DIARIO DEL CORSO DI TEORIA ALGEBRICA DEI NUMERI (41 ore

DIARIO DEL CORSO DI TEORIA ALGEBRICA DEI NUMERI
SANDRO MATTAREI
A.A. 2012/13
(41 ore di lezione)
Prima settimana.
Lezione di mercoledı́ 20 febbraio 2013 (due ore)
In un UFD, se (a, b) = 1 e ab è una m-esima potenza, allora a e b, a meno di
unità, sono m-esime potenze.
L’equazione Diofantea x2 + y 2 = z 2 ; determinazione delle terne pitagoriche
primitive usando la fattorizzazione unica negli interi di Gauss Z[i].
Lezione di giovedı́ 21 febbraio 2013 (un’ora)
L’equazione Diofantea x3 = y 2 + 1 ha come unica soluzione (x, y) = (1, 0).
L’equazione Diofantea x3 = y 2 + 19 (inizio).
Seconda settimana.
Lezione di mercoledı́ 27 febbraio 2013 (due ore)
Tentativo di risolvere l’equazione
Diofantea x3 = y 2 + 19 come fatto con x3 =
√
y 2 + 1: fallisce in quanto Z[ −19] non un UFD.
L’esempio di Hilbert di monoide con cancellazione ma non a fattorizzazione
unica.
√
Gli
esempi
trovati
di
non-fattorizzazione
unica
in
Z[
−19] interpretati in Z[(1+
√
−19)/2], dove invece vale la fattorizzazione unica (per ora senza dimostrazione).
Lezione di giovedı́ 28 febbraio 2013 (un’ora)
[Nel seguito gli anelli saranno sempre commutativi con unità.]
Ideali, ideale generato da un sottoinsieme, ideali principali. Somma e prodotto
di ideali.
Ideali massimali e ideali primi. Un ideale I di R è massimale sse R/I è un
campo, è primo sse R/I è un dominio.
Esempi: F[x, y], Z[x].
Terza settimana.
Lezione di mercoledı́ 6 marzo 2013 (due ore)
Domini. Divisibilità e ideali.
Domini a ideali principali (PID). Due elementi di un PID hanno sempre un
massimo comun divisore.
Date: 30 maggio 2013.
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SANDRO MATTAREI
A.A. 2012/13
Confronto fra primi e ideali primi in un dominio, e fra irriducibili e ideali massimali. In un PID gli ideali primi non nulli sono massimali, e gli irriducibili sono
primi.
Domini Euclidei rispetto √
alla norma ordinaria. Gli interi di Gauss formano un
dominio
Euclideo,
e
cosı̀
Z[
−2]. Interpretazione geometrica.
√ L’anello Z[(−1 +
√
−3)/2] è un dominio Euclideo, mentre il suo sottoanello Z[ −3] non lo è.
Visualizzazione di questi fatti con l’ausilio di MAPLE (vedi presentazione, sulla
pagina WEB).
Lezione di giovedı́ 7 marzo 2013 (un’ora)
Domini a fattorizzazione unica (UFD). In un PID ogni elemento è prodotto di
irriducibili.
Un anello è Noetheriano (cioè vale la Ascending Chain Condition: ogni catena
ascendente di ideali è stazionaria) se e solo se ogni ideale è finitamente generato.
Quarta settimana.
Lezione di mercoledı́ 13 marzo 2013 (due ore)
In un PID le fattorizzazioni in irriducibili sono essenzialmente uniche. (Perciò
ogni PID è un UFD.)
Il criterio di irriducibilità di Eisenstein.
Ideali coprimi. Un ideale coprimo con ciascuno di un numero finito di altri è
coprimo con il loro prodotto.
Lezione di giovedı́ 14 marzo 2013 (un’ora)
Il prodotto di ideali coprimi coincide con la loro intersezione. Il teorema cinese
dei resti.
Le varie definizioni in uso di dominio Euclideo (inizio).
Quinta settimana.
Lezione di mercoledı́ 20 marzo 2013 (due ore)
Le varie definizioni in uso di dominio Euclideo (continuazione).
Ogni dominio Euclideo è un PID.
Gli interi algebrici. Il polinomio minimo monico su Q di un intero algebrico ha
coefficienti interi.
Lezione di giovedı́ 21 marzo 2013 (un’ora)
√
Gli interi algebrici in Q( m).
Caratterizzazioni degli interi algebrici.
Sesta settimana.
Lezione di mercoledı́ 27 marzo 2013 (due ore)
Caratterizzazioni degli
√ interi
√ algebrici (conclusione). Confronto con i numeri
algebrici. Esempio: Q( 2, 3).
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Settima settimana.
Lezione di mercoledı́ 3 aprile 2013 (due ore)
Precisazioni sul criterio di irriducibilità di Eisenstein.
I campi ciclotomici Q(ωm ). I polinomi ciclotomici Φm (x). Essi hanno sempre
coefficienti interi. Esempi.
Se p è primo allora Φp (x) è irriducibile.
Lezione di giovedı́ 4 aprile 2013 (un’ora)
Se p è primo allora Φpr (x) è irriducibile.
Esempio: il campo di spezzamento di x3 − 2.
Il polinomio xm − 1 ha radici distinte in un campo di spezzamento su Fp , se p
è un primo che non divide m.
Ottava settimana.
Lezione di mercoledı́ 10 aprile 2013 (due ore)
I polinomi ciclotomici sono irriducibili.
I gruppi di Galois dei campi ciclotomici.
Lezione di giovedı́ 11 aprile 2013 (un’ora)
I campi ciclotomici Q[ωm ] sono distinti, per m pari.
Nona settimana.
Lezione di mercoledı́ 17 aprile 2013 (due ore)
Omomorfismi di un number field in C, loro estensioni a un number field più
grande, e numero di queste.
Estensioni normali, e chiusura normale di un’estensione.
Il teorema dell’elemento primitivo.
Traccia e norma.
Lezione di giovedı́ 18 aprile 2013 (un’ora)
Traccia e norma di numeri algebrici sono razionali; traccia e norma di interi
algebrici sono interi. Dimostrazione alternativa applicando la teoria di Galois alla
chiusura normale.
Decima settimana.
Lezione di mercoledı́ 24 aprile 2013 (due ore)
Applicazioni di norma e traccia.
Tracce e norme relative. Transitività di tracce e norme.
Esempio: il gruppo di Galois di Q[ω15 ].
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SANDRO MATTAREI
A.A. 2012/13
Undicesima settimana.
Lezione di giovedı́ 2 maggio 2013 (un’ora)
Il discriminante (di una n-upla di elementi di un number field di grado n su Q).
Il discriminante vale zero se e solo se gli n elementi sono linearmente dipendenti
su Q.
Dodicesima settimana.
Lezione di mercoledı́ 8 maggio 2013 (due ore)
Dimostrazione alternativa usando la forma bilineare simmetrica associata alla
traccia.
Ripasso e complementi di algebra lineare: forme bilineari simmetriche; loro
matrici; loro diagonalizzabilità (cioè esistenza di una base ortogonale); condizione
per l’essere non degeneri.
Lezione di giovedı́ 9 maggio 2013 (un’ora)
Il discriminante di un numero algebrico α (cioè della base 1, α, . . . , αn−1 di
Q(α)). Relazione con il discriminante di un polinomio.
Tredicesima settimana.
Lezione di mercoledı́ 15 maggio 2013 (due ore)
Il discriminante di una radice p-esima primitiva dell’unità.
Il gruppo additivo dell’anello degli interi di un number field di grado n è un
gruppo abeliano libero di rango n: inizio.
Lezione di giovedı́ 16 maggio 2013 (un’ora)
Conclusione.
Quattordicesima settimana. Nessuna lezione
Quindicesima settimana.
Lezione di mercoledı́ 29 maggio 2013 (due ore)
Due basi intere per l’anello degli interi di un number field hanno lo stesso
discriminante (detto quindi il discriminante del number field).
I primi che ramificano in un number field sono quelli che dividono il discriminante (senza dimostrazione).
√
Esempi di primi che ramificano in Q( m) e Q(ωm ).
Lezione di giovedı́ 30 maggio 2013 (un’ora)
Un teorema di Kronecker: se tutti i coniugati di un intero algebrico hanno valore
assoluto 1 allora essi sono radici dell’unità.
Lezione di giovedı́ 30 maggio 2013 (tre ore)
Svolgimento di una selezione degli esercizi assegnati settimanalmente.