Dottorato MaSSC XXIII Ciclo Introduzione alle logiche polivalenti

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Dottorato MaSSC XXIII Ciclo
SEMINARIO:
Introduzione alle logiche
polivalenti
Matteo Bianchi
[email protected]
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Logiche polivalenti
Polivalente: (estens.) che serve o si adatta a diversi usi; che
produce più effetti.
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Logiche polivalenti
Polivalente: (estens.) che serve o si adatta a diversi usi; che
produce più effetti.
Si tratta quindi di logiche che, in qualche modo, sono più flessibili
e generali di quella classica.
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Logiche polivalenti
Polivalente: (estens.) che serve o si adatta a diversi usi; che
produce più effetti.
Si tratta quindi di logiche che, in qualche modo, sono più flessibili
e generali di quella classica.
Per semplicità ci limiteremo al caso proposizionale.
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Uno dei fondatori...
Figura: Jan Łukasiewicz 1878-1956
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...e il suo punto di vista
By logic I mean the science of logical values. Conceived in
this way, logic has it own subject-matter of research, with
which no other discipline is concerned. Logic is not a
science of propositions, since that belongs to grammar; it is
not a science of judgements or convictions, since that
belongs to psychology; it is not a science of contents
expressed by propositions, since that, according to the
content involved, is the concern of the various detailed
disciplines; it is not a science of “objects in general”, since
that belongs to ontology. Logic is the science of objects of
specific kind, namely of logical values.
[Bor70, Two valued logic]
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La logica Ł3
Seguendo questo paradigma Łukasiewicz introduce , nel 1920,1
una logica a tre valori di verità.
1 [Bor70,
On three valued logic]
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La logica Ł3
Seguendo questo paradigma Łukasiewicz introduce , nel 1920,1
una logica a tre valori di verità.
{0, 12 , 1}: 0 falso, 1 vero, 12 .
1 [Bor70,
On three valued logic]
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La logica Ł3
Seguendo questo paradigma Łukasiewicz introduce , nel 1920,1
una logica a tre valori di verità.
{0, 12 , 1}: 0 falso, 1 vero, 12 .
La semantica associata ai connettivi di negazione ed
implicazione è la seguente:
1 [Bor70,
→
0
0
1
1
2
1
2
1
0
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
0
¬
1
1
2
1
2
1
0
On three valued logic]
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In seguito Łukasiewicz introduce una logica ad infiniti valori di
verità 2 .
2 [Bor70,
Investigations into the sentential calculus]
3 [Cha58]
4 [Cha59]
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In seguito Łukasiewicz introduce una logica ad infiniti valori di
verità 2 .
La classe di algebre che fa da controparte semantica per tale
logica viene studiata da Chen Chung Chang3 , che dimostra
anche un teorema di completezza4 . La classe di tali strutture è
nota come MV-algebre (Many-Valued).
2 [Bor70,
Investigations into the sentential calculus]
3 [Cha58]
4 [Cha59]
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In seguito Łukasiewicz introduce una logica ad infiniti valori di
verità 2 .
La classe di algebre che fa da controparte semantica per tale
logica viene studiata da Chen Chung Chang3 , che dimostra
anche un teorema di completezza4 . La classe di tali strutture è
nota come MV-algebre (Many-Valued).
Tuttavia, non esiste un unico modo di generalizzare la logica
proposizionale classica (LPC) ad una logica a più valori di verità.
2 [Bor70,
Investigations into the sentential calculus]
3 [Cha58]
4 [Cha59]
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In seguito Łukasiewicz introduce una logica ad infiniti valori di
verità 2 .
La classe di algebre che fa da controparte semantica per tale
logica viene studiata da Chen Chung Chang3 , che dimostra
anche un teorema di completezza4 . La classe di tali strutture è
nota come MV-algebre (Many-Valued).
Tuttavia, non esiste un unico modo di generalizzare la logica
proposizionale classica (LPC) ad una logica a più valori di verità.
Quali possono essere delle caratteristiche desiderabili, per una
logica polivalente ?
2 [Bor70,
Investigations into the sentential calculus]
3 [Cha58]
4 [Cha59]
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Un elenco di proprietà-1
Dato che si tratta di generalizzazioni della LPC, è ragionevole
che, dal punto di vista semantico, i connettivi logici abbiano il
medesimo comportamento del caso classico, quando operano
su 0, 1.
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Un elenco di proprietà-1
Dato che si tratta di generalizzazioni della LPC, è ragionevole
che, dal punto di vista semantico, i connettivi logici abbiano il
medesimo comportamento del caso classico, quando operano
su 0, 1.
Verofunzionalità (composizionalità): nel caso classico vale che il
valore di verità di una formula è determinato univocamente da
quello delle sue variabili e dalla semantica associata ai
connettivi. È auspicabile mantenere tale proprietà.
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Un elenco di proprietà-1
Dato che si tratta di generalizzazioni della LPC, è ragionevole
che, dal punto di vista semantico, i connettivi logici abbiano il
medesimo comportamento del caso classico, quando operano
su 0, 1.
Verofunzionalità (composizionalità): nel caso classico vale che il
valore di verità di una formula è determinato univocamente da
quello delle sue variabili e dalla semantica associata ai
connettivi. È auspicabile mantenere tale proprietà.
In generale perderemo la bivalenza e, quindi, il principio del terzo
escluso.
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Un elenco di proprietà-2
E per quanto concerne l’insieme dei valori di verità ?
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Un elenco di proprietà-2
E per quanto concerne l’insieme dei valori di verità ?
Un requisito utile è che abbia massimo 1 e minimo 0.
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Un elenco di proprietà-2
E per quanto concerne l’insieme dei valori di verità ?
Un requisito utile è che abbia massimo 1 e minimo 0.
Tra i vari “candidati” sembra interessante l’intervallo reale
unitario [0, 1] (come vedremo, giocherà un ruolo rilevante):
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Un elenco di proprietà-2
E per quanto concerne l’insieme dei valori di verità ?
Un requisito utile è che abbia massimo 1 e minimo 0.
Tra i vari “candidati” sembra interessante l’intervallo reale
unitario [0, 1] (come vedremo, giocherà un ruolo rilevante):
h[0, 1], ≤R i forma un reticolo completo.
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Un elenco di proprietà-2
E per quanto concerne l’insieme dei valori di verità ?
Un requisito utile è che abbia massimo 1 e minimo 0.
Tra i vari “candidati” sembra interessante l’intervallo reale
unitario [0, 1] (come vedremo, giocherà un ruolo rilevante):
h[0, 1], ≤R i forma un reticolo completo.
non vi sono “gap” tra un valore di verità e l’altro.
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Norme Triangolari-1
Definizione ([KMP00])
Una norma triangolare o t-norma è un’operazione binaria ∗
sull’intervallo unitario reale [0, 1], ovvero una funzione
∗ : [0, 1]2 → [0, 1] tale che, per ogni x, y , z ∈ [0, 1] (usiamo la
notazione infissa)
(T1)
x ∗y =y ∗x
(T2)
x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y ) ∗ z
(T3)
x ∗ y ≤ x ∗ z se y ≤ z
(T4)
x ∗1=x
Si noti come, poiché 0 = 0 ∗ 1 ≥ 0 ∗ x per ogni x ∈ [0, 1], valga
x ∗ 0 = 0. Da questo consegue che il comportamento sui ”bordi“ è lo
stesso per tutte le t-norme.
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Norme triangolari-2
Quelle che seguono sono le tre t-norme continue ”fondamentali“:
(minimo)
x ∗G y = min(x, y )
1
0.8
0.6
0.4
0.2
01
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.2
0.4
1
0.8
0.6
x ∗Π y = x · y
(prodotto)
1
0.8
0.6
0.4
1
0.2
0.8
00
0.6
0.2
0.4
0.4
0.6
0.2
0.8
1 0
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Norme triangolari-3
x ∗Ł y = max(0, x + y − 1)
(Łukasiewicz)
1
0.8
0.6
0.4
1
0.2
0.8
00
0.6
0.2
0.4
0.4
0.6
0.2
0.8
1 0
Vengono dette ”fondamentali“ poichè ogni altra t-norma continua è
ottenibile, in termini di queste, tramite una particolare costruzione,
detta somma ordinale.
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Residui-1
Sia ∗ una t-norma continua: il residuo associato, che
denoteremo con ⇒, è definito come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]:
x ⇒ y := max{z : z ∗ x ≤ y }
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Residui-1
Sia ∗ una t-norma continua: il residuo associato, che
denoteremo con ⇒, è definito come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]:
x ⇒ y := max{z : z ∗ x ≤ y }
Si può verificare che tale operazione è l’unica soluzione delle
seguenti disuguaglianze
z ∗x ≤y
sse z ≤ x ⇒ y
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Residui-1
Sia ∗ una t-norma continua: il residuo associato, che
denoteremo con ⇒, è definito come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]:
x ⇒ y := max{z : z ∗ x ≤ y }
Si può verificare che tale operazione è l’unica soluzione delle
seguenti disuguaglianze
z ∗x ≤y
sse z ≤ x ⇒ y
Inoltre vale che, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ⇒y =1
sse
x ≤ y,
1⇒0=0
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Residui-2
Mostriamo ora i residui delle tre t-norme citate:
(
1 se x ≤ y
(Gödel)
x ⇒G y =
y altrimenti
1
0.8
0.6
0.4
1
0.2
0.8
0.6
00
0.2
0.4
0.4
0.6
0.2
0.8
1 0
x ⇒Ł y = min(1, 1 − x + y)
(Łukasiewicz)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
00
1
0.2
0.8
0.4
0.6
0.6
0.4
0.8
0.2
1 0
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Residui-3
(
(prodotto)
x ⇒Π y =
se x ≤ y
altrimenti
1
y
x
1
0.8
0.6
0.4
1
0.2
0.8
00
0.6
0.2
0.4
0.4
0.6
0.2
0.8
1 0
Si noti che ⇒Ł è l’unico residuo continuo.
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Osservazioni:
Le t-norme continue e i residui quindi, hanno tutti i requisiti per
svolgere il ruolo (semantico) di congiunzione e implicazione,
quando si opera su [0, 1].
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Osservazioni:
Le t-norme continue e i residui quindi, hanno tutti i requisiti per
svolgere il ruolo (semantico) di congiunzione e implicazione,
quando si opera su [0, 1].
Ma in quale modo possono essere associati ad una semantica
per una logica polivalente ?
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Osservazioni:
Le t-norme continue e i residui quindi, hanno tutti i requisiti per
svolgere il ruolo (semantico) di congiunzione e implicazione,
quando si opera su [0, 1].
Ma in quale modo possono essere associati ad una semantica
per una logica polivalente ?
Più in generale, quali sono le logiche complete rispetto a siffatta
semantica ?
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Basic Logic di Hájek
La risposta è stata data dal logico ceco Petr Hájek,
tramite la Basic Logic (BL), introdotta nella monografia [Háj98] e le
estensioni schematiche ad essa associate (logiche che si ottengono
aggiungendo assiomi a BL).
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Sintassi
Le formule di BL sono
{&, →, ⊥}, come segue
costruite
ϕ&ψ,
a partire dall’insieme di connettivi
ϕ → ψ,
⊥
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Sintassi
Le formule di BL sono
{&, →, ⊥}, come segue
costruite
ϕ&ψ,
a partire dall’insieme di connettivi
ϕ → ψ,
⊥
Connettivi derivati:
¬ϕ è
ϕ→⊥
ϕ∧ψ
è
ϕ&(ϕ → ψ)
ϕ∨ψ
è
((ϕ → ψ) → ψ) ∧ ((ψ → ϕ) → ϕ)
ϕ≡ψ
è
(ϕ → ψ)&(ψ → ϕ)
> è
¬⊥
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Assiomatizzazione di BL
BL è assiomatizzata come segue
(A1)
(ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ))
(A2)
(ϕ&ψ) → ϕ
(A3)
(ϕ&ψ) → (ψ&ϕ)
(A4)
(ϕ&(ϕ → ψ)) → (ψ&(ψ → ϕ))
(A5a)
(ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ&ψ) → χ)
(A5b)
((ϕ&ψ) → χ) → (ϕ → (ψ → χ))
(A6)
((ϕ → ψ) → χ) → (((ψ → ϕ) → χ) → χ)
(A7)
⊥→ϕ
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Assiomatizzazione di BL
BL è assiomatizzata come segue
(A1)
(ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ))
(A2)
(ϕ&ψ) → ϕ
(A3)
(ϕ&ψ) → (ψ&ϕ)
(A4)
(ϕ&(ϕ → ψ)) → (ψ&(ψ → ϕ))
(A5a)
(ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ&ψ) → χ)
(A5b)
((ϕ&ψ) → χ) → (ϕ → (ψ → χ))
(A6)
((ϕ → ψ) → χ) → (((ψ → ϕ) → χ) → χ)
(A7)
⊥→ϕ
Come regola di inferenza, abbiamo il modus ponens
(MP)
ϕ
ϕ→ψ
ψ
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Logiche di Gödel5 , Łukasiewicz e Prodotto6
Si ottengono aggiungendo agli assiomi di BL, rispettivamente
(ID)
ϕ → ϕ&ϕ
(INV)
¬¬ϕ → ϕ
(PC)
¬ϕ ∨ ((ϕ → (ϕ&ψ)) → ψ)
5 Un primo cenno alla sua semantica è stato dato da Gödel in [Göd99, Sul calcolo
proposizionale intuizionista]. In seguito M. Dummett diede un’assiomatizzazione alla
logica in [Dum59]
6 [EGH96]
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Logiche di Gödel5 , Łukasiewicz e Prodotto6
Si ottengono aggiungendo agli assiomi di BL, rispettivamente
(ID)
ϕ → ϕ&ϕ
(INV)
¬¬ϕ → ϕ
(PC)
¬ϕ ∨ ((ϕ → (ϕ&ψ)) → ψ)
Si denotano con G, Ł, Π
5 Un primo cenno alla sua semantica è stato dato da Gödel in [Göd99, Sul calcolo
proposizionale intuizionista]. In seguito M. Dummett diede un’assiomatizzazione alla
logica in [Dum59]
6 [EGH96]
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Logiche di Gödel5 , Łukasiewicz e Prodotto6
Si ottengono aggiungendo agli assiomi di BL, rispettivamente
(ID)
ϕ → ϕ&ϕ
(INV)
¬¬ϕ → ϕ
(PC)
¬ϕ ∨ ((ϕ → (ϕ&ψ)) → ψ)
Si denotano con G, Ł, Π
Mantengono la medesima regola di inferenza di BL
5 Un primo cenno alla sua semantica è stato dato da Gödel in [Göd99, Sul calcolo
proposizionale intuizionista]. In seguito M. Dummett diede un’assiomatizzazione alla
logica in [Dum59]
6 [EGH96]
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Logiche di Gödel5 , Łukasiewicz e Prodotto6
Si ottengono aggiungendo agli assiomi di BL, rispettivamente
(ID)
ϕ → ϕ&ϕ
(INV)
¬¬ϕ → ϕ
(PC)
¬ϕ ∨ ((ϕ → (ϕ&ψ)) → ψ)
Si denotano con G, Ł, Π
Mantengono la medesima regola di inferenza di BL
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, ϕ una formula e T una teoria (insieme di
formule): con la notazione T `L ϕ indichiamo che esiste una
dimostrazione della formula ϕ ottenuta aggiungendo le formule di T
agli assiomi di L
5 Un primo cenno alla sua semantica è stato dato da Gödel in [Göd99, Sul calcolo
proposizionale intuizionista]. In seguito M. Dummett diede un’assiomatizzazione alla
logica in [Dum59]
6 [EGH96]
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Un diagramma riassuntivo
LPC
? O _??
??

??
¬¬ϕ→ϕ
??¬¬ϕ→ϕ

ϕ→ϕ&ϕ

Π
G _?
ŁO
?
??

?? ¬¬ϕ→ϕ

¬ϕ∨((ϕ→(ϕ&ψ))→ψ)
ϕ→ϕ&ϕ ??

??
??

?
BL
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Reticoli residuati e BL-algebre
Definizione
Un reticolo residuato è un’algebra hA, u, t, ∗, ⇒, 0, 1i tale che
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Reticoli residuati e BL-algebre
Definizione
Un reticolo residuato è un’algebra hA, u, t, ∗, ⇒, 0, 1i tale che
hA, u, t, 0, 1i è un reticolo limitato
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Reticoli residuati e BL-algebre
Definizione
Un reticolo residuato è un’algebra hA, u, t, ∗, ⇒, 0, 1i tale che
hA, u, t, 0, 1i è un reticolo limitato
hA, ∗, 1i è un monoide commutativo
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Reticoli residuati e BL-algebre
Definizione
Un reticolo residuato è un’algebra hA, u, t, ∗, ⇒, 0, 1i tale che
hA, u, t, 0, 1i è un reticolo limitato
hA, ∗, 1i è un monoide commutativo
h∗, ⇒i formano una coppia residuata, ovvero
z ∗x ≤y
sse
z≤x ⇒y
(x ⇒ y = max{z : z ∗ x ≤ y })
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Reticoli residuati e BL-algebre
Definizione
Un reticolo residuato è un’algebra hA, u, t, ∗, ⇒, 0, 1i tale che
hA, u, t, 0, 1i è un reticolo limitato
hA, ∗, 1i è un monoide commutativo
h∗, ⇒i formano una coppia residuata, ovvero
z ∗x ≤y
sse
z≤x ⇒y
(x ⇒ y = max{z : z ∗ x ≤ y })
Definizione
Una BL-algebra è un reticolo residuato che soddisfa
(prelinearità)
(x ⇒ y) t (y ⇒ x) = 1
(divisibilità)
x u y = x ∗ (x ⇒ y )
21 / 49
Proprietà delle BL-algebre
Sia A una BL-algebra, allora, per ogni x, y, z ∈ A vale che
x ∗ (x ⇒ y ) ≤ y e x ≤ (y ⇒ (x ∗ y))
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Proprietà delle BL-algebre
Sia A una BL-algebra, allora, per ogni x, y, z ∈ A vale che
x ∗ (x ⇒ y ) ≤ y e x ≤ (y ⇒ (x ∗ y))
x ≤ y implica x ∗ z ≤ y ∗ z, (z ⇒ x) ≤ (z ⇒ y ),
(y ⇒ z) ≤ (x ⇒ z)
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Proprietà delle BL-algebre
Sia A una BL-algebra, allora, per ogni x, y, z ∈ A vale che
x ∗ (x ⇒ y ) ≤ y e x ≤ (y ⇒ (x ∗ y))
x ≤ y implica x ∗ z ≤ y ∗ z, (z ⇒ x) ≤ (z ⇒ y ),
(y ⇒ z) ≤ (x ⇒ z)
x ≤ y sse x ⇒ y = 1
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Proprietà delle BL-algebre
Sia A una BL-algebra, allora, per ogni x, y, z ∈ A vale che
x ∗ (x ⇒ y ) ≤ y e x ≤ (y ⇒ (x ∗ y))
x ≤ y implica x ∗ z ≤ y ∗ z, (z ⇒ x) ≤ (z ⇒ y ),
(y ⇒ z) ≤ (x ⇒ z)
x ≤ y sse x ⇒ y = 1
(x t y ) ∗ z = (x ∗ z) t (y ∗ z)
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Proprietà delle BL-algebre
Sia A una BL-algebra, allora, per ogni x, y, z ∈ A vale che
x ∗ (x ⇒ y ) ≤ y e x ≤ (y ⇒ (x ∗ y))
x ≤ y implica x ∗ z ≤ y ∗ z, (z ⇒ x) ≤ (z ⇒ y ),
(y ⇒ z) ≤ (x ⇒ z)
x ≤ y sse x ⇒ y = 1
(x t y ) ∗ z = (x ∗ z) t (y ∗ z)
x t y = ((x ⇒ y) ⇒ y ) u ((y ⇒ x) ⇒ x)
22 / 49
Algebre di Gödel, Łukasiewicz e Prodotto
Si tratta di BL algebre che soddisfano, rispettivamente, i seguenti
assiomi (dove ∼ x indica x ⇒ 0)
(id)
x =x ∗x
(inv)
∼∼ x = x
(pc)
∼ x t ((x ⇒ (x ∗ y)) ⇒ y) = 1
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Algebre di Gödel, Łukasiewicz e Prodotto
Si tratta di BL algebre che soddisfano, rispettivamente, i seguenti
assiomi (dove ∼ x indica x ⇒ 0)
(id)
x =x ∗x
(inv)
∼∼ x = x
(pc)
∼ x t ((x ⇒ (x ∗ y)) ⇒ y) = 1
Le Ł-algebre vengono dette MV-algebre
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Algebre di Gödel, Łukasiewicz e Prodotto
Si tratta di BL algebre che soddisfano, rispettivamente, i seguenti
assiomi (dove ∼ x indica x ⇒ 0)
(id)
x =x ∗x
(inv)
∼∼ x = x
(pc)
∼ x t ((x ⇒ (x ∗ y)) ⇒ y) = 1
Le Ł-algebre vengono dette MV-algebre
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π} e A una L-algebra: se il ridotto reticolare di A
è h[0, 1], min, maxi, allora diremo che è una L-algebra standard.
23 / 49
Algebre di Gödel, Łukasiewicz e Prodotto
Si tratta di BL algebre che soddisfano, rispettivamente, i seguenti
assiomi (dove ∼ x indica x ⇒ 0)
(id)
x =x ∗x
(inv)
∼∼ x = x
(pc)
∼ x t ((x ⇒ (x ∗ y)) ⇒ y) = 1
Le Ł-algebre vengono dette MV-algebre
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π} e A una L-algebra: se il ridotto reticolare di A
è h[0, 1], min, maxi, allora diremo che è una L-algebra standard.
Una L-algebra totalmente ordinata viene detta L-catena.
23 / 49
Esempi - MV-algebra standard
Si denotano con [0, 1]Ł = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
24 / 49
Esempi - MV-algebra standard
Si denotano con [0, 1]Ł = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗Ł y = max(0, x + y − 1)
24 / 49
Esempi - MV-algebra standard
Si denotano con [0, 1]Ł = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗Ł y = max(0, x + y − 1)
x ⇒ y = x ⇒Ł y = min(1, 1 − x + y)
24 / 49
Esempi - MV-algebra standard
Si denotano con [0, 1]Ł = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗Ł y = max(0, x + y − 1)
x ⇒ y = x ⇒Ł y = min(1, 1 − x + y)
∼x =1−x
24 / 49
Esempi - MV-algebra standard
Si denotano con [0, 1]Ł = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗Ł y = max(0, x + y − 1)
x ⇒ y = x ⇒Ł y = min(1, 1 − x + y)
∼x =1−x
x t y = max(x, y )
24 / 49
Esempi - MV-algebra standard
Si denotano con [0, 1]Ł = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗Ł y = max(0, x + y − 1)
x ⇒ y = x ⇒Ł y = min(1, 1 − x + y)
∼x =1−x
x t y = max(x, y )
x u y = min(x, y)
24 / 49
Esempi - Π-algebra standard
Si denotano con [0, 1]Π = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
25 / 49
Esempi - Π-algebra standard
Si denotano con [0, 1]Π = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗Π y = x · y
25 / 49
Esempi - Π-algebra standard
Si denotano con [0, 1]Π = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗Π y = x · y
(
x ⇒ y = x ⇒Π y =
1
y
x
se x ≤ y
altrimenti
25 / 49
Esempi - Π-algebra standard
Si denotano con [0, 1]Π = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗Π y = x · y
(
x ⇒ y = x ⇒Π y =
(
∼x =
1
0
1
y
x
se x ≤ y
altrimenti
se x = 0
altrimenti
25 / 49
Esempi - Π-algebra standard
Si denotano con [0, 1]Π = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗Π y = x · y
(
x ⇒ y = x ⇒Π y =
(
∼x =
1
0
1
y
x
se x ≤ y
altrimenti
se x = 0
altrimenti
x t y = max(x, y )
25 / 49
Esempi - Π-algebra standard
Si denotano con [0, 1]Π = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗Π y = x · y
(
x ⇒ y = x ⇒Π y =
(
∼x =
1
0
1
y
x
se x ≤ y
altrimenti
se x = 0
altrimenti
x t y = max(x, y )
x u y = min(x, y)
25 / 49
Esempi - G-algebre standard
Si denotano con [0, 1]G = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
26 / 49
Esempi - G-algebre standard
Si denotano con [0, 1]G = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗G y = min(x, y )
26 / 49
Esempi - G-algebre standard
Si denotano con [0, 1]G = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗G y = min(x, y )
(
1
x ⇒ y = x ⇒G y =
y
se x ≤ y
altrimenti
26 / 49
Esempi - G-algebre standard
Si denotano con [0, 1]G = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗G y = min(x, y )
(
1 se x ≤ y
x ⇒ y = x ⇒G y =
y altrimenti
(
1 se x = 0
∼x =
0 altrimenti
26 / 49
Esempi - G-algebre standard
Si denotano con [0, 1]G = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗G y = min(x, y )
(
1 se x ≤ y
x ⇒ y = x ⇒G y =
y altrimenti
(
1 se x = 0
∼x =
0 altrimenti
x t y = max(x, y )
26 / 49
Esempi - G-algebre standard
Si denotano con [0, 1]G = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono
definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]
x ∗ y = x ∗G y = min(x, y )
(
1 se x ≤ y
x ⇒ y = x ⇒G y =
y altrimenti
(
1 se x = 0
∼x =
0 altrimenti
x t y = max(x, y )
x u y = min(x, y)
26 / 49
Semantica-1
Sia A = hA, u, t, ∗, ⇒, 0, 1i una BL-algebra e sia v : X → A un
assegnamento dalle variabili a elementi di A: esso si estende
unicamente ad una A-valutazione su tutte le formule
e : Form → A
27 / 49
Semantica-1
Sia A = hA, u, t, ∗, ⇒, 0, 1i una BL-algebra e sia v : X → A un
assegnamento dalle variabili a elementi di A: esso si estende
unicamente ad una A-valutazione su tutte le formule
e : Form → A
Cosı̀ definita:
e(⊥) = 0
e(xi ) = v (xi )
e(ϕ → ψ) = e(ϕ) ⇒ e(ψ)
e(ϕ&ψ) = e(ϕ) ∗ e(ψ)
27 / 49
Semantica-2
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π} e A una L-algebra
I
A di dice modello per una formula ϕ (A |= ϕ), qualora per ogni
A-valutazione v si abbia v (ϕ) = 1 (ϕ è una A-tautologia).
28 / 49
Semantica-2
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π} e A una L-algebra
I
A di dice modello per una formula ϕ (A |= ϕ), qualora per ogni
A-valutazione v si abbia v (ϕ) = 1 (ϕ è una A-tautologia).
I
A si dice modello di una teoria T (A |= T ) qualora A |= ψ per
ogni ψ ∈ T .
28 / 49
Semantica-2
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π} e A una L-algebra
I
A di dice modello per una formula ϕ (A |= ϕ), qualora per ogni
A-valutazione v si abbia v (ϕ) = 1 (ϕ è una A-tautologia).
I
A si dice modello di una teoria T (A |= T ) qualora A |= ψ per
ogni ψ ∈ T .
I
Infine, con T |=A ϕ si indica che se A |= T , allora A |= ϕ.
28 / 49
Completezza
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, T , ϕ una teoria e una formula e K una
classe di L-algebre. Supponiamo che, per ogni A ∈ K , si abbia
(1)
T `L ϕ sse
T |=A ϕ
Allora
29 / 49
Completezza
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, T , ϕ una teoria e una formula e K una
classe di L-algebre. Supponiamo che, per ogni A ∈ K , si abbia
(1)
T `L ϕ sse
T |=A ϕ
Allora
Se (1) vale per T arbitrario, allora diciamo che L gode della
completezza forte rispetto alla classe K , SK C
29 / 49
Completezza
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, T , ϕ una teoria e una formula e K una
classe di L-algebre. Supponiamo che, per ogni A ∈ K , si abbia
(1)
T `L ϕ sse
T |=A ϕ
Allora
Se (1) vale per T arbitrario, allora diciamo che L gode della
completezza forte rispetto alla classe K , SK C
Se (1) vale solo per T finita, allora diciamo che L gode della
completezza forte finita rispetto alla classe K , FSK C
29 / 49
Completezza
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, T , ϕ una teoria e una formula e K una
classe di L-algebre. Supponiamo che, per ogni A ∈ K , si abbia
(1)
T `L ϕ sse
T |=A ϕ
Allora
Se (1) vale per T arbitrario, allora diciamo che L gode della
completezza forte rispetto alla classe K , SK C
Se (1) vale solo per T finita, allora diciamo che L gode della
completezza forte finita rispetto alla classe K , FSK C
Se (1) vale solo per T = ∅, allora diciamo che L gode della
completezza rispetto alla classe K , K C
29 / 49
Completezza
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, T , ϕ una teoria e una formula e K una
classe di L-algebre. Supponiamo che, per ogni A ∈ K , si abbia
(1)
T `L ϕ sse
T |=A ϕ
Allora
Se (1) vale per T arbitrario, allora diciamo che L gode della
completezza forte rispetto alla classe K , SK C
Se (1) vale solo per T finita, allora diciamo che L gode della
completezza forte finita rispetto alla classe K , FSK C
Se (1) vale solo per T = ∅, allora diciamo che L gode della
completezza rispetto alla classe K , K C
Chiaramente SK C → FSK C → K C
29 / 49
Completezza
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, T , ϕ una teoria e una formula e K una
classe di L-algebre. Supponiamo che, per ogni A ∈ K , si abbia
(1)
T `L ϕ sse
T |=A ϕ
Allora
Se (1) vale per T arbitrario, allora diciamo che L gode della
completezza forte rispetto alla classe K , SK C
Se (1) vale solo per T finita, allora diciamo che L gode della
completezza forte finita rispetto alla classe K , FSK C
Se (1) vale solo per T = ∅, allora diciamo che L gode della
completezza rispetto alla classe K , K C
Chiaramente SK C → FSK C → K C
Esempi tipici: K = classe delle L-algebre = A, K = classe delle
L-catene = C, K =classe delle L-algebre standard = S
29 / 49
Completezza, risultati-1
Teorema ([Háj98])
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, allora L gode della SCC ed SAC.
30 / 49
Completezza, risultati-1
Teorema ([Háj98])
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, allora L gode della SCC ed SAC.
Teorema ([CEGT00])
Una funzione ∗ : [0, 1]2 → [0, 1] è una t-norma continua se e solo se
è l’operazione ∗ di una BL-algebra standard.
30 / 49
Completezza, risultati-1
Teorema ([Háj98])
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, allora L gode della SCC ed SAC.
Teorema ([CEGT00])
Una funzione ∗ : [0, 1]2 → [0, 1] è una t-norma continua se e solo se
è l’operazione ∗ di una BL-algebra standard.
Teorema ([EGGM02])
Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, allora L gode della FSSC.
Ne consegue che BL gode della SC e quindi è la logica delle continue
e dei loro residui.
30 / 49
Completezza, risultati-2
Teorema ([EGGN07])
G è l’unica estensione schematica di BL che goda della SSC
31 / 49
Completezza, risultati-2
Teorema ([EGGN07])
G è l’unica estensione schematica di BL che goda della SSC
31 / 49
Completezza, risultati-2
Teorema ([EGGN07])
G è l’unica estensione schematica di BL che goda della SSC
Tuttavia, non tutti i
risultati
sono positivi
Corollario
La logica L ∈ {BL,Ł,Π} non gode della SSC
31 / 49
Completezza, rassegna risultati
SAC
SCC
SC
FSSC
SSC
BL
sı̀
sı̀
sı̀
sı̀
no
Ł
sı̀
sı̀
sı̀
sı̀
no
G
sı̀
sı̀
sı̀
sı̀
sı̀
Π
sı̀
sı̀
sı̀
sı̀
no
32 / 49
Decidibilità
Si considerino i seguenti insiemi, per L ∈ {BL,Ł,G,Π}:
TAUTL = {ϕ : |=S ϕ}
SATL = {ϕ : esiste, per qualche A ∈ S, una A-valutazione v
tale che v (ϕ) = 1}
vale che:
Teorema ([Háj98, BHMV01, Mun87])
33 / 49
Decidibilità
Si considerino i seguenti insiemi, per L ∈ {BL,Ł,G,Π}:
TAUTL = {ϕ : |=S ϕ}
SATL = {ϕ : esiste, per qualche A ∈ S, una A-valutazione v
tale che v (ϕ) = 1}
vale che:
Teorema ([Háj98, BHMV01, Mun87])
SATG , SATΠ , SATŁ , SATBL sono NP-completi.
33 / 49
Decidibilità
Si considerino i seguenti insiemi, per L ∈ {BL,Ł,G,Π}:
TAUTL = {ϕ : |=S ϕ}
SATL = {ϕ : esiste, per qualche A ∈ S, una A-valutazione v
tale che v (ϕ) = 1}
vale che:
Teorema ([Háj98, BHMV01, Mun87])
SATG , SATΠ , SATŁ , SATBL sono NP-completi.
TAUTG , TAUTΠ , TAUTŁ , TAUTBL sono Co-NP-completi.
33 / 49
Conclusioni
Le logiche polivalenti sono una generalizzazione del caso
classico.
34 / 49
Conclusioni
Le logiche polivalenti sono una generalizzazione del caso
classico.
Possiedono una maggiore flessibilità, grazie a valori di verità
intermedi, rispetto al vero e falso assoluto.
34 / 49
Conclusioni
Le logiche polivalenti sono una generalizzazione del caso
classico.
Possiedono una maggiore flessibilità, grazie a valori di verità
intermedi, rispetto al vero e falso assoluto.
In questa presentazione ci siamo limitati solo alla gerarchia delle
estensioni schematiche di BL, tuttavia ne esiste una ben più
ampia.
34 / 49
Conclusioni
Le logiche polivalenti sono una generalizzazione del caso
classico.
Possiedono una maggiore flessibilità, grazie a valori di verità
intermedi, rispetto al vero e falso assoluto.
In questa presentazione ci siamo limitati solo alla gerarchia delle
estensioni schematiche di BL, tuttavia ne esiste una ben più
ampia.
Esistono logiche polivalenti non solo dal punto di vista
semantico, ma anche sintattico: un esempio è dato dalla logica
di Pavelka, dove si ha un grado di provabilità.
34 / 49
Conclusioni
Le logiche polivalenti sono una generalizzazione del caso
classico.
Possiedono una maggiore flessibilità, grazie a valori di verità
intermedi, rispetto al vero e falso assoluto.
In questa presentazione ci siamo limitati solo alla gerarchia delle
estensioni schematiche di BL, tuttavia ne esiste una ben più
ampia.
Esistono logiche polivalenti non solo dal punto di vista
semantico, ma anche sintattico: un esempio è dato dalla logica
di Pavelka, dove si ha un grado di provabilità.
A causa del carattere informale della presentazione, non è stato
possibile introdurre recenti risultati di ricerca; ciò sarà oggetto di
futuri seminari.
34 / 49
Letture Consigliate-Norme Triangolari
[KMP00]
35 / 49
Letture Consigliate-Reticoli residuati e logiche
associate
[GJKO07]
36 / 49
Letture Consigliate-MV-algebre
[CDM99]
37 / 49
Letture Consigliate-Basic Logic e sue estensioni
[Háj98]
38 / 49
Un corso interessante
Logica Fuzzy
tenuto da
Stefano Aguzzoli, Vincenzo Marra
Dipartimento DSI/DICo, via comelico 39
http://logicafuzzy.dico.unimi.it/
39 / 49
Bibliografia I
M. Baaz, P. Hájek, F. Montagna, and H. Veith.
Complexity of t-tautologies.
Annals of Pure and Applied Logic, 113(1):3–11, 2001.
http://dx.doi.org/10.1016/S0168-0072(01)00048-3.
L. Borkowski, editor.
Jan Łukasiewicz Selected Works.
Studies In Logic and The Foundations of Mathematics. North
Holland Publishing Company - Amsterdam, Polish Scientific
Publishers - Warszawa, 1970.
R. Cignoli, I. D’Ottaviano, and D. Mundici.
Algebraic Foundations of Many-Valued Reasoning, volume 7 of
Trends in Logic.
Kluwer Academic Publishers, 1999.
ISBN:978-0-7923-6009-4.
40 / 49
Bibliografia II
R. Cignoli, F. Esteva, L. Godo, and A. Torrens.
Basic fuzzy logic is the logic of continuous t-norms and their
residua.
Soft Computing, 4:105–112, 2000.
http://dx.doi.org/10.1007/s005000000044.
C. C. Chang.
Algebraic analysis of many-valued logics.
Transactions of the American Mathematical Society, 88:467–490,
1958.
http://www.jstor.org/stable/1993227.
C. C. Chang.
A New Proof of the Completeness of the Łukasiewicz Axioms.
Transactions of the American Mathematical Society, 93:74–80,
1959.
http://www.jstor.org/stable/1993423.
41 / 49
Bibliografia III
M. Dummett.
A Propositional Calculus with Denumerable Matrix.
The Journal of Symbolic Logic, 24(2):97–106, 1959.
http://www.jstor.org/stable/2964753.
F. Esteva, J. Gispert, L. Godo, and F. Montagna.
On the Standard and Rational Completeness of some Axiomatic
Extensions of the Monoidal T-norm Logic.
Studia Logica, 71(2):199–226, 2002.
http://dx.doi.org/10.1023/A:1016548805869.
F. Esteva, J. Gispert, L. Godo, and C. Noguera.
Adding truth-constants to logics of continuous t-norms:
Axiomatization and completeness results.
Fuzzy Sets and Systems, 158(6):597–618, 2007.
http://dx.doi.org/10.1016/j.fss.2006.11.010.
42 / 49
Bibliografia IV
F. Esteva, L. Godo, and P. Hájek.
A complete many-valued logics with product-conjunction.
Archive for Mathematical Logic, 35(3):191–208, 1996.
http://dx.doi.org/10.1007/BF01268618.
K. Gödel.
Kurt Gödel: Opere, volume 1:1929-1936.
Bollati Boringhieri, 1999.
ISBN:88-339-1183-7.
N. Galatos, P. Jipsen, T. Kowalski, and H. Ono.
Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural
Logics, volume 151 of Studies in Logic and The Foundations of
Mathematics.
Elsevier, 2007.
ISBN:978-0-444-52141-5.
43 / 49
Bibliografia V
P. Hájek.
Metamathematics of Fuzzy Logic, volume 4 of Trends in Logic.
Kluwer Academic Publishers, 1998.
ISBN:978-1-4020-0370-7, 2002 Paperback edition.
E. P. Klement, R. Mesiar, and E. Pap.
Triangular Norms, volume 8 of Trends in Logic.
2000.
ISBN:978-0-7923-6416-0.
D. Mundici.
Satisfiability in many-valued sentential logic is NP-complete.
Theoretical Computer Science, 52(1-2):145–153, 1987.
http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(87)90083-1.
44 / 49
APPENDICE
45 / 49
Formula
Sia VAR = {x1 , x2 , . . . } un insieme (numerabile) di variabili e
{&, →, ⊥} l’insieme dei connettivi di base. Una formula è una stringa
finita di simboli presi da questi due insiemi e da {(, )}.
L’insieme FORM di formule ben formate è definito (induttivamente)
come segue:
1. VAR ⊂ FORM.
46 / 49
Formula
Sia VAR = {x1 , x2 , . . . } un insieme (numerabile) di variabili e
{&, →, ⊥} l’insieme dei connettivi di base. Una formula è una stringa
finita di simboli presi da questi due insiemi e da {(, )}.
L’insieme FORM di formule ben formate è definito (induttivamente)
come segue:
1. VAR ⊂ FORM.
2. ⊥ ∈ FORM.
46 / 49
Formula
Sia VAR = {x1 , x2 , . . . } un insieme (numerabile) di variabili e
{&, →, ⊥} l’insieme dei connettivi di base. Una formula è una stringa
finita di simboli presi da questi due insiemi e da {(, )}.
L’insieme FORM di formule ben formate è definito (induttivamente)
come segue:
1. VAR ⊂ FORM.
2. ⊥ ∈ FORM.
3. Se ϕ, ψ ∈ FORM allora (ϕ → ψ), (ϕ&ψ) ∈ FORM.
46 / 49
Formula
Sia VAR = {x1 , x2 , . . . } un insieme (numerabile) di variabili e
{&, →, ⊥} l’insieme dei connettivi di base. Una formula è una stringa
finita di simboli presi da questi due insiemi e da {(, )}.
L’insieme FORM di formule ben formate è definito (induttivamente)
come segue:
1. VAR ⊂ FORM.
2. ⊥ ∈ FORM.
3. Se ϕ, ψ ∈ FORM allora (ϕ → ψ), (ϕ&ψ) ∈ FORM.
4. Null’altro appartiene a FORM.
46 / 49
Formula
Sia VAR = {x1 , x2 , . . . } un insieme (numerabile) di variabili e
{&, →, ⊥} l’insieme dei connettivi di base. Una formula è una stringa
finita di simboli presi da questi due insiemi e da {(, )}.
L’insieme FORM di formule ben formate è definito (induttivamente)
come segue:
1. VAR ⊂ FORM.
2. ⊥ ∈ FORM.
3. Se ϕ, ψ ∈ FORM allora (ϕ → ψ), (ϕ&ψ) ∈ FORM.
4. Null’altro appartiene a FORM.
46 / 49
Formula
Sia VAR = {x1 , x2 , . . . } un insieme (numerabile) di variabili e
{&, →, ⊥} l’insieme dei connettivi di base. Una formula è una stringa
finita di simboli presi da questi due insiemi e da {(, )}.
L’insieme FORM di formule ben formate è definito (induttivamente)
come segue:
1. VAR ⊂ FORM.
2. ⊥ ∈ FORM.
3. Se ϕ, ψ ∈ FORM allora (ϕ → ψ), (ϕ&ψ) ∈ FORM.
4. Null’altro appartiene a FORM.
Nel seguito della presentazione ometteremo le parentesi non
necessarie e tutte le formule considerate saranno elementi di FORM.
indietro
46 / 49
Dimostrazione
Sia L una estensione schematica di BL: una dimostrazione di una
formula ϕ è una sequenza finita di formule
SEQ = hϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn = ϕi tale che, per ogni ϕi ∈ SEQ:
I
ϕi è un assioma di L, oppure
indietro
47 / 49
Dimostrazione
Sia L una estensione schematica di BL: una dimostrazione di una
formula ϕ è una sequenza finita di formule
SEQ = hϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn = ϕi tale che, per ogni ϕi ∈ SEQ:
I
ϕi è un assioma di L, oppure
I
esistono j, k con j, k < i vale che ϕi è ottenuto da ϕj , ϕk tramite
modus ponens.
indietro
47 / 49
Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,1
Sia T = {np → q} ∪ {¬p → q} una Ł-teoria infinita, dove p,q
sono variabili, np è p Y · · · Y p e p Y p indica ¬p → q
| {z }
n volte
48 / 49
Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,1
Sia T = {np → q} ∪ {¬p → q} una Ł-teoria infinita, dove p,q
sono variabili, np è p Y · · · Y p e p Y p indica ¬p → q
| {z }
n volte
In particolare, per ogni n ≥ 1 e ogni [0, 1]Ł -valutazione e
e(np) = min(1, ne(p))
48 / 49
Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,1
Sia T = {np → q} ∪ {¬p → q} una Ł-teoria infinita, dove p,q
sono variabili, np è p Y · · · Y p e p Y p indica ¬p → q
| {z }
n volte
In particolare, per ogni n ≥ 1 e ogni [0, 1]Ł -valutazione e
e(np) = min(1, ne(p))
Da questo consegue che q è vero in ogni [0, 1]Ł -modello e di T ,
infatti
48 / 49
Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,1
Sia T = {np → q} ∪ {¬p → q} una Ł-teoria infinita, dove p,q
sono variabili, np è p Y · · · Y p e p Y p indica ¬p → q
| {z }
n volte
In particolare, per ogni n ≥ 1 e ogni [0, 1]Ł -valutazione e
e(np) = min(1, ne(p))
Da questo consegue che q è vero in ogni [0, 1]Ł -modello e di T ,
infatti
Se e(p) = 0, allora l’ultimo assioma dà e(q) = 1
48 / 49
Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,1
Sia T = {np → q} ∪ {¬p → q} una Ł-teoria infinita, dove p,q
sono variabili, np è p Y · · · Y p e p Y p indica ¬p → q
| {z }
n volte
In particolare, per ogni n ≥ 1 e ogni [0, 1]Ł -valutazione e
e(np) = min(1, ne(p))
Da questo consegue che q è vero in ogni [0, 1]Ł -modello e di T ,
infatti
Se e(p) = 0, allora l’ultimo assioma dà e(q) = 1
Se e(p) > n1 , per n ∈ N+ \ {1}, allora e(np) = 1
48 / 49
Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,1
Sia T = {np → q} ∪ {¬p → q} una Ł-teoria infinita, dove p,q
sono variabili, np è p Y · · · Y p e p Y p indica ¬p → q
| {z }
n volte
In particolare, per ogni n ≥ 1 e ogni [0, 1]Ł -valutazione e
e(np) = min(1, ne(p))
Da questo consegue che q è vero in ogni [0, 1]Ł -modello e di T ,
infatti
Se e(p) = 0, allora l’ultimo assioma dà e(q) = 1
Se e(p) > n1 , per n ∈ N+ \ {1}, allora e(np) = 1
Tuttavia
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Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,1
Sia T = {np → q} ∪ {¬p → q} una Ł-teoria infinita, dove p,q
sono variabili, np è p Y · · · Y p e p Y p indica ¬p → q
| {z }
n volte
In particolare, per ogni n ≥ 1 e ogni [0, 1]Ł -valutazione e
e(np) = min(1, ne(p))
Da questo consegue che q è vero in ogni [0, 1]Ł -modello e di T ,
infatti
Se e(p) = 0, allora l’ultimo assioma dà e(q) = 1
Se e(p) > n1 , per n ∈ N+ \ {1}, allora e(np) = 1
Tuttavia
Per ogni sottoteoria finita T0 ⊂ T , possiamo trovare uno
[0, 1]Ł -modello e0 di T0 (con e0 (p) > 0 e sufficientemente piccolo)
tale che e0 (q) < 1
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Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,2
Ogni T -dimostrazione (T fa parte degli assiomi) usa un numero
finito di assiomi di T
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Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,2
Ogni T -dimostrazione (T fa parte degli assiomi) usa un numero
finito di assiomi di T
Quindi se una formula è provabile in T , allora (per la soundness
e il punto precedente) sarà vera per tutti gli [0, 1]Ł -modelli di ogni
sottoteoria finita T0 (sufficientemente grande) di T
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Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,2
Ogni T -dimostrazione (T fa parte degli assiomi) usa un numero
finito di assiomi di T
Quindi se una formula è provabile in T , allora (per la soundness
e il punto precedente) sarà vera per tutti gli [0, 1]Ł -modelli di ogni
sottoteoria finita T0 (sufficientemente grande) di T
Quindi (per l’esistenza dei T0 -contromodelli di q prima citati e la
FSSC) T 0Ł q
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Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,2
Ogni T -dimostrazione (T fa parte degli assiomi) usa un numero
finito di assiomi di T
Quindi se una formula è provabile in T , allora (per la soundness
e il punto precedente) sarà vera per tutti gli [0, 1]Ł -modelli di ogni
sottoteoria finita T0 (sufficientemente grande) di T
Quindi (per l’esistenza dei T0 -contromodelli di q prima citati e la
FSSC) T 0Ł q
Tuttavia T |=[0,1]Ł q e quindi Ł non gode della SSC
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