G.
WATAGHIN
(Torino - ItaMa)
TEORIA CORPUSCOLARE DELL'INTERFERENZA E DELLA DIFFRAZIONE
1. - La spiegazione deM'interferenza neMa teoria ondulatoria si basa suMa rappresentazione deMa luce mediante campi vettoriaM. Ad esempio l'eMsione deMa luce
corrisponde in questa teoria aM'annuMarsi del vettore luminoso, risultante daMa
sovrapposizione di onde, che interferiscono.
In una teoria corpuscolare la spiegazione deve seguire uno schema diverso.
Una spiegazione sempMce può essere data in base aM'ipotesi seguente: il movimento deMe particeMe luminose nei campi di interferenza è tale da produrre in
corrispondenza aMe frangie chiare e scure degM addensamenti
e deMe rarefazioni locaM dei corpuscoM. Nei punti, in cui si formano frangie scure, i quanti
di luce non arrivano o arrivano in numero esiguo. Essi invece si addensano nei
punti, che corrispondono a frangie chiare.
La possibiMtà di un tale movimento deve essere naturalmente dimostrata. Noi
diamo questa dimostrazione facendo vedere, come si possa definire il movimento
dei quanti di luce in modo da rispettare la continuità del moto e da avere, nei
riguardi deMa propagazione, interferenza e diffrazione deMa luce, un'equivalenza
completa fra la teoria corpuscolare e la teoria ondulatoria elettromagnetica. Va
notato inoltre, che la teoria proposta spiega con faciMtà anche i fenomeni di diffrazione degM elettroni (esperienze di DAVISSON e GERMER e di G. P. THOMSON
e R U P P ) , spiega cioè proprio un gruppo di fenomeni, per cui è difficile dubitare
deMa natura corpuscolare deMa «radiazione».
2. - Supponiamo che la luce sia costituita di corpuscoM o quanti di luce, di
energia hV (ove F è la frequenza e H la costante di Planck). Possiamo paragonare il movimento di insieme di queste particeMe al moto di un fluido compressibMe. Per definire tale movimento occorre prefissare il valore deMa densità o
e deMa velocità v in modo che risultino verificate le condizioni di continuità del
movimento e rispettate le condizioni al contorno.
Fissiamo la nostra attenzione sopra un caso qualunque di interferenza in
luce monocromatica. Per descrivere anaMticamente M fenomeno interferenziale ci
serviamo del campo elettromagnetico, il quale costituisce questo fenomeno secondo
la teoria ondulatoria. Siano E e H i vettori elettrico e magnetico di questo campo.
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COMUNICAZIONI
Definiamo ora M movimento dei nostri quanti di luce nel modo seguente:
1°) la densità o dei quanti sia data daMa relazione:
(1)
hV>Q=\(E2
+
W)=W
ove W è là. densità di energia del campo elettromagnetico considerato ;
2°) la velocità v di questi corpuscoM sia definita daMa equazione:
(2)
AF.0.v=cEAH.
In questa seconda relazione, al primo membro compare l'espressione del flusso
di energia portato dai quanti di luce. Noi la uguagMamo al vettore di Pointing
del nostro campo elettromagnetico, il quale notoriamente rappresenta anche M
flusso di energia.
Dimostriamo che per il movimento definito daMe due equazioni (1) e (2) vale
Vequazione di continuità. Quest'ultima nel caso nostro esprime il fatto, che
durante il moto il numero di particeMe si conserva. I quanti né si distruggono
né si creano.
La dimostrazione discende immediatamente dall' equazione che esprime la legge
deMa conservazione deM' energia per il campo elettromagnetico :
(3)
^
+ div(cEAH) = 0.
Sostituendo neMe (3) aMa W e al vettore (cEAH) i loro valori ricavati da (1)
e (2) si ottiene (dopo la soppressione del fattore costante h V) :
(3')
g + div(ev)=0.
Questa è proprio l'equazione di continuità.
Consideriamo ora le Mnee di flusso deM'energia del campo elettromagnetico,
cioè le Mnee, che hanno in ogni loro punto la tangente paraMela al vettore di
Pointing relativo aMo stesso punto. È chiaro, che in virtù deM'equazione (2) le
traiettorie dei quanti di luce coincidono con queste linee di flusso. E risulta
senz'altro daM'equazione (1), che nei punti in cui la densità di energia W del
campo elettromagnetico è nuMa od è piccola, anche la densità dei quanti o sarà
nuMa o piccola. In altre parole, neMe frangie scure si avrà una rarefazione dei
quanti di luce. E viceversa si avranno degM addensamenti neMe frangie chiare.
In questa maniera tutti i fenomeni d'interferenza e di diffrazione ricevono
automaticamente una spiegazione, « corpuscolare », in quanto la teoria elettromagnetica M spiega. Si noti però, che le considerazioni esposte riguardano esclusivamente la cinematica dei quanti di luce e prescindono del tutto da qualsiasi
ipotesi suMa dinamica. NuMa è stato supposto anche suMa struttura deMe particeMe
luminose. La questione del perchè i quanti si muovono coMe leggi cinematiche
espresse daMe equazioni (1) e (2), come anche la spiegazione del modo con cui
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Teoria corpuscolare
dell'interferenza
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il contorno del campo di interfenza determina le traiettorie di questi quanti escono
dai Mmiti del presente lavoro.
3. - L'equazione (2) dice che il flusso di energia e le traiettorie dei quanti
di luce coincidono col flusso di energia e le Mnee di flusso del campo elettromagnetico, il quale rappresenta il fenomeno neMa teoria ondulatoria.
Ciò rende per noi necessario lo studio deMa distribuzione di queste Mnee di
flusso nei campi di interferenza, studio che finora è stato trascurato.
Prima di considerare il caso generale di un campo qualsiasi, Mlustrcremo la
distribuzione di queste Mnee sopra l'esempio tipico degM specchi di Fresnel.
Ricordiamo, che se in questa esperienza si sposta lo schermo, si ottiene come
luogo dei punti, per cui si ha per es. eMsione di luce con una data differenza
di cammino I- p. es.j, un iperboloide di rotazione avente i fuochi neMe due immagini speculari deMa sorgente di luce. Nei piani meridiani si hanno le iperboM
sezioni. Ebbene, è facile vedere che queste iperboM sono precisamente le Mnee di
flusso deM'energia elettromagnetica. Si dimostra, infatti, con considerazioni elementari, che il vettore di Pointing, in ogni punto sufficientemente lontano dagM
specchi, è tangente a queste iperboM. Va notato, che in vicinanza immediata degM
specchi il fenomeno ondulatorio è molto complesso. Quindi anche le Mnee di flusso
deM'energia seguono un andamento estremamente compMcato.
È chiaro però, anche senza un'anaMsi dettagMata di tale andamento, che
l'energia luminosa emessa daMa sorgente arriva agM specchi e lì viene
distribuita
e diretta secondo le traiettorie iperboMche sopra considerate in modo da concentrarsi lungo le iperboM corrispondenti aMe frangie chiare, e dar luogo a densità
energetiche piccole o nuMe per le iperboM relative a frangie scure. Ed è evidente
anche, che neMa nostra teoria, in virtù deMe leggi cinematiche (1) e (2), i quandi
di luce seguono le stesse traiettorie e danno luogo agM stessi addensamenti e rarefazioni energetiche. La formazione deMe frangie viene con ciò completamente chiarita.
4. - È noto, che le leggi dell' ottica geometrica hanno una vaMdità Mmitata,
in quanto già il concetto del raggio luminoso, come anche i principi di Fermât
e di Malus-Dupin si ottengono per approssimazione daMe leggi deM'ottica ondulatoria con un passaggio al Mmite per lunghezze d'onda tendenti a zero. È noto
anche, che queste leggi deh'ottica geometrica si adattano bene a una teoria
corpuscolare deMa luce.
Faremo vedere come il campo di appMcazione di queste leggi possa essere
esteso ai fenomeni d'interferenza e di diffrazione. Conviene partire daMa nota teoria
di Debye-Sommerfel-Runge (A) suMa relazione fra l'ottica geometrica e l'ottica fisica.
(*) Ann. d. Phys., v. 30, 1911 e R I E M A N N - W E B E R : Differentialgleichungen
v. I I , p. 484, 1927.
der
Physik,
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COMUNICAZIONI
Si consideri con Debye il vettore di Hertz U relativo a un campo di onde elettromagnetiche. Supposto il fattore del tempo deMa forma e~iwt, si ha per JT l'equazione:
A2H+n2k2H=0
(4)
ITI
ove n è l'indice di rifrazione e
k=-j.
Senza pregiudizio deMa generaMtà possiamo supporre per le componenti di H
che: nx=ny=0
(5)
e \n\ = \nz\. Poniamo:
nz=A(x,y,z)e^k8^y^>-w^
o v e
.
w
k=-
2TZ
= -T.
La (4) diventa dopo alcune riduzioni:
(6)
grad 2 S-n2^k\^(A2S+
grad log Ax
grad S) +
k ^
Supposto A infinitesimo, si deduce daMa (6), che nei punti del campo in cui le
derivate prime e seconde di S e A hanno valori trascurabiM di fronte a p la
differenza (grad 2 S— n2) è deM'ordine di grandezza di X. Di soMto ciò si esprime
dicendo, che in taM punti la S verifica approssimativamente l'equazione di
Hamilton-Jacobi :
(7)
grad 2 S=n2.
DaMa (7) si deduce poi nel modo noto la vaMdità dei principi di Fermât e di
Malus, cioè la vaMdità (approssimata) deMe leggi deM'ottica geometrica. Secondo
la teoria di Debye e Sommerfeld, il procedimento perde la sua vaMdità per i
fenomeni d'interferenza e di diffrazione, perchè in vicinanza del contorno del
campo (e in particular modo nei punti prossimi agM apparecchi interferenziaM
e ai reticoM di diffrazione) le derivate di S e A assumono valori grandi rispetto
a j . Ciò è vero, ma dal fatto che l'equazione (7) cessa di valere in certe porzioni
limitatissime del campo, non è lecito dedurre nuMa relativamente al resto del
campo. Anche neM'ottica geometrica si conoscono casi simiM; ad es. nei fuochi
di una lente l'equazione (7) non risulta verificata nemmeno approssimativamente.
E si dimostra facilmente, che M procedimento approssimato di Debye è perfettamente appMcabile nei punti dei campi d'interferenza lontani dal contorno.
Per dimostrarlo basta costruire le funzioni S e A e verificare la vaMdità deMa (7).
Ad es. per gM specchi di Fresnel nel vuoto si ha:
S = \(rL+r%)
A=eozfar-^)
ove rL e r2 sono le distanze del punto del campo daMe due immagini speculari
del punto luminoso. Le superfici S=eost. sono gM eMssoidi confocaM di rotazione,
di cui le iperboM, traiettorie dei quanti, sono le traiettorie ortogonaM.
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dell'interferenza
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Quest'ultima proprietà può essere generaMzzata. Infatti, calcolando le componenti del vettore di Pointing mediante le formole:
H = - r o t (eIT)
E = grad div IT • 5 *
e facendo la sostituzione (5) si ottiene:
(EAn)x=k*-e>A2-e2ik's
(8)
"'-'si
(EAÏÏ)y=k*.e.A2-e2ikS
òx^
òy^"
,
r
(BAlO.-**..-^.^-[(g + (g)
ÒS
'"5 + ....
ove i termini non scritti contengono potenze di X inferiori aMa 4 a È evidente
che in virtù deMa (7) i coefficienti di v-, ^-, -z- neMe (8) risultano egonaM approssimativamente [perchè anche l'equazione (7) è approssimata]. Ne deduciamo che,
con approssimazione, dipendente daMa piccolezza di X, il vettore di Pointing è
parallelo al g r a d Ä La funzione caratteristica o l'«Eikonal» S permette quindi
anche nel caso generale di costruire le Mnee di flusso di energia come traiettorie
ortogonaM deMe superficie S=eost.
Se ne deduce, come in ottica geometrica, che queste Mnee (raggi luminosi)
soddisfano a un principio variazionale simile a queMo di Fermât. Infatti, per
queste traiettorie ortogonaM vale evidentemente:
B
òf\gmdS\ds=0.
A
Questa relazione costituisce l'estensione del principio di Fermât ai fenomeni
di interferenza e di diffrazione.
