sintesi

I NUMERI RELATIVI
SCUOLA SECONDARIA 1^ GRADO
I NUMERI RELATIVI
Che numeri sono?
Perché i
numeri relativi?
Cos’è il
valore assoluto?
N. relativi concordi
N. relativi discordi
N. relativi opposti
Sono numeri preceduti dal segno + (positivo) o dal segno – (negativo). Lo zero non ha segno!
+ 4 numero relativo positivo
– ½ numero relativo negativo
Evviva!
- Per riuscire ad eseguire sempre la sottrazione Es. 4 – 5 = – 1
..
- Per indicare grandezze quali la temperatura
+3°C (sopra lo zero) – 10°C (sotto lo zero)
- Per localizzazioni geografiche sopra (+) o sotto (–) il livello del mare
– 394 m (Mar Morto)
- Per esprimere le date prima (–) o dopo (+) Cristo
– 34 = 34 a.C.
+2012 = 2012 d.C.
- Per evidenziare bilanci in attivo (+) o in passivo (–) ecc. + 350euro (credito) – 750euro (debito)
Il valore assoluto, detto anche modulo o valore aritmetico, è il numero stesso senza il segno.
Il valore assoluto si indica mettendo il numero relativo fra due sbarrette: |+ 3|= 3 |– 1/7|= 1/7
Dunque ogni numero relativo possiede un segno e un valore assoluto.
Due numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto!
|± 4| = 4
cioè |+ 4| = |– 4|
Quindi: |+ 3| > |+ 2| perché 3 > 2
| 5| > |+ 3| perché 5 > 3
Hanno lo stesso segno!
– 8 e – 17
+ 9 e + 2/3
Hanno segni diversi!
+7 e –6
Hanno segni diversi, ma lo stesso valore assoluto!
+5 e –5
– 6/11 e + 6/11
NUMERI RELATIVI SULLA RETTA ORIENTATA
OSSERVAZIONI SULLA RETTA ORIENTATA
Due numeri relativi concordi stanno entrambi o a destra o a sinistra dello zero.
Due numeri relativi discordi stanno uno a destra e uno a sinistra dello zero.
Due numeri relativi opposti stanno uno a sinistra e uno a destra dello zero e alla medesima distanza da esso (simmetrici).
NUMERI RELATIVI A CONFRONTO
Qualsiasi numero positivo è maggiore di qualsiasi numero negativo.
+ 3 > – 10
Lo zero è minore di un qualsiasi numero positivo e maggiore di un qualsiasi numero negativo.
0<+2
0>–8
Fra due numeri concordi positivi è maggiore quello che ha maggiore valore assoluto.
+7 >+5
Fra due numeri concordi negativi è maggiore quello che ha minor valore assoluto.
– 3 > – 12
OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI
La somma di due numeri relativi concordi è un numero
(+ 3) + (+7) = + 10
relativo concorde ad essi e avente per valore assoluto la
(– 3) + (–7) = – 10
somma dei valori assoluti.
La somma di due numeri relativi discordi è un numero
ADDIZIONE
relativo concorde all’addendo che ha maggiore valore
(+ 3) + (–7) = – 4 perché |– 7| > |+ 3|
assoluto e avente per valore assoluto la differenza dei
(– 4) + (+9) = + 5 perché |+ 9| > | –4 |
valori assoluti.
SOTTRAZIONE
La differenza fra due numeri relativi è un numero
relativo che si ottiene addizionando al primo (minuendo)
l’opposto del secondo (sottraendo).
1
(– 7) – (+3) = (– 7) + (– 3) = – 10
I NUMERI RELATIVI
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ELIMINAZIONE DELLE PARENTESI >>> In un’addizione o sottrazione possono essere eliminate le parentesi
che separano il segno di operazione (+/–) dal segno positivo/negativo del numero.
Una parentesi non preceduta da segno è da intendersi preceduta dal segno +
Esempio: (+ 2) = + (+ 2)
Per eliminare correttamente le parentesi va tenuto presente che:
– se la parentesi è preceduta dal segno + >>> il numero va scritto con il segno che aveva dentro parentesi.
Esempio:
+ (+ 4) = + 4
+ (– 8) = – 8
– se la parentesi è preceduta dal segno – >>> il numero va scritto con il segno opposto a quello che aveva prima.
Esempio:
– (+ 6) = – 6
– (– 3) = + 3
***
Addizione Esempio: (+ 3) + (+7) = + 10 >>> + 3 + 7 = + 10
(– 3) + (– 7) = – 10 >>> – 3 – 7 = – 10
Sottrazione Esempio
(– 7) – (+3) = – 10 >>> – 7 – 3 = – 10
(+ 5) – (– 10) = + 15 >>> + 5 + 10 = + 15
In seguito all’eliminazione delle parentesi, l’addizione e la sottrazione si riconducono a un’unica
operazione detta addizione algebrica il cui risultato si chiama somma algebrica.
ADDIZIONE
ALGEBRICA
MOLTIPLICAZIONE
DIVISIONE
POTENZA
Esempio: (+ 5) – (+4) – (– 2) + (+ 10) + (– 3) = + 5 – 4 + 2 + 10 – 3 = + 10
Nell’addizione algebrica valgono le proprietà commutativa e associativa per cui si possono
addizionare prima tutti i numeri positivi, poi tutti i numeri negativi e quindi addizionare
algebricamente (differenza tra positivi e negativi) i due numeri relativi ottenuti.
Il prodotto di due o più numeri relativi è un numero
(+ 7) • (+ 3) = + 21
relativo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori
(– 7) • (– 2) = + 14
assoluti ed è:
(+ 3) • (– 5) = – 15
positivo se i fattori negativi sono in numero pari,
(– 5) • (+ 4) = – 20
negativo se i fattori negativi sono in numero dispari.
(– 7) • (– 3) • (+ 5) • (+ 2) = + 210
Regola dei segni
(– 5) • (– 7) • (+ 4) • (– 6) = – 840
+•+ = +
–•– = +
+•– = –
–•+ = –
Il quoziente di due numeri relativi è un numero relativo
(+27) : (+ 3) = + 9
che ha per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti
(– 18) : (– 6) = + 3
ed è positivo se i due numeri sono concordi, negativo se
(+ 12) : (– 3) = – 4
sono discordi.
Regola dei segni
(– 72) : (+ 9) = – 8
+:+ = +
–:– = +
+:– = –
–:+ = –
PROPRIETA’
DELLE
POTENZE
POTENZA
CON ESPONENTE
NEGATIVO
POTENZE
DEL 10
RADICE
QUADRATA
(+ 4)2 = + 16
(+ 6)3 = + 216
2
8
(− ) = −
3
27
3 2
9
(− ) = +
4
16
La potenza che ha per base un numero relativo è un
numero relativo che ha per valore assoluto la potenza
del valore assoluto della base;
esso è sempre positivo tranne nel caso che la base sia
negativa e l’esponente dispari.
1) an • am = a n + m
2) an : am = a n – m
3) (an)m = a n • m
3
4) an • bn = (a • b)n
5) an : bn = (a : b)n
1 3
La potenza di un numero relativo con esponente
negativo è il reciproco (inverso) della potenza avente
come esponente il numero positivo, opposto
all’esponente dato.
Potenze del 10
con esp. positivo
100 = 1
101 = 10
a1 = a a0 = 1
1n = 1 0n = 0
00 = senza significato
(+ 5) –3 = ( 5 ) =
(−
102 = 100
1
125
7 −2
3 2
9
) = (− ) =
3
7
49
103 = 1.000
104 = 10.000
ecc.
1 1
1 2
1 3
Potenze del 10
10‒1 = ( ) = 0,1 10‒2 = ( ) = 0,01 10‒3 = ( ) = 0,001 ecc.
10
10
10
con esp. negativo
La radice quadrata di un numero relativo positivo è quel numero positivo che, elevato alla
seconda, dà per risultato il radicando. √+16 = + 4 perché: (+ 4)2 = +16
Anche (– 4)2 = +16 , ma si conviene di porre sempre √+16 = + 4 e mai √+16 = – 4
√−16 = ? >> Nell’insieme R dei numeri reali non esiste la radice quadrata di un numero relativo negativo!
RADICE CUBICA
La radice cubica di un numero relativo è quel numero che, elevato alla terza, dà il radicando.
La radice cubica di un numero relativo, positivo o negativo, esiste sempre nell’insieme R!
3
√+8 = + 2 perché: (+ 2)3 = +8
2
3
√− 8 = – 2 perché: (– 2)3 = – 8