SULLA TEORIA DEI GRUPPI

R. TAUCER (Trieste - ItaMa)
SULLA TEORIA DEI GRUPPI
1. - Si immagini una coMettività chiusa F di individui deMa medesima età ed
aventi una caratteristica o stato fisiologico suscettibile di n aspetti distinti, nel
senso che un individuo (x) appartenente a f e deMa caratteristica o specie (i)
possa, in seguito al verificarsi di un determinato evento, assumere una delle altre
caratteristiche o morire.
Senza togMer nuMa alla generaMtà, possiamo scomporre r in n gruppi distinti,
relativi aMe n caratteristiche, e supporre che esista un'età x0 aMa quale tutti
gM appartenenti a r siano della medesima specie (specie 1). Chiameremo A il
gruppo degM individui deMa specie (i), ed il numero di questi in età x lo designeremo con li(x), con JUì(X) denoteremo l'intensità di morte, con a^x) l'intensità di passaggio (diretto) da una specie (i) ad un'altra (j), ed infine con ßi(x)
l'intensità di uscita da TV
Ammetteremo che dette funzioni siano continue, finite e positive nel campo
[ # o ^ # ^ c o ] , dove co è l'età estrema deMa coMettività JT, e che sieno note le
espressioni anaMtiche deMe JUì(X) e a^(x).
La conoscenza del sistema deMe intensità è sufficiente per trattare anaMticamente qualsiasi problema attuariale riguardante la coMettività JT. In questa breve
nota ci proponiamo di studiare la formazione e la vita dei gruppi 7^ senza fare
ipotesi restrittive sui passaggi da una specie all'altra.
2. - Poiché tutti gM individui deMa coMettività JT appartengono aM'età x0 a A ,
segue che i rimanenti gruppi Fi saranno costituiti aM'età x esclusivamente da
immigrati, mentre il gruppo A comprenderà oltre a questi (ritorni dagli altri
gruppi), queMi che non uscirono mai dal gruppo. Si noti inoltre che, in forza
del teorema di KARUP, si ha per ß{(x) l'espressione notevole
n
ßi(x)=fxi(x) +
^Aair(x)
r=l
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COMUNICAZIONI
dove aH(x) = 0, e che la probabihtà relativa a un individuo di età | di r% di non
uscire dal suo gruppo neM'intervaMo £|—\x è data da
X
-jß%{z)dz
pf)(i,x) = e"
Tenuto conto di queste considerazioni, i gruppi A risultano logicamente
fissati dal sistema di n equazioni integraM di VOLTERRA di 2 a specie
n
»
li(x) = li(xQ)Pfì(x0, X) + ^
( 1 )
\
larL($p®(£,x)lr(t)de
„
* ( * H 2 fan(è)pm *)Wè)d£.
r = 1
(i=2, 3,...., n)
Xo
In questo sistema, i nuclei ari(^)pf}(^, x), che per sempMcità indicheremo in
seguito con Kir(x, f), sono funzioni finite, positive e continue in tutto l'intervaMo [x0 ^ | ^ x ^ co], in virtù deMe ipotesi fatte sulle funzioni jut(x) e a#(z).
Rappresentando M una frazione propria positiva, varrà quindi in questo campo
la disuguaglianza
Kir(x,Ç)<M.
La risoluzione del sistema (1) avviene per iterazione. Si avranno aMora per i
nuclei iterati le espressioni notissime (4)
n
?
K%+1\x, E H £ \Kf(x,
i-i s
rì)K^-k\r,,
f)A,
( * - 1 , 2,...., a).
Questi nuclei, nel caso che stiamo trattando, hanno un particolare significato ;
infatti, essendo
si avrà
^ >
n
(
^
H M
« ( ^ ) ,
x
K\f(x, f) - 2 f<*dv)P?Kv, *)<**(*)j$(f» V)*l
eioè
_
*
L'integrale che compare in questa formola rappresenta la probabihtà p$(£, x)
che ha un individuo (!) di / } di passare direttamente al gruppo i l nell'inter-
(*) VITO VOLTERRA: Leçons sur les équations
rentielles. Pag. 71.
intégrales
et les équations
integro-diffé-
R. TAUCER: Sulla teoria dei gruppi
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vaMo di tempo !l—\x e di rimanervi per il resto deM'intervaMo stesso; avremo
quindi la formola
n
y-i
Per K$(x, !) segue analogamente
K\f(x, ! ) - 2 faß(fj)p^(V, x) 2 M ! « ! , ?)d?,
y-i /
Ä-i
che si trasforma facilmente in
Qui l'integrale rappresenta, come del resto è facile dimostrare, la probabihtà
Phl(£,x) di un individuo (!) appartenente a rh di passare fra le età ! e x al
gruppo jTf, attraversando però uno qualunque dei rimanenti gruppi, e di rimanere per il resto deM'intervaMo in JT/. In sostanza esso è la probabiMtà che ha
un individuo (!) deMa specie (h) di assumere fra le età ! e x due aspetti di
cui il secondo è fissato. Con ciò, Kjf)(x, !) è dato da
n
Operando similmente, possiamo scrivere per 1' (s + l) m o nucleo iterato l'espressione
n
(2)
K^\x,
Ö - 2 a*(0jp#<& *)
dove pjf (!, a;) rappresenta la probabilità relativa a un individuo (!) del gruppo / }
di appartenere aM'età x al gruppo JT* dopo aver attraversato s — 1 gruppi qualunque, cioè la probabilità di assumere nell'intervaMo !l—\x s aspetti, di cui
l'ultimo è fissato. Per detta probabiMtà varrà l'espressione
(3)
tatò^SM^pS"*-1^,*)^
pam*)-È
dove k=0,l,2,....,s
— l, daMa quale si vede che pftfàx) ammette, come pure î
nuclei iterati Kir (x, !), s determinazioni formalmente distinte. Le formole (2)
e (3) si dimostrano mediante il principio deh' induzione completa : infatti vedremo
che se esse valgono per s, valgono anche per s + 1.
Componendo aMora il (k+l)mo
nucleo coM'(s + l— k)mo e tenendo conto deMe
posizioni fatte per i primi s nuclei iterati, si ricava per l'(s + 2) mo l'espressione
;=11
A=l
1=1
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COMUNICAZIONI
cioè
x
K^\x,
!) = | ] «w(!) 2 [ptk)& 9)2 °*(V)P®(V> *)dn
e, col semplice scambio di k in s—&, si ottiene la formola
K^2)(x, !) = 2 armp^ *>(!, s)
che si deduce pure daMa (2) con la sostituzione di 5 + 1 al posto di s. Visto che
detta formola vale per s=l, ne consegue che essa è vahda per qualunque s.
Dimostrate queste formole, passiamo a considerare certe probabiMtà che hanno
grande importanza nel nostro studio.
Designiamo con pfi(£, x) la probabilità che ha un individuo (!) di J} di
appartenere aM'età x a i l assumendo nell'intervallo !l—\x non più di t aspetti.
Essa è data evidentemente, in virtù del principio deMa probabiMtà totale, dall' espressione
t
Ä*)=2>#(l,ar).
Questa probabiMtà, coM' aumentare indefinito di t, tende ad un Mmite finito.
Infatti, ponendo neMa (3) k=s— 1 e ricordando che K\r(x, ! ) < J f , si deduce
x
agevolmente la
n
da cui
pj?(fi z)<n-L fr(x-èY
(8=1, 2, 3,....).
Questa disuguaghanza indica che le serie
00
sono uniformemente convergenti nel triangolo [x0 ^ ! ^ # ^ co]> perchè converge
in maniera uniforme la serie maggiorante
M(x-C) + n^(x-£Y
+ n*^(x--£y+
.... = 1 [**«(*-*>-1].
Nel campo considerato, dette serie costituiscono deMe funzioni — che chiameremo Pji(C, x) — continue, finite e positive.
Pji($, #)=lim Pji(£, x) viene ad essere la probabilità di un individuo (!) del
£—»-O0
gruppo J} di appartenere aM'età x al gruppo i l .
Arrivati a questo punto, cioè alla conoscenza deMe probabilità di appartenenza PJì(£, x), lo scopo del nostro studio sarebbe già raggiunto, poiché daMe p
si deducono immediatamente le l\ tuttavia vogMamo portare aMa fine la risolu-
R. TAUCER: Sulla
teoria dei gruppi
4dl
zione secondo il classico procedimento del VOLTERRA, ottenendo così una nuova
giustificazione deMe interpretazioni biometriche date ai nuclei iterati.
I nuclei risolventi Sir(x, !) del sistema (1) sono dati dalle serie
su*, * H 2 *£ + V, 0 - 2 2 «*(&»#(& *),
s=0
s=0
j=\
da cui, invertendo l'ordine di sommazione e ricordando le posizioni fatte, risulta
Sir(x, !) = 2 arJ(S) 2 *#(£ *) = 2 MÖÄKÄ «)
Ì=l
s=0
.7=1
la quale formola prova che i nuclei risolventi sono continui, finiti e positivi in
tutto il triangolo considerato. Avremo aMora per i gruppi i l il sistema risolvente
X
(4)
h{x) = h(x0)pfl(x0, x) + (/.(SoJpgfao, i)Sid*, S)dS
X'o
X
(5)
kto-fhixoWAxoyQSütoQdS
(1=2,3,...,»»).
XQ
DaMa (4) si passa facilmente alla
li(*) = h(xo)[pl8(xo,z) + '2L jpfKxo,
£)aij(£)pji(£,x)d£].
3-1 xo
Si può ora dimostrare che l'espressione in parentesi è la probabiMtà per un
individuo (x0) di appartenere in età x al gruppo i l . Infatti, tenendo presente
il significato di p^ (!, x), si ha
n
2
j?
oo
*
n
jpfì(Xo^)"Zaij(£)p^-1)(£,x)dS=
fpfKxotÌ)aij(£)pji(£,x)de=^i
Ì = 1 XQ
xn
s==1
k
J-1
00
= 2 r f i ^ < » «)-Pii(*o, *)-J>i?(*o, ^)
s==1
di modo che vale la relazione
li(x) =
li(x0)Pii(x0lx).
Più facilmente ancora si stabiMscono le relazioni analoghe per gM altri gruppi.
Infatti, daMa (5), ricordando il significato del nucleo risolvente Sn(x, !), risulta
li(x) = h(xQ) 2 lP{$(*o, $aij(S)pd£,
i-1 i>
ed usando il solito metodo
oo
•?
n
x d
)^
oo
k(x) = li(x0) 2 \pìl(xo, è) 2 Möjtfr^ft a?)df-/i(a?o) 2M?(*o, a?).
,4«i de* Congresso.
27
418
COMUNICAZIONI
Questa porta infine alla relazione
li(x) = li(xo)pii(xo,x)
dove i=2, 3,...., n.
Con ciò abbiamo risolto completamente il problema propostoci, cioè daMa
conoscenza delle intensità di morte e di passaggio, siamo risaMti aMa determinazione deMe probabilità corrispondenti e dei gruppi in cui viene a scomporsi una
coMettività molto generale, quale queMa da noi considerata. Abbiamo visto quindi
che con l'introdurre i sistemi di equazioni integrah di VOLTERRA si può giungere in modo piano e diretto alla soluzione del nostro problema.