2
Δx8 = −1,8
Δy8 = 1,5
T
A
Rapporto
𝛥𝑦𝑖 /𝛥𝑥𝑖
Angolo=
arctgΔy/Δx
deg
0,73
36
-0,56
-29
-0,47
-25
B E L L
A
ALTRECONSIDERAZIONI SULLEDERIVATE anche sul significato
della derivata della funzione inversa
Alcune volte capita di conoscere la primitiva di una funzione, che
invece non è determinata; è necessario quindi rivedere alcune
36
considerazioni e lo facciamo considerando due diagrammi
generici di una funzione e della sua derivata, disposti in modo che
dalla derivata si ricava la funzione:
y
A’
f’(x)
E’
B’
D’
x
y
C’
B
f(x)
E
A
C
D
x
Infatti quando la derivata è positiva, il tratto A’B’, la funzione ha
la tangente in salita, e poiché l’altezza positiva della derivata
diminuisce, la pendenza della retta diminuisce, fino ad arrivare in
B’, dove la derivata si annulla, quindi l’angolo della retta tangente
37
si annulla e la retta tangente diventa orizzontale nel punto
corrispondente B. Da B’ a D’ la derivata è negativa e quindi la
funzione sarà sempre in discesa, solo che la pendenza della retta
tangente aumenterà sempre come discesa, è negativa, da B’ a C’,
mentre da C’ la discesa della curva diminuirà fino a diventare
nulla in D, è infatti nulla la derivata in D’. Da questo punto la
derivata è di nuovo positiva e quindi la curva sarà in salita. Poiché
il valore della derivata dopo D’, non solo è positivo, ma aumenta
sempre più, si avrà che la funzione sarà in salita con una
pendenza che aumenta sempre di più. Se il tratto D’E’ fosse stato
negativo, cioè sotto l’asse x, simmetrico a quello in figura, la
curva avrebbe avuto un punto di flesso in D ed il tratto DE si
sarebbe trovato sotto l’asse x, come nella figura seguente. Nel
caso in cui la funzione derivata ha un tratto rettilineo, parallelo
all’asse x, la funzione ha in quel tratto una retta inclinata
dell’angolo pari all’altezza della derivata rettilinea.
38
y
A’
B’
D’
x
f’(x)
y
E’
C’
B
f(x)
A
C
D
E
x
INTEGRALI
Consideriamo una curva y = f(x), definita e continua in ogni suo
punto, avente l’ordinata funzione regolare dell’ascissa x, nel
senso che la curva possiede in ogni suo punto una tangente ben
definita. Gli estremi della curva sono A e Z, che hanno come
proiezioni sull’asse x i punti 0 ed n, e la curva si trova nel quarto
39
di piano positivo. Si vuole calcolare l’area sottesa alla curva, cioè
l’area OAZn. Per quanto è nelle nostre conoscenze attuali non
abbiamo la possibilità di calcolare aree con lati curvi. E’
necessario l’utilizzo di metodi approssimati; si suddivide la base in
un certo numero di parti, si è scelto per ora n=7 in prima
approssimazione, cioè si suddiviso il segmento 0n in sette parti
uguali; si sono tracciati segmenti paralleli all’asse y, che partendo
dai sette punti 0,1.2.3.4.5.6.in cui si è diviso il segmento, arrivano
sulla curva. come nella figura seguente, ottenendo sette porzioni
di trapezoidi: ognuno di essi ha tre lati rettilinei ed un lato
formato da un pezzo della nostra curva. Per esempio il primo a
sinistra ha per lati 01, y₀, 𝑦1 e il lato curvo AB.
y
Z
B
A
𝑦0
𝑦1
Δx
0
𝑦2
Δx
Δx
1
𝑦3
2
Δx
Δx
3
𝑦5
𝑦4
4
𝑦6
Δx
Δx
6
5
𝑦7
n=7
x
Poiché non è possibile determinare tale area, dobbiamo limitarci
all’area del rettangolo, che ha come altezza l’ordinata iniziale
della curva y₀, che sul diagramma è colorata, la cui are è
facilmente determinabile ed è pari a y₀ Δx. Lo stesso discorso per
40
gli
altri
trapezoidi per i
quali
è
possibile
determinare
solo
l’area
complessiva
dei rettangoli
colorati 𝑆𝑟 , nel
modo
seguente:
y’
Z
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Δx
13 15
19
22 2425
n=28
x
’
𝑆𝑟 = y0 Δx + y1 Δx + y2 Δx + y3 Δx + y4 Δx + y5Δx + y6 Δx =
=∑6𝑖=0 𝑦𝑖𝛥𝑥
Si è fatto questo discorso perché si può constatare dalla figura
successiva che aumentando nella stessa figura il numero dei
rettangoli, da sette si è passati a ventotto rettangoli, avendo
suddiviso il segmento 0n in ventotto parti, l’area dei rettangoli si
è avvicinata a quella dei trapezoidi. Si deduce che
l’approssimazione migliorerà e la somma calcolata 𝑆𝑟 si
avvicinerà sempre più all’area sottesa alla curva S, che stiamo
cercando, se aumentiamo sempre di più il numero di suddivisioni
n, come si può dedurre dalla figura seguente:
41
Possiamo quindi riscrivere la sommatoria precedente per i nuovi
elementi rettangolari:
28
𝑆𝑟 = ∑ 𝑦𝑖𝛥𝑥
𝑖=0
Il valore di 𝑆𝑟 , come abbiamo già detto, sarà più vicino a quello
di S ed aumentando ancora le suddivisioni i due valori si
avvicineranno sempre di più. Facendo tendere le suddivisioni
all’infinito si arriva che n tende al numero di suddivisioni infinito,
l’ampiezza dei rettangoli Δx ovviamente tende a zero, in pratica
diventa lo spessore delle linee del disegno e quindi risulta chiaro
che non abbiamo più problemi perché l’ordinata y sarà quella che
corrisponde ad x ed il valore di 𝑆𝑟 coinciderà col valore di S. In tal
caso, per sottolineare il fatto che non abbiamo una grandezza
finita Δx, chiameremo la variazione infinitesima di x con dx. Da
ora in poi ci ricorderemo che anche se incontreremo spesso le
variazioni infinitesime e le rappresenteremo come in figura,
queste in realtà hanno dimensioni molto più piccole. Infine la
sommatoria che abbiamo usato finora per le grandezze finite sarà
sostituita dal seguente simbolismo, che in pratica è una S
allungata per ricordarci che si tratta comunque di una
sommatoria, una sommatoria di grandezze infinitesime:
0
∫ 𝑦𝑑𝑥
𝑛
Dove y dx rappresenta il generico rettangolo elementare o
infinitesimo, corrispondente al rettangolo finito yΔx, mentre 0 ed
42
n rappresentano i punti sull’ascissa x, che definiscono gli estremi
dell’area sottesa che devo calcolare. Nella seguente figura
vediamo la rappresentazione dell’integrale, col rettangolo
elementare, che per semplicità di disegno non è nelle sue
dimensioni infinitesime, per le quali si dovrebbe vedere come un
segmento e che vedremo spesso,con i dati utili alla risoluzione
del problema.
y
B
y = f(x)
esempio ; y = 2𝑥 2
𝐴0 = 4; 𝐵0 = 20
A
𝐴0
𝐵0
x
dx
Si ha quindi che y0a = 32 e y0b = 800
43
x