Probabilità

Probabilità
Pni -Sessione ordinaria 2009
1.Una moneta da 2 euro (il suo diametro è 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con
mattonelle quadrate di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una
mattonella? (cioè non tagli i lati dei quadrati)
p
Areamoneta
(l  2r ) 2 (100  2 12,875) 2


 0,55  55%
Areamattonella
l2
1002
2. Si dimostri l’identità
n  n n  k
con n e k naturali e n > k

 
 k  1  k  k  1
n!
n!
nk

(k  1)! n  k  1! k ! n  k ! k  1
n!
n!
nk

(k  1)k ! n  k  1! k ! n  k  (n  k  1)! k  1
Semplificando ho che
1
1 1
che rappresenta un identità.

(k  1) 1 k  1
3. Alla festa di compleanno di Anna l’età media dei partecipanti è di 22 anni. Se l’età media degli uomini è
26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne?
Le persone alla festa di anna sono
n1  n2  ...  nm
 26
m
n '1  n '2  ...  n ' f
Età media donne è
 19
f
(n1  n2  ...  nm )  (n '1  n '2  ...  n ' f )
Età media uomini è
Età media persone è
26m  19 f
 22
m f
m 3
dividendo per f

f 4
Sostituendo ho che
m f
 22
26m  19 f  22m  22 f
4m  3 f
Pni – suppletiva 2009
1. Nel gioco del lotto, qual è la probabilità dell’estrazione di un numero assegnato? Quante estrazioni
occorre effettuare perché si possa aspettare, con una probabilità p = 1/2 assegnata, di vederlo uscire
almeno una volta?
 89 
89!
  4! 85 !
4
   89! 5  4!85 !  5  1
p 
90!
4! 85 ! 90  89!
90 18
 90 
  5! 85 !
5 
La probabilità di non vederlo uscire nessuna volta è
q  1 p  1
1 17

18 18
 n  0 n  17 
Dopo n lanci la probabilità di non vederlo uscire mai è p0    p q  

 18 
0
n
 17 
La probabilità di vederlo uscire almeno una volta. 1  p0  1  

 18 
n
 17  1
Allora per avere almeno ½ di probabilità devo imporre 1  
 
2
 18 
n
1
 17 
ln    ln
2
 18 
1
 17 
n ln    ln
2
 18 
n
n
n
1
 17 
   
2
 18 
ln1  ln 2
ln 2

ln17  ln18 ln18  ln17
2. Siano dati una sfera di raggio r, il cubo in essa inscritto e il cono inscritto nel cubo. Si scelga a caso un
punto all’interno la probabilità che tale punto risulti interno al cono.
AB  l Per il teorema di pitagora GA2  AE 2  EG 2
4R2
2R
2
2
2
2
l
AE  2l GE  l da cui 4 R  2l  l l 
3
3
Intanto calcoliamo il lato del cubo
GA  2R
2
1 l
1
1 8R3
8R3
V (cono)     l   l 3  
Allora V (cubo)  l 
3 2
12
12
27
27
3
1 8R

3
V (cono) 12
3
1
3
27  1  8R
p



3
4
V ( sfera)
12
27 4 R
2 27 18
 R3
3
3
Pni- 2008
1. Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta. Si scelga a caso un punto all’interno del cono. Si
determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera.
se poniamo EF  R
Calcoliamo gli altri elementi in funzione di R e FG=x
in generale abbiamo che
DB CD
R( x  R)

DB 
DC=x+R CE  x2  R2 e
EF CE
x2  R2
Però dato che si tratta di un cono equilatero e quindi la sezione è un triangoli equilatero. Abbiamo
che EF  R CF  2R CE  3R CD  3R DB  3R
4
1
1
1
V ( sfera)   R 3 V (cono)  Abase h   DF 2CD   3R 2 3R  3 R3
3
3
3
3
4 3
R
V (cono)  V ( sfera)
V ( sfera)
4 5
3
Allora p 
 1
 1
 1 
3
V (cono)
V (cono)
 3R
9 9
2. In una classe composta da 12 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti. Qual è la
probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente 4 studentesse?
Dato che vi sono esattamente 4 studentesse, gli altri 4 studenti sono maschi e quindi
12  8  12! 8!
  
4 4
495  70
p      8!4! 4!4! 
 0, 28
20!
125970
 20 
 
8!12!
8 
3.Un meteorite cade sulla Terra; qual è la probabilità che il punto d’incontro si trovi tra l’equatore e il tropico
del Cancro (latitudine λ = 23° 27’ nord)?
Area segmento sferico a due basi
h  HA  R sin  r1  R
r2  R cos 
Area(segmento)  Area(semisfera)  Area(calotta)  2 R2  2 R( R  R sin  ) 
Area(segmento)  2 R 2 sin  
p
Area(segmento) 2 R 2 sin  sin 


 0, 2
Area _ sfera
4 R 2
2
Pni 2007
4. Si consideri la funzione:
( x   )2

1
2
f ( x) 
e 2 Se ne spieghi l’importanza nelle applicazioni della matematica illustrando il
 2
2
significato di  ,  ,  tali parametri influenzino il grafico di f(x).
6. Si scelga a caso un punto P all’interno di un triangolo equilatero il cui lato ha lunghezza 3.
Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1.
Area( settore) 
3 2 9 3
1 2

Area(triangolo) 
l 
R
4
4
2
6

3
Area(triangolo)  3 Area( settore)
 4
p
 1 6  1
 0, 6
Area(triangolo)
29 3
9 3
4
suppletiva 2007
r2
Area(cerchio2)
1
p
 42   0, 25
Area(cerchio)
r
4

x  3
 x   x  2
x  3
x!
( x  2)!

x  3 5   


 5
3! x  3! 3! x  1!
3  3

x  2  3 x  1
x!
( x  2)( x  1) x !
( x  2)( x  1)
5

5
5  x 1 ( x  2)  ( x  2)( x  1)
3! x  3! 3! x  1 ( x  2)( x  3)!
 x  1 ( x  2)
5( x 2  3x  2)  x 2  3x  2 5 x 2  15 x  10  x 2  3x  2 4 x 2  18 x  8  0
4
1
97
 x  4 le soluzioni accettabili sono solo x=3 e x=4
x
 1
2
4
2
Pni 2006
5. Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo
 a  b
n
2
2 n per ogni n ∈N .
n
    a n k b k ponendo a=b=1 ho che la somma dei coefficienti sarebbe
k 0  k 
n
n
  k   (1  1)
k 0
( a  b) n
 
n
 2n
7. Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici italiani del secolo scorso, del quale
ricorre quest’anno il centenario della nascita, alla domanda: “che cos’è la probabilità?” era
solito rispondere: “la probabilità non esiste!”. Quale significato puoi attribuire a tale risposta?
E’ possibile collegarla ad una delle diverse definizioni di probabilità che sono state
storicamente proposte?
8. Un tiratore spara ripetutamente ad un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun
tiro. Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥ 0,99 di colpirlo almeno una volta?
p  0,3 q  1  p  0, 7
n
p0    p k q n k  (0, 7)n
0
n
n
la probabilità di colpirlo almeno una volta 1  (0, 7)  0,99 (0, 7)  0, 01 n ln(0, 7)  ln 0, 01
ln 0, 01
n
 12,9 da n=13 volte in poi.
ln(0, 7)
Probabilità di non colpirlo mai
Pni 2006 suppletiva
9. Un’urna contiene 150 palline, che possono essere di vetro o di plastica, bianche o nere. Per la
precisione: 62 palline sono bianche, 38 sono di vetro nero e 40 sono di plastica bianca.
Calcolare la probabilità che, estratta a caso una pallina, NON sia di plastica nera.
Palline 150
- BV BP
NV NP
62 Palline sono bianche 150-62=88 sono nere
38 vetro nero  rimango 50 nere che sono plastica
40 plastica bianca  22 rimangono bianche che sono di vetro
Nere
88
38 v
50 P
Bianche
62
22 V 40 P
38  22  40 100 2
50 100
p



oppure p  1 
150
150 3
150 150
10. In ciascuna di tre buste uguali vi sono due cartoncini: in una busta essi sono bianchi, in un’altra
sono neri, nella terza sono uno bianco e l’altro nero. Si estrae a caso una busta e, da essa, un
cartoncino. Qual è la probabilità che il cartoncino rimasto in questa busta sia dello stesso colore
di quello estratto?
1
BB
P=2/3
2
BN
3
NN
10. Una classe è formata da 28 alunni, di cui 16 femmine e 12 maschi. Fra le femmine ci sono due
“Maria” e fra i maschi un solo “Antonio”. Si deve formare una delegazione formata da due
femmine e due maschi. Quanto vale la probabilità che la delegazione comprenda “Antonio” e
almeno una “Maria”?
la possibilità che non contenga nessuna aria è
p
(14  14  1)(11)
(29)(11)
(29)(11)
319



 0, 04
16 15 12 11 8 15  6 11 7920
16 12 
  
2
2
 2  2 
Pni 2005
7. Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio? Quale è
il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché?
9. Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando due dadi? Se i lanci vengono ripetuti quale è la
probabilità di avere due 10 in sei lanci? E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in sei
lanci?
2
4
 n  k nk  6  2 4 6  5  1   11 
4+6 5+5 6+4
p2    p q    p q 
     0, 07
2  12   12 
k 
 2
6
115
 11 
p  X  2   p2  p3  p4  p5  p6  1  p0  p1  1     6 6  0, 73
12
 12 
3
1
p

36 12
10. Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più. Può l’età media della popolazione di
quel Paese essere uguale a 30 anni? Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta.
Se la popolazione ha n abitanti
40% >= 60 anni
n1
 0, 4 e sia
n
m1 
x1  x2  ...  xn1
n1
 60
x '1  x '2  ...  x 'n2
n2
 0, 6 m2 
n
n2
x1  ...  xn1  x '1  ...  x 'n2
m1  n1 m2  n2

 30
 30
n
n
n
30  0, 4  60
0, 4  60  0, 6m2  30
m2 
 10
0, 6
60% <60 anni
Non può dato che la media del 60% delle persone dovrebbe essere inferiore a 10 anni.
Quale significato attribuisci al simbolo.
12  k k  12
12  k  3 k  15
12!
12!

k !12  k ! (k  3)!15  k !
n
12  12 
  ? Esiste un k tale che    

k 
 k   k  3
1
1

k (k  1)(k  2) 15  k  (14  k )(13  k )
15  k  (14  k )(13  k )  k (k 1)(k  2)
….
Quante diagonali ha un poligono di 2008 lati?
Per un poligono di n lati escono n-1 segmenti meno 2 che sono lati.
n-1-2=n-3 allora le diagonali sono
d
n(n  3)
2
2008(2005)
2
2005
1.In un urna ci sono due palline bianche, in una seconda urna ci sono 2 palline nere,in una terza urna ci
sono una pallina bianca e una nera. Scegli sempre a caso un un’urna e scegli sempre a caso una pallina
delle due palline in essa contenuta: essa è bianca. Saresti disposto a scommettere alla pari che la pallina
rimasta nell’urna che hai scelto sia essa pure bianca?
1
BB
2
NN
P(E)=2/3
3
BN
P(E’)=1/3 la scommessa non è alla pari.
Pni 2004
PROBLEMA 1
Sia γ la curva d’equazione: f ( x)  ke
ove k e λ sono parametri positivi.
1. Si studi e si disegni γ;
C.E. (; ) funzione pari
  x2
f ( x)  ke x  0 sempre e mai nulla
2
lim ke   x  0 y=0 A.O.
2
x 
f '( x)  2 xke x  0
2
x  0 Max(0, k )
f ''( x)  2k e x  2 x 2e x   2ke x 1  2 x 2   0


1
1
concavità verso il basso

x
2
2
2
2
2
2. si determini il rettangolo di area massima che ha un lato sull.asse x e i vertici del lato
opposto su γ;

 B  t; ke  D t;0 E  t;0
 t 2
Il rettangolo inscritto avrà i punti
C t; ke t
Area(t )  BD  BC  t  ket
Area '(t )  ket  (2t )t  ket  ket (1  2t 2 )  0
1
2
t



2
2
2
1
2
t
massimo per
3. sapendo che
2
2
e x dx   e assumendo  
2
1
si trovi il valore da attribuire a
2
k affinché l’area compresa tra γ e l’asse x sia 1;



ke

x2
2

dx  2  ke
 x 


 2

2
d
x
 k 2   1 k 2  1 k 
2
1
2
4. per i valori di k e λ sopra attribuiti, γ è detta curva standard degli errori o delle
probabilità o normale di Gauss ( da Karl Friedrich Gauss, 1777-1855). Una media
e uno scarto quadratico medio
k
Per
0
  1 come modificano l’equazione e il grafico?
1
1
  Rappresentano distribuzione avente media   0   1
2
2

1
In generale la distribuzione di gauss è data da f ( x) 
e
 2
 x  2
2 2
4. Dati gli insiemi A={ 4 , 3 , 2 , 1} = A e B={ c , b , a } quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in
B?
1
A,b,c
2
A,b,c
3
A,b,c
4
A,b,c
4
Quidi le applicazioni sono 3
9. Due giocatori, A e B, giocano a “Testa o Croce” con una moneta le cui facce hanno la
stessa probabilità di uscire. Ciascuno di loro punta la somma S. Chi vince porta via l’intera
posta. Il gioco si svolge con la seguente regola: «Il giocatore A lancia la moneta: se esce “Testa”
vince, altrimenti il gioco passa a B. Questi, a sua volta, lancia la moneta e vince se viene
“Croce”, in caso contrario il gioco ritorna ad A, che ripete il lancio e vince se viene “Testa”. In
caso contrario il gioco ripassa a B, che vince se viene “Croce”. Se B non vince il gioco ha
termine e ciascuno dei due giocatori riprende la somma che aveva puntato». Il gioco è equo?
8. Si consideri l’esperimento consistente nel lancio di due dadi con le facce numerate da “1” a “6”, aventi
tutte le stesse possibilità di uscire. Si ottiene un successo se, nell’esperimento, esce almeno
un “5”. Determinare il minimo numero di volte in cui bisogna effettuare l’esperimento per garantirsi una
probabilità pari almeno al 99% di ottenere almeno un successo.
5 +(1 o 2 o 3 o 4 o 6)
(1 o 2 o 3 o 4 o 6)+5
5+5
p
11
36
q
25
36
n
n
ln 0, 001
 11 
 11 
 3,88 almeno 4 volte.
1  p0  99 1     99    0, 01 n 
ln11  ln 36
 36 
 36 
9. Alla finale dei 200 m piani partecipano 8 atleti, fra i quali figurano i nostri amici Antonio e Pietro. Sapendo
che sul podio finiscono i primi 3 classificati e ammesso che tutti gli atleti abbiano le
stesse possibilità, calcolare le probabilità che:
a) sul podio finiscano sia Antonio che Pietro;
b) almeno uno dei due finisca sul podio;
c) nessuno dei due finisca sul podio.
p
6  D3,2
D8,3
Nessuno dei due finisca sul podio. ,
p  1
D6,3
D8,3
,
p
D6,3
D8,3
2003
1. Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel
campionato italiano a 18 squadre?
Partite=18*17
2. Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose.
A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C
ne contiene 1000 con il 10% difettose.
Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Quale è la probabilità che essa sia
difettosa?
p
1 5 1 20 1 10


3 100 3 100 3 100
9) Un’urna contiene 30 palline uguali in tutto e per tutto fuorché nel colore: infatti 18 sono bianche e 12 nere.
Vengono estratte a caso, una dopo l’altra, due palline. Qual è la probabilità che la seconda pallina estratta
sia bianca sapendo che la prima:
a) è bianca e viene rimessa nell’urna?
p
18
30
b) è bianca e non viene rimessa nell’urna? p 
c) è messa da parte senza guardarne il colore?
p
18 17 12 18

30 29 30 29
17
29
PROBLEMA 2.
Un gruppo di persone è costituito da 3 uomini e dalle rispettive mogli. Ciascun uomo sceglie a caso una fra
le 3 donne, con uguali possibilità di scelta, per un giro di ballo.
a) Calcolare quante sono le possibili terne di coppie di ballerini.
b) Calcolare la probabilità che:
2
6
3
2) un solo uomo balli con la propria moglie, p 
6
1) nessun uomo balli con la propria moglie, p 
3) tutti e tre gli uomini ballino con le rispettive mogli. p 
1
6
c) Il gioco viene effettuato per n volte. Calcolare:
1) per n=24, il numero medio di volte in cui tutti e tre gli uomini ballano con le rispettive mogli;
1
m  np  24  4
6
2) per n=4, la probabilità che non più di 2 volte capiti che nessun uomo balli con la propria moglie;
p
1
2
q
3
3
 4  0 4  4  1 3  4  2 2 24
1 23
1 22 72
p0  p1  p2    p q    p q    p q  4  4 3  6 2 2 
3
33
3 3
81
0
1 
 2
3) per n=60, la probabilità che esattamente 30 volte capiti che un solo uomo balli con la propria moglie;
n=60 è un numero troppo grande allora uso la distribuzione di guass.
Dove
1
2
  np  60  30   npq  60

1
f ( X  30) 
e
15 2
(3030)2
2(15)
11
 15
22
1
30

4) per n=15, la probabilità che almeno 14 volte capiti che almeno un uomo balli con la propria moglie.
15 
15 
1 1 1
p14  p15    p14 q1    p15 q 0  15 14  15
2 2 2
14 
15 
N.B.: Per l'uso che il candidato, se crede, ne può fare, si forniscono le formule della probabilità binomiale e
della distribuzione normale:
,
(
).
2002
1. Se a e b sono numeri positivi assegnati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica?
Quale delle due è più grande? E perché? Come si generalizzano tali medie se i numeri assegnati sono n?
ma 
ab
2
mg  ab
ab
 ab a  b  2 ab a 2  b 2  2ab  4ab (a  b)2  0 sempre vera
2
a  a  ...  an
ma  1 2
mg  n a1a2 ...an
n
2. Il seguente è uno dei celebri problemi del Cavaliere di Méré (1610 - 1685), amico di Blaise Pascal:
“giocando a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado, oppure
almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi?”
4
5
1 p  X  1  1  p0  1     0,52
6
24
 35 
Doppio 1 p  X  1  1  p0  1  
  0, 49
 36 
3. Assumendo che i risultati - X, 1, 2 - delle 13 partite del Totocalcio siano equiprobabili, calcolare la
probabilità che tutte le partite, eccetto una, terminino in parità.
p
2 13
313
1. Da un’urna contenente 90 palline numerate se ne estraggono quattro senza
reimbussolamento. Supponendo che l’ordine in cui i numeri vengono estratti
sia irrilevante, come è nel gioco dell’Enalotto, si calcoli la probabilità che esca
la quaterna (7, 47, 67, 87).
p
1
 90 
 
4 
2. Calcolare la probabilità che in dieci lanci di una moneta non truccata dal
quinto lancio in poi esca sempre testa.
p
1
26
Dimostrare la formula che esprime il numero delle combinazioni semplici di n oggetti presi a k a k in funzione
del numero delle disposizioni semplici degli stessi oggetti presi a k a k e delle permutazioni semplici su k
oggetti.
Un’urna contiene 100 palline numerate da 1 a 100. Determinare la probabilità che estraendo a caso una
pallina, essa sia contrassegnata da un numero:
A  Divisibile _ per _ 8 , B  Divisibile _ per _10 A  B  40,80
12 10
2
20



divisibile per 10 o per 8, p ( A  B ) 
100 100 100 100
divisibile per 10 e per 8,
p( A  B) 
2
100
non divisibile per 10 né per 8. p  1  p ( A  B)  1 
20
80

100 100
2001
8) Una classe è composta da 12 ragazzi e 4 ragazze. Tra i 16 allievi se ne scelgono 3 a caso: qual è la
probabilità che
12 
12!
  3! 9 !
 3      12 1110  11
essi siano tutti maschi? p 
16!
16 15 14 28
16 
  3!13!
3 
2000
6.
Nell’insieme delle cifre 1,2,3,………..,9 se ne scelgono due a caso. La loro somma è pari: determinare
la probabilità che entrambe le cifre siano dispari.
I  1, 2,3, 4,5,6,7,8,9
E  due _ cifre _ dispari , B  somma _ due _ pari
La somma pari viene data da due dispari
5
 4
  e due pari.   .
 2
 2
5
I numeri con due cifre dispari sono  
 2
5
5 4
 
2
10 5
2
P( A | E )    
 
 5   4  5  4  4  3 16 8
  
2
2
 2  2
Calcoli infine la probabilità che lanciando un dado cinque volte, esca per tre volte lo stesso
numero.
Probabilità che esca lo stesso numero.
Probabilità che esca un numero 3 volte su 5 lanci, per esempio 1
 5  1 52
5! 52
52 250
P(1)    3 2 
 10 5  5
2! 3! 65
6
6
 3 6 6
Ripetuto per 6 volte ho che per tutti i numeri ho che
p6
250 250
 4
65
6