lezione 2

1.4. CONTINUITA DEI CAMPI
11
1.3.1 Campi statici
I dielettrici sono quei materiali nei quali J c = 0, ovvero nei quali gli elettroni sono vincolati
ai nuclei. Le relazioni costitutive devono quindi legare d e b a e e h. Le equazioni di
Maxwell nel caso statico si disaccoppiano e diventano
∇×e = 0
∇·d = ρ
(1.61)
(1.62)
∇ × h = J0
∇·b = 0
(1.63)
(1.64)
per il campo elettrico e
per il campo magnetico.
1.4 Continuità dei campi
Le equazioni di Maxwell in forma integrale consentono dunque di avere indicazioni sul
comportamento dei campi in presenza di discontinuità. Consideriamo dunque una superficie di separazione tra due mezzi ed un cilindretto delimitato dalla superficie ∆Σ a cavallo
tra i due mezzi come in figura. La (1.1c) fornisce dunque
I
ZZ
ZZ
ZZ
∆q =
d · bin dS = −
d1 · n
bdS +
d2 · n
bdS +
d · bin dS
(1.65)
∆Σ
∆S1
∆S1
∆Sl
Facendo tendere ∆l a zero, l’integrale esteso alla superficie laterale tende a zero; lo
stesso accade alla carica ∆q, a meno che non sia presente una carica superficiale ∆qS . In
tal caso, applicando il teorema della media, si ha
´
´
³
´
´´
³
³
³
³
b∆S1 + d2 ξ 2 , t · n
b∆S2 = −d1 ξ 1 , t + d2 ξ 2 , t · n
b∆S = ∆qS
−d1 ξ 1 , t · n
(1.66)
Dividendo ambo i membri per ∆S e facendolo tendere a zero, si ottiene infine
∆qS
, ρS
(d2 − d1 ) · bin = lim
∆S→0 ∆S
(1.67)
(b2 − b1 ) · bin = 0
(1.68)
dove il termine ρS indica la densità di carica superficiale, e si misura in [C/m2 ]. La 1.67
esprime dunque il fatto che in presenza di una discontinuità spaziale le componenti normali del vettore induzione elettrica si mantengono continue, a meno che non sia presente
un’eventuale densità di carica superficiale.
Procedendo in modo analogo, a partire dalla ?? si ottiene invece
ovvero le componenti normali del vettore induzione magnetica si mantengono in ogni caso
continue.
Per avere informazioni sulle componenti tangenziali, consideriamo stavolta una curva
chiusa Γ che racchiude una superficie ∆S a cavallo di una discontinuità tra due mezzi
(figura). La ?? allora diventa
ZZ
I
Z
Z
Z
ZZ
d
d·n
bdS +
j·n
bdS = h · bil dl =
h2 · b
tdl −
h1 · b
tdl + h · bil dl
dt
∆S
∆S
Γ
∆l2
∆l1
δ
(1.69)
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CAPITOLO 1. EQUAZIONI DI MAXWELL
Facendo ora tendere δ a zero, l’integrale esteso al tratto di lunghezza δ tende a zero, e
così pure il flusso di d attraverso ∆S, in quanto quest’ultima tende a zero. Il flusso di j,
invece, tende a zero se c’è solo corrente di volume, mentre dà un contributo se è presente
una densità di corrente superficiale j S = ∆qS v, nel qual caso si ha, applicando ancora il
teorema della media
³ ³
´
´´
³
h2 ξ 2 , t − h1 ξ 1 , t · b
t∆l = j S · n
b∆l
(1.70)
dividendo per ∆l e facendolo tendere a zero si ottiene
(h2 − h1 ) · b
t = jS · n
b
(1.71)
Sfruttando poi il fatto che b
t=n
b ×bin e applicando la regola di permutazione del prodotto
misto si ha
jS · n
b = (h2 − h1 ) · n
b × bin = n
b · bin × (h2 − h1 ) = bin × (h2 − h1 ) · n
b
D’altra parte, data l’arbitrarietà di n
b, deve necessariamente risultare
(1.72)
bin × (h2 − h1 ) = j
S
(1.73)
bin × (e2 − e1 ) = 0
(1.74)
che esprime il fatto che in presenza di una discontinuità le componenti tangenziali del campo magnetico sono continue, a meno che non sia presente un densità di carica superficiale.
In modo del tutto analogo, a partire dalla ?? si ottiene
ovvero le componenti tangenziali del campo elettrico sono sempre continue.
In definitiva, in ogni regione di spazio in cui i campi sono differenziabili, cioè in assenza
di discontinuità spaziali, si possono risolvere le equazioni di Maxwell in forma locale, per
poi raccordare le varie soluzioni mediante le condizioni di continuità dei campi.
Notiamo infine che le relazioni di continuità individuate non sono tra loro indipendenti per campi variabili nel tempo. In particolare, può essere facilmente verificato che la
continuità delle componenti tangenziali dei campi implica la continuità delle componenti
normali delle induzioni. Con riferimento alla continuità delle componenti normali di b, ad
esempio, scegliamo due superfici molto piccole uguali, una posta immediatamente al di sopra della discontinuità, ed una immediatamente al di sotto. La continuità delle componenti
tangenziali di e ci garantisce che le circuitazioni di e sulle frontiere delle due superfici sono
∂ (b·bin )
è continuo.
uguali e di conseguenza saranno uguali anche i flussi di ∂b
∂t e quindi
∂t
b
In definitiva b · in è continuo a meno di un campo costante, che abbiamo supposto nullo.
Analogamente si procede per quanto riguarda d.