Esame di Matematica del Continuo – 09/07/2013 0. Verifica

Esame di Matematica del Continuo – 09/07/2013
0. Verifica prerequisiti – tempo 30 minuti
soglia ammissione scritto: 8 risposte corrette
1
Moltiplicare per x entrambi i membri dell’equazione 2x = 1 altera l’insieme delle soluzioni?
5 1
−
9 6
2 1
−
3 2
−1
2
Ridurre l’espressione
ad un rapporto tra interi
3
Calcolare
4
Risolvere la seguente equazione
1+x
=0
1−x
5
Risolvere la seguente equazione
4x − 3 · 2x = 0
6
Risolvere la seguente equazione
7
Risolvere la seguente disequazione
8
Risolvere il seguente sistema di disequazioni
9
Risolvere la seguente disequazione
25− log5 6
√
3
x + 2 = −1
x−5
>1
4 − 3x
10
x2 < 2x
3x − 5 ≤ 0
log1/2 x + 1 > 0
Disegnare il grafico qualitativo di y = x3 e posizionare il punto
√
2, 2 rispetto al grafico
Esame di Matematica del Continuo – 09/07/2013
1. Abilità di calcolo – tempo 2 ore
soglia ammissione orale: 9 punti
√
Determinare la forma algebrica del numero complesso
Esercizio 2 (3 punti)
Dimostrare che l’equazione x + 1 = 2 arctan x non ammette soluzioni positive
Esercizio 3 (4 punti)
Calcolare
Z
3+i
10
Esercizio 1 (2 punti)
x
dx
x2 + 2x + 5
Esercizio 4 (3 punti) Determinare lo sviluppo asintotico per x → +∞ dell’espressione
al massimo ordine consentito dall’imprecisione presente nella stessa
p
x6 + x5 − 2x3 + O(x2 )
3n
X
k −2 tramite il
Esercizio 5 (3 punti)
confronto integrale
Determinare il comportamento asintotico della successione an =
Esercizio 6 (3 punti)
Determinare la funzione generatrice della successione an = (−1)n + n dove n ≥ 0
k=n
Esame di Matematica del Continuo – 09/07/2013
2. Comprensione della teoria – tempo 1 ora
soglia ammissione orale: 6 punti
Argomento 1 (2 punti) Nell’ambito delle successioni, dare la definizione corrispondente ad an → −∞ e quindi
usarla per dimostrare che tale affermazione è vera quando an = 4n − n2
Argomento 2 (2 punti)
Usando la formula del binomio di Newton, dimostrare che 114 = 14641
n+1
n−1
Argomento 3 (2 punti)
Stabilire se l’affermazione
> 10n è o meno definitivamente vera sui naturali
Argomento 4 (2 punti)
falsa
Nell’ambito delle successioni, stabilire se l’affermazione O(n2 ) = o(n5/2 +n) è vera oppure
Z
Argomento 5 (2 punti)
Definire e calcolare l’integrale improprio
1
Argomento 6 (2 punti)
consecutivi
2
√
3
dx
x−1
Determinare un’equazione di ricorrenza per il numero delle stringhe decimali prive di zeri