Problema 1 Una stazione meteorologica al suolo fornisce i seguenti

Problema 1
Una stazione meteorologica al suolo fornisce i seguenti dati:
Pressione:
980 hPa
Temperatura:
297.15 K
Temperatura di bulbo bagnato:
291.0 K
Sulla base di un radiosondaggio si hanno inoltre i seguenti dati riferiti a diverse quote esplorate in
successione dalla radiosonda:
Pressione (hPa)
900
800
600
500
Temperatura (K)
293
283.3
260
253.15
Si valutino, utilizzando se necessario la carta pseudo-adiabatica, i seguenti parametri:
al suolo:
(a) la temperatura potenziale θ;
(b) il rapporto di mescolamento w;
(c) il punto di rugiada Td;
(d) l’umidità relativa UR;
in quota:
(e) il livello di condensazione forzata (LCL);
(f) la temperatura al livello di condensazione forzata;
(g) il livello di convezione libera (LFC);
(h) la temperatura al livello di convezione libera.
Ipotizzando che la temperatura vari linearmente con la quota nei vari strati, indicare il loro carattere di
stabilità.
Soluzione
Ricavo la temperatura potenziale al suolo:
1000
= 298.87
980
Il rapporto di mescolamento al suolo e la temperatura di rugiada al suolo possono essere ricavati dalla
carta pseudo-adiabatica:
≅ 10.5 ! " #$
# ≅ 14.25°'
Dalla carta pseudo-adiabatica ricavo il valore del rapporto di mescolamento a saturazione per il punto
al suolo:
$
(, ≅ 19 ! " #
Posso quindi ricavare l’umidità relativa al suolo:
10.5
*+ =
=
≅ 55%
19
(,
=
= 297.15
I valori dei parametri richiesti in quota possono essere ricavati dalla carta pseudo-adiabatica:
-'- ≅ 870ℎ/0
121 ≅ 12.75°'
-3' ≅ 790ℎ/0
142 ≅ 7.5°'
Per individuare il carattere di stabilità dei tratti di atmosfera ricavo la temperatura potenziale nei punti
in quota a disposizione e poi verifico come la temperatura potenziale varia con la quota:
=
6
=
=
=
6
= 293
1000
900
= 302.0
= 260
1000
600
= 300.9
= 283.3
6
1000
800
= 253.15
1000
500
= 302.0
Ne consegue che:
>
atmosfera stabile
=
atmosfera neutrale
atmosfera instabile
6 <
> 6
atmosfera stabile
= 308.7
Problema 2
B
A
C
Una stazione meteorologica posta nel punto A fornisce i seguenti dati:
Temperatura dell’aria
Pressione atmosferica
Rapporto di mescolamento
14°C
950 hPa
8 gv kgd-1
Sapendo che dal punto A al punto B, dove la pressione è di 750 hPa, precipita al suolo il 70%
dell’acqua condensata durante il tragitto tra questi due punti e sapendo che la pressione atmosferica nel
punto C è identica a quella nel punto A, calcolare i seguenti parametri:
a) la temperatura di rugiada nel punto A;
b) la temperatura di bulbo bagnato nel punto A;
c) l’umidità relativa nel punto A;
d)
e)
f)
g)
h)
i)
il livello di condensazione forzata (LCL);
la temperatura al livello di condensazione forzata;
la quantità di acqua condensata nel tragitto dal punto A al punto B;
la temperatura nel punto B;
la temperatura nel punto C;
l’umidità relativa nel punto C.
Soluzione
Le temperatura di rugiada e di bulbo bagnato nel punto A possono essere ricavate dalla carta pseudoadiabatica
#,: ≅ 10°'
;,: ≅ 11.5°'
Dalla carta pseudo-adiabatica ricavo il valore del rapporto di mescolamento a saturazione per il punto
A:
$
(,: ≅ 10.5 ! " #
Posso quindi ricavare l’umidità relativa nel punto A:
8
:
*+: =
=
≅ 76%
10.5
(,:
Dalla carta pseudo-adiabatica posso ricavare anche l’LCL e la relativa temperatura:
-'- ≅ 900ℎ/0
121 ≅ 9°'
Dalla carta pseudo-adiabatica vedo che nel punto B il rapporto di mescolamento a saturazione è pari a
circa 5.4 gv kgd-1. La quantità di acqua condensata è quindi:
∆ =># = (,: − (,@ = 2.6 ! " #$
Dalla carta pseudo-adiabatica ricavo la temperatura nel punto B:
@ ≅ 1°'
Sapendo che precipita il 70% dell’acqua condensata, posso ricavare questo valore:
∆ ABC = 0.7 ∙ ∆ =># = 1.82 ! " #$
A questo punto so che nella fase di discesa dal punto B al punto C scenderò lungo l’adiabatica satura
fino ad incontrare l’isoigrometrica a saturazione pari a wA-∆wprec=8-1.82=6.18 gv kgd-1, che rappresenta
il rapporto di mescolamento dell’aria a valle della catena montuosa, dopo che parte del vapore acqueo è
precipitato. Dopodiché la discesa continuerà fino al punto C lungo l’adiabatica secca.
Siamo quindi ora in grado di ricavare dalla carta pseudo-adiabatica la temperatura nel punto C:
2 ≅ 18°'
Dalla carta pseudo-adiabatica ricavo il rapporto di mescolamento a saturazione nel punto C:
$
(,2 ≅ 13.5 ! " #
Sapendo che nel punto C il rapporto di mescolamento è di 6.18 gv kgd-1, posso calcolare l’umidità
relativa nel punto C:
6.18
2
*+2 =
=
≅ 46%
13.5
(,2
Problema 3
Marte ha un raggio di 3400 km e si trova ad una distanza dal Sole di 228E106 km. Sapendo che la
temperatura superficiale del Sole è di 5770 K e che il suo raggio è di 7E108 m, calcolare:
a) l’irradianza solare in arrivo al top dell’atmosfera di Marte, ipotizzando che il Sole si comporti
come un corpo nero.
Tralasciando inizialmente la presenza dell’atmosfera e assumendo un albedo A = 0.17, calcolare,
ipotizzando che Marte sia in equilibrio radiativo:
b) l’irradianza EM della radiazione emessa da Marte;
c) la temperatura media superficiale T di Marte, ipotizzando che si comporti come un corpo nero;
d) la lunghezza d’onda di picco alla quale Marte emette.
Tenendo ora in considerazione anche la presenza dell’atmosfera, calcolare:
e) la temperatura superficiale media di Marte;
f) la temperatura media della sua atmosfera.
Si assuma che l’atmosfera di Marte abbia un coefficiente di assorbimento as pari a 0.05 per la
radiazione solare ad onda corta, un coefficiente di assorbimento al pari a 0.2 per la radiazione ad onda
lunga emessa, e un’emissività εa pari a 0.8
Soluzione
Il flusso di radiazione solare, cioè l’irradianza moltiplicata per l'area della sfera attraverso la quale
passa, è indipendente dalla distanza. Quindi il flusso di radiazione emesso dalla superficie solare deve
essere uguale al flusso di radiazione che attraversa l'area della sfera avente come raggio la distanza
Sole-Marte. Prendendo come riferimento la figura sopra riportata, posso quindi scrivere:
FG 4HIG
FG$J 4HIG$J
L’irradianza sulla superficie solare può essere calcolata con la legge di Stefan-Boltzmann:
FG K G
5.67 ∙ 10$ ∙ 5770
62847255LM$
Posso quindi ricavare l’irradianza solare in arrivo al top dell’atmosfera di Marte ES-M:
N7 ∙ 10 O
IG
FG$J FG
62847255
592.4LM$ N228 ∙ 10P O
IG$J
Come si può vedere dalla figura sopra, i raggi solari in arrivo su Marte sono intercettati da un’area
πrM2, dove rM è il raggio di Marte, mentre la radiazione ad onda lunga viene emessa da Marte da
un’area 4πrM2.
Tralasciando la presenza dell’atmosfera e assumendo un albedo A = 0.17, posso calcolare quindi
l’irradianza della radiazione emessa da Marte EM, ipotizzando che sia in equilibrio radiativo:
N1 ? QOFG$J HIJ FJ 4HIJ N1 ? QOFG$J N1 ? 0.17O ∙ 592.4
122.9LM$ 4
4
Invertendo la legge di Stefan-Boltzmann posso ricavare la temperatura superficiale media di Marte TM,
ipotizzando che si comporti come un corpo nero:
FJ
FJ
122.9
215.8
K
5.67 ∙ 10$
Dalla legge di Wien posso ricavare la lunghezza d’onda di picco alla quale Marte emette:
2897 2898
RJ
13.43SM
215.8
J
J
Tenendo in considerazione la presenza dell’atmosfera su Marte, con riferimento alla figura sopra si
possono scrivere i seguenti bilanci:
= U V N1 ? 0W OX
F
T G$J
N1 ? 0( OFG$J V U X
Risolvendo questo sistema posso ricavare i valori di x, cioè l’irradianza della radiazione emessa dal
suolo di Marte, e di y, cioè l’irradianza della radiazione emessa dall’atmosfera di Marte.
X 133.1LM$
T
U 16.4LM$
A questo punto, invertendo la formula di Stefan-Boltzmann, posso ricavare la temperatura del suolo e
dell’atmosfera di Marte:
G,J
[\],J
X
Y Z
K
U
133.1
5.67 ∙ 10$
^[\] K
220.1
16.4
0.8 ∙ 5.67 ∙ 10$
137.9
Problema 4
Alla quota di 5000 m s.l.m. nell’intorno del punto di coordinate x0 = 1000 km, y0 = 5000 km, che si
trova a una latitudine φ=45°N, il campo di pressione presenta localmente la seguente struttura:
  x - x 2  y - y 2 
0
0  
 −
p(x, y ) = p 0 1 − 
  L x   L y  


con Lx = 5000 km, Ly = 4000 km p0 = 560 hPa.
Si valutino le componenti uG e vG del vento geostrofico nel punto A di coordinate xA = 1430 km, yA =
5560 km, sapendo che la temperatura al livello del mare, nel punto al di sotto della verticale di A, è pari
a T0A = 293 K e il profilo di temperatura presenta un gradiente verticale Γ = 6.5 K km-1. Si ipotizzi aria
secca.
Soluzione
Equazioni vento geostrofico:
b̀c = − 1 g
d
ef gU
à h = 1 g
d
ef gX
_
In questo caso:
2 X−X
g
=−
-i
-i
gX
g
2 U−U
=−
gU
-j
-j
Nel punto A:
2
g
1430 ∙ 106 − 1000 ∙ 106
= −56000
= −1.92 ∙ 10$6 /0M$
5000 ∙ 106
gX :
5000 ∙ 106
g
2
5560 ∙ 106 − 5000 ∙ 106
= −56000
= −3.92 ∙ 10$6 /0M$
gU :
4000 ∙ 106
4000 ∙ 106
Sapendo la temperatura al livello del mare sotto il punto A e il gradiente verticale di temperatura, si
può ricavare la temperatura a 5000 m s.l.m. nel punto A:
: =
,: − ΓΔm = 293 − 0.0065 ∙ 5000 = 260.5
Si può poi ricavare la pressione nel punto A:
1430 − 1000
5560 − 5000
o = 544.88ℎ/0
−
: = 56000 n1 −
5000
4000
Dall’equazione di stato, ipotizzando aria secca, posso ricavare la densità nel punto A:
54488
:
=
= 0.73" M$6
e: =
+# : 287 ∙ 260.5
Una volta calcolato anche il parametro di Coriolis:
f = 2pqrst = 2 ∙ 7.292 ∙ 10$u qrs45° = 1.03 ∙ 10$ q $
dove Ω è la frequenza angolare di rotazione terrestre, sostituendo i valori trovati nelle equazioni del
vento geostrofico si ottiene per il punto A:
1
N−3.92 ∙ 10$6 O = 52.13Mq $
cd,: = −
$
0.73
∙
1.03
∙
10
v
1
N−1.92 ∙ 10$6 O = −25.54Mq $
hd,: =
0.73 ∙ 1.03 ∙ 10$
Esercizio 1
Si dimostri che nel caso di uno strato di aria secca il criterio per la stabilità di una particella d’aria
rispetto a moti verticali è la presenza di un gradiente verticale positivo di temperatura potenziale θ.
Soluzione
Prima di tutto scrivo l’espressione della temperatura potenziale:
=
Passo ai logaritmi:
ws = ws V
+#
Nws
xA
− ws O
Differenzio:
y
y
+# y
=
−
xA
1y
1y
+# 1 y
=
−
ym
ym xA ym
Sostituendo l’equazione idrostatica = −e :
#z
1y
+# e
1y
=
V
ym
ym xA
Dall’equazione di stato ricavo che
1y
1y
1
=
V
ym
ym
xA
#|
#z
= −Γ e che
#A
{
A
= |, quindi:
= Γ# , posso scrivere:
y
= Γ# − Γ
ym
Quindi si è dimostrato che la presenza di un gradiente verticale di temperatura potenziale positivo
#}
Y > 0Z corrisponde al criterio per la stabilità di una particella d’aria rispetto a moti verticali ~NΓ# −
Ricordando che
#z
ΓO > 0•.
Esercizio 2
Partendo dall’equazione di Planck:
dove:
c1 = 3.74E10-16 W m2
c2 = 1.45E10-2 m K
ۥ N O =
x R$u
HNr ‚ ⁄•| − 1O
Ricavare:
a) la legge di Wien per il calcolo della lunghezza d’onda alla quale si ha il massimo
dell’emissione;
b) la legge di Stefan-Boltzmann.
Soluzione
a)
Nel range di lunghezza d’onda di interesse l’equazione di Planck può essere riscritta nella seguente
maniera:
x R$u
N
O
ۥ
=
Hr ‚ ⁄•|
In quanto per lunghezze d’onda non troppo grandi r ‚ ⁄•| ≫ 1
A questo punto per ricavare la lunghezza d’onda alla quale si ha il massimo dell’emissione derivo
l’equazione di Planck in λ e impongo che questa derivata sia nulla:
‚
x $ $ ‚
R$ x
x
yۥ 1
$… $•|
$u
•|
= Y−5x R r
Vx R
R r Z=
Y−5R
V
Z=0
‚
H
yR
Hr •|
Per annullare l’espressione ricavata basta che sia nullo il termine tra parentesi:
x
−5R V = 0
R=
x
1.45 ∙ 10$ M
=
5
5
=
2900SM
Il flusso o irradianza monocromatica è dato da H€• N O = ~C ‰‚†⁄Š‹ $
b)
•
•
x R$u
•‡ˆ
•
Il flusso totale emesso da un corpo nero si ottiene integrando su tutte le lunghezze d’onda:
3 = H Œ €• N OyR = Œ
yR
− 1Z
Faccio una sostituzione di variabili:
x
x
x
=X⟹R=
⟹ yR = −
yX
R
X
X
per R → 0, X → V∞, mentre per R → V∞, X → 0.
•
x $u
x Y Z
x
x
X6
FN O = − Œ i X
yX =
Πi
yX
Nr − 1O X
N r − 1O
x
Il termine
•
†
‘
‚
’
•
i“
NC ” $
O
Yr •|
‚
yX è una costante, in particolare è la costante di Stefan-Boltzmann σ.
Quindi l’equazione di Stefan-Boltzmann risulta semplicemente essere:
FN O = K