DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA
A.A. 2008/09
DOCENTE: ANDREA CARANTI
Lezione 1. lunedı́ 15 settembre 2008 (1 ora)
Esercizio: cosa succede a moltiplicare per 2, 3, 4, . . . il numero
052631578947368421
E perché?
Divisibilità fra interi. Proprietà riflessiva e transitiva. Non vale la proprietà
simmetrica. Determinazione delle coppie (a, b) tali che a divide b e b divide a.
Lezione 2. mercoledı́ 17 settembre 2008 (2 ore)
Divisione con resto non negativo. Unicità di quoziente e resto. Massimo comun
divisore: definizione elementare. Problema: non esiste il MCD di 0 e 0. Definizione
ufficiale. Modalità di calcolo: l’approccio mediante la fattorizzazione fallisce con
numeri “grandi”. Esistenza e costruzione mediante l’algoritmo di Euclide (inizio).
Lezione 3. giovedı́ 18 settembre 2008 (2 ore)
Algoritmo di Euclide. Algoritmo di Euclide esteso per esprimere il massimo
comun divisore di due numeri come loro combinazione lineare. Lemmi aritmetici.
Lezione 4. lunedı́ 22 settembre 2008 (2 ore)
Lemmi aritmetici. Applicazioni: il minimo comune multiplo (formula (a, b) ·
[a, b] = a · b, e interpretazione in termini di fattori comuni e non comuni); tutte le
combinazioni per esprimere il massimo comun divisore come combinazione lineare.
L’algoritmo di Euclide su due numeri grandi all’incirca N termina in al più 2 ·
log2 (N ) passi. Tentativo di tracciare il grafico di y = 2x .
Criterio di divisibilità in base all’annullarsi del resto.
Lezione 5. mercoledı́ 24 settembre 2008 (2 ore)
Congruenze. Esempi: le congruenze modulo 0, 1, 2, 3. La congruenza è una
relazione di equivalenza.
Relazioni di equivalenza e partizioni. Assioma di specificazione e paradosso di
Russell. Non esiste l”insieme di tutti gli insiemi”.
Classi rispetto a una relazione di equivalenza. Classi di congruenza (o resto)
modulo un intero n. Le classi formano una partizione.
Date: Trento, A. A. 2008/09.
2
DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2008/09
Lezione 6. giovedı́ 25 settembre 2008 (2 ore)
L’assioma di estensione.
Modulo n ci sono esattamente n classi resto, che sono [0], [1], . . . , [n − 1]. Notazione Z/nZ. Si può calcolare con le classi resto: per n = 12 (o n = 24) è il solito
calcolo con le ore del giorno. Classi resto e criteri di divisibilità per 4, 9, 3, 11.
Lezione 7. lunedı́ 29 settembre 2008 (2 ore)
Il problema della buona definizione. Buona definizione di somma e prodotto fra
le classi resto. Anelli. Z/nZ è un anello commutativo con unità. In Z/nZ non
vale in generale la legge di annullamento del prodotto. Calcolo degli inversi in
Z/nZ mediante l’algoritmo di Euclide esteso.
[a] ∈ Z/nZ è invertibile se e solo se (a, n) = 1, e l’inverso si trova mediante
l’algoritmo di Euclide esteso. Se invece (a, n) > 1, allora [a] è un divisore dello
zero.
Lezione 8. mercoledı́ 1 ottobre 2008 (2 ore)
Cenno agli anelli finiti. In Z l’unico divisore dello zero è zero, e gli unici
invertibili sono 1, −1.
Sistemi di congruenze: quando hanno soluzione, e come si trovano una/tutte le
soluzioni.
Gruppi: notazione neutra, additiva e moltiplicativa. Unicità dell’elemento
neutro e dell’inverso.
Lezione 9. giovedı́ 2 ottobre 2008 (2 ore)
Gli elementi invertibili di un monoide formano un gruppo. Il gruppo delle classi
invertibili modulo n. Funzione di Eulero. Valore della funzione di Eulero per la
potenze di un primo. Criterio di divisibilità per 7. Potenze, regole delle potenze.
Lezione 10. lunedı́ 6 ottobre 2008 (2 ore)
Periodo di un elemento in un gruppo. Eguaglianza di due potenze. Periodi
dello sviluppo di frazioni come numeri decimali. Il periodo di un elemento divide
l’ordine del gruppo (inizio).
Lezione 11. mercoledı́ 8 ottobre 2008 (2 ore)
Il periodo di un elemento divide l’ordine del gruppo (inizio). Eulero-Fermat
per un numero primo. Spiegazione dell’Esercizio 1.1. La funzione di Eulero è
moltiplicativa nel senso della teoria dei numeri (inizio).
Lezione 12. giovedı́ 9 ottobre 2008 (3 ore)
Prima provetta intermedia.
DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2008/09
3
Lezione 13. lunedı́ 13 ottobre 2008 (2 ore)
La funzione di Eulero è moltiplicativa nel senso della teoria dei numeri (fine).
Calcolo dalla funzione di Eulero mediante la fattorizzazione. La fattorizzazione è
inevitabile: caso del prodotto di due primi distinti.
Crittografia: Cesare e one-time pad.
Lezione 14. mercoledı́ 15 ottobre 2008 (2 ore)
RSA. La comunicazione della chiave pubblica n, r. Trasformare un messaggio
in una sequenza di numeri: scrittura dei numeri naturali in base arbitraria. Come
cittare e decrittare il messaggio. Dipendenza dalla fattorizzazione.
Lezione 15. giovedı́ 16 ottobre 2008 (2 ore)
Ricapitolazione di RSA. Uso per scambiare una chiave di un crittosistema
simmetrico.
Come calcolare l’elevazione e potenza modulare. Criteri di primalità deterministici e probabilistici.
Lezione 16. lunedı́ 20 ottobre 2008 (2 ore)
Polinomi a coefficienti in un anello commutativo con unità. Somma, prodotto.
Grado: grado della somma e grado del prodotto. Divisione con resto. Divisibilità.
Massimo comun divisore. Regola di Ruffini.
Lezione 17. mercoledı́ 22 ottobre 2008 (2 ore)
Un esempio di RSA.
I polinomi formano un anello commutativo con unità. Un polinomio a coefficienti in un campo ha al più tante radici nel campo stesso quante il grado. Quadrati
modulo un primo: quanti sono, e criterio per dire se un numero è un quadrato o
no.
Lezione 18. giovedı́ 23 ottobre 2008 (2 ore)
Come giocare a testa o croce per telefono: radici quadrate modulo il prodotto
di due numeri primi.
Lezione 19. lunedı́ 27 ottobre 2008 (2 ore)
Il concetto di isomorfismo per gruppi ed anelli. Cenno alla complessità di somma
e prodotto. Logaritmo. Logaritmo discreto. Teorema cinese dei resti.
Lezione 20. mercoledı́ 29 ottobre 2008 (2 ore)
Norme. Domini euclidei. In un dominio euclideo, gli elementi
√ invertibili sono
quelli di norma 1. Esempi: interi, polinomi, interi di Gauss. Z[ 2]: inizio.
Lezione 21. giovedı́ 30 ottobre 2008 (3 ore)
Seconda provetta intermedia.
4
DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2008/09
Lezione 22. lunedı́ 3 novembre 2008 (2 ore)
√
√
Norma su Z[ 2] come determinante. Z[ 2] è un dominio euclideo. Primi e
irriducibili. Un primo è sempre irriducibile. In un dominio euclideo, gli irriducibili
sono primi.
Lezione 23. mercoledı́ 5 novembre 2008 (2 ore)
√
In Z[i 5] ci sono irriducibili che non√sono primi. In Z[i 5] non esiste sempre
il massimo comun divisore, dunque Z[i 5] non è un dominio euclideo.
In un dominio dotato di norma speciale, ogni elemento si scrive come prodotto
di irriducibili.
Se gli irriducibili sono primi, allora la fattorizzazione è essenzialmente unica.
√
Lezione 24. giovedı́ 6 novembre 2008 (2 ore)
Come si scrivono gli interi primi come prodotto di irriducibili negli interi di
Gauss.
Radici quadrate di −1 modulo un primo p ≡ 1 (mod 4). Scrivere uno di questi
primi come somma di due quadrati.
Lezione 25. lunedı́ 10 novembre 2008 (2 ore)
Fattorizzazioni, mcd e mcm in un dominio gaussiano.
Terne pitagoriche.
Razionalizzazione: un esempio.
Lezione 26. mercoledı́ 12 novembre 2008 (2 ore)
Estensioni. Estensioni semplici: esistenza e prima descrizione. Valutazione.
Elementi trascendenti ed algebrici.
Lezione 27. giovedı́ 13 novembre 2008 (2 ore)
Ancora sulle estensioni. Teorema di isomorfismo per le estensioni semplici, e
struttura: base.
Polinomi minimi ed irriducibili. Il polinomio minimo di radice di 2 sui razionali.
Lezione 28. lunedı́ 17 novembre 2008 (2 ore)
Una estensione semplice mediante un elementgo algebrico in un dominio è un
campo: razionalizzazione.
Criteri di irriducibilità per polinomi di grado uno, due, tre.
Lemma di Eisenstein.
Grado
√ di√una estensione.
Q[ 2 + 3]. (Inizio.)
DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2008/09
5
Lezione 29. mercoledı́ 19 novembre 2008 (2 ore)
√
√
Il polinomio minimo di 2 + 3 sui razionali. Formula dei gradi (senza dimostrazione).
Come costruire una estensione di un campo in cui un dato polinomio irriducibile
ha radice. Esempi: campi di ordine 4 e 8.
Lezione 30. giovedı́ 20 novembre 2008 (2 ore)
Campo di spezzamento di un polinomio.
Campi finiti: introduzione.
Lezione 31. lunedı́ 24 novembre 2008 (2 ore)
Un campo finito E ha caratteristica un numero primo p, e contiene un campo
F (isomorfo a) Z/pZ. Dunque ha ordine pn , se n = |E : F |. I suoi elementi sono
n
le radici di xp − x.
n
Viceversa, sia L il campo di spezzamento su F di xp − x. Sia E l’insieme delle
n
radici di xp − x in L. Allora E è un sottoanello di L.
Binomio in caratteristica p.
Lezione 32. mercoledı́ 26 novembre 2008 (2 ore)
Costruzione dei campi finiti. Il gruppo moltiplicativo di nun campo finito è
ciclico. Campi finiti come estensioni semplici.
Il campo con quattro elementi. Il campo con otto elementi: polinomi minimi
dei suoi elementi.
In una estensione di grado finito m tutti gli elementi sono algebrici, di grado un
divisore di m.
Lezione 33. giovedı́ 27 novembre 2008 (3 ore)
Terza provetta intermedia.
Lezione 34. lunedı́ 1 dicembre 2008 (2 ore)
Costruzione di campi finiti di ordine 9, 16, 27.
Lezione 35. mercoledı́ 3 dicembre 2008 (2 ore)
Codici lineari a correzione d’errore. Ripetizione due e tre volte, controllo di
parità.
Lezione 36. giovedı́ 4 dicembre 2008 (2 ore)
Codici lineari a correzione d’errore. Matrice generatrice e matrice di controllo
di parità. Rivelazione di un errore. Distanza di Hamming.
Lezione 37. mercoledı́ 10 dicembre 2008 (2 ore)
Correzione di un errore. Il codice di Hamming basato sul campo con 8 elementi.
6
DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2008/09
Lezione 38. giovedı́ 11 dicembre 2008 (2 ore)
Il codice di Hamming è ciclico.
Il codice di Hamming basato sul campo con 16 elementi.
Il codice di Hamming generale.
Lezione 39. lunedı́ 15 dicembre 2008 (2 ore)
Teorema di Lagrange. Classi laterali.
Relazioni di equivalenza compatibili con le operazioni. Anello quoziente.
Lezione 40. mercoledı́ 17 dicembre 2008 (2 ore)
Primo teorema di isomorfismo per gli anelli.
Sette domande, una menzogna.
Lezione 41. giovedı́ 18 dicembre 2008 (3 ore)
Quarta provetta intermedia.
Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Trento, via Sommarive
14, 38050 Povo (Trento)
E-mail address: [email protected]
URL: http://science.unitn.it/~caranti/
