Dottorato MaSSC XXIII Ciclo SEMINARIO: Introduzione alle logiche polivalenti Matteo Bianchi [email protected] 1 / 49 Logiche polivalenti Polivalente: (estens.) che serve o si adatta a diversi usi; che produce più effetti. 2 / 49 Logiche polivalenti Polivalente: (estens.) che serve o si adatta a diversi usi; che produce più effetti. Si tratta quindi di logiche che, in qualche modo, sono più flessibili e generali di quella classica. 2 / 49 Logiche polivalenti Polivalente: (estens.) che serve o si adatta a diversi usi; che produce più effetti. Si tratta quindi di logiche che, in qualche modo, sono più flessibili e generali di quella classica. Per semplicità ci limiteremo al caso proposizionale. 2 / 49 Uno dei fondatori... Figura: Jan Łukasiewicz 1878-1956 3 / 49 ...e il suo punto di vista By logic I mean the science of logical values. Conceived in this way, logic has it own subject-matter of research, with which no other discipline is concerned. Logic is not a science of propositions, since that belongs to grammar; it is not a science of judgements or convictions, since that belongs to psychology; it is not a science of contents expressed by propositions, since that, according to the content involved, is the concern of the various detailed disciplines; it is not a science of “objects in general”, since that belongs to ontology. Logic is the science of objects of specific kind, namely of logical values. [Bor70, Two valued logic] 4 / 49 La logica Ł3 Seguendo questo paradigma Łukasiewicz introduce , nel 1920,1 una logica a tre valori di verità. 1 [Bor70, On three valued logic] 5 / 49 La logica Ł3 Seguendo questo paradigma Łukasiewicz introduce , nel 1920,1 una logica a tre valori di verità. {0, 12 , 1}: 0 falso, 1 vero, 12 . 1 [Bor70, On three valued logic] 5 / 49 La logica Ł3 Seguendo questo paradigma Łukasiewicz introduce , nel 1920,1 una logica a tre valori di verità. {0, 12 , 1}: 0 falso, 1 vero, 12 . La semantica associata ai connettivi di negazione ed implicazione è la seguente: 1 [Bor70, → 0 0 1 1 2 1 2 1 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 0 ¬ 1 1 2 1 2 1 0 On three valued logic] 5 / 49 In seguito Łukasiewicz introduce una logica ad infiniti valori di verità 2 . 2 [Bor70, Investigations into the sentential calculus] 3 [Cha58] 4 [Cha59] 6 / 49 In seguito Łukasiewicz introduce una logica ad infiniti valori di verità 2 . La classe di algebre che fa da controparte semantica per tale logica viene studiata da Chen Chung Chang3 , che dimostra anche un teorema di completezza4 . La classe di tali strutture è nota come MV-algebre (Many-Valued). 2 [Bor70, Investigations into the sentential calculus] 3 [Cha58] 4 [Cha59] 6 / 49 In seguito Łukasiewicz introduce una logica ad infiniti valori di verità 2 . La classe di algebre che fa da controparte semantica per tale logica viene studiata da Chen Chung Chang3 , che dimostra anche un teorema di completezza4 . La classe di tali strutture è nota come MV-algebre (Many-Valued). Tuttavia, non esiste un unico modo di generalizzare la logica proposizionale classica (LPC) ad una logica a più valori di verità. 2 [Bor70, Investigations into the sentential calculus] 3 [Cha58] 4 [Cha59] 6 / 49 In seguito Łukasiewicz introduce una logica ad infiniti valori di verità 2 . La classe di algebre che fa da controparte semantica per tale logica viene studiata da Chen Chung Chang3 , che dimostra anche un teorema di completezza4 . La classe di tali strutture è nota come MV-algebre (Many-Valued). Tuttavia, non esiste un unico modo di generalizzare la logica proposizionale classica (LPC) ad una logica a più valori di verità. Quali possono essere delle caratteristiche desiderabili, per una logica polivalente ? 2 [Bor70, Investigations into the sentential calculus] 3 [Cha58] 4 [Cha59] 6 / 49 Un elenco di proprietà-1 Dato che si tratta di generalizzazioni della LPC, è ragionevole che, dal punto di vista semantico, i connettivi logici abbiano il medesimo comportamento del caso classico, quando operano su 0, 1. 7 / 49 Un elenco di proprietà-1 Dato che si tratta di generalizzazioni della LPC, è ragionevole che, dal punto di vista semantico, i connettivi logici abbiano il medesimo comportamento del caso classico, quando operano su 0, 1. Verofunzionalità (composizionalità): nel caso classico vale che il valore di verità di una formula è determinato univocamente da quello delle sue variabili e dalla semantica associata ai connettivi. È auspicabile mantenere tale proprietà. 7 / 49 Un elenco di proprietà-1 Dato che si tratta di generalizzazioni della LPC, è ragionevole che, dal punto di vista semantico, i connettivi logici abbiano il medesimo comportamento del caso classico, quando operano su 0, 1. Verofunzionalità (composizionalità): nel caso classico vale che il valore di verità di una formula è determinato univocamente da quello delle sue variabili e dalla semantica associata ai connettivi. È auspicabile mantenere tale proprietà. In generale perderemo la bivalenza e, quindi, il principio del terzo escluso. 7 / 49 Un elenco di proprietà-2 E per quanto concerne l’insieme dei valori di verità ? 8 / 49 Un elenco di proprietà-2 E per quanto concerne l’insieme dei valori di verità ? Un requisito utile è che abbia massimo 1 e minimo 0. 8 / 49 Un elenco di proprietà-2 E per quanto concerne l’insieme dei valori di verità ? Un requisito utile è che abbia massimo 1 e minimo 0. Tra i vari “candidati” sembra interessante l’intervallo reale unitario [0, 1] (come vedremo, giocherà un ruolo rilevante): 8 / 49 Un elenco di proprietà-2 E per quanto concerne l’insieme dei valori di verità ? Un requisito utile è che abbia massimo 1 e minimo 0. Tra i vari “candidati” sembra interessante l’intervallo reale unitario [0, 1] (come vedremo, giocherà un ruolo rilevante): h[0, 1], ≤R i forma un reticolo completo. 8 / 49 Un elenco di proprietà-2 E per quanto concerne l’insieme dei valori di verità ? Un requisito utile è che abbia massimo 1 e minimo 0. Tra i vari “candidati” sembra interessante l’intervallo reale unitario [0, 1] (come vedremo, giocherà un ruolo rilevante): h[0, 1], ≤R i forma un reticolo completo. non vi sono “gap” tra un valore di verità e l’altro. 8 / 49 Norme Triangolari-1 Definizione ([KMP00]) Una norma triangolare o t-norma è un’operazione binaria ∗ sull’intervallo unitario reale [0, 1], ovvero una funzione ∗ : [0, 1]2 → [0, 1] tale che, per ogni x, y , z ∈ [0, 1] (usiamo la notazione infissa) (T1) x ∗y =y ∗x (T2) x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y ) ∗ z (T3) x ∗ y ≤ x ∗ z se y ≤ z (T4) x ∗1=x Si noti come, poiché 0 = 0 ∗ 1 ≥ 0 ∗ x per ogni x ∈ [0, 1], valga x ∗ 0 = 0. Da questo consegue che il comportamento sui ”bordi“ è lo stesso per tutte le t-norme. 9 / 49 Norme triangolari-2 Quelle che seguono sono le tre t-norme continue ”fondamentali“: (minimo) x ∗G y = min(x, y ) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 01 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 1 0.8 0.6 x ∗Π y = x · y (prodotto) 1 0.8 0.6 0.4 1 0.2 0.8 00 0.6 0.2 0.4 0.4 0.6 0.2 0.8 1 0 10 / 49 Norme triangolari-3 x ∗Ł y = max(0, x + y − 1) (Łukasiewicz) 1 0.8 0.6 0.4 1 0.2 0.8 00 0.6 0.2 0.4 0.4 0.6 0.2 0.8 1 0 Vengono dette ”fondamentali“ poichè ogni altra t-norma continua è ottenibile, in termini di queste, tramite una particolare costruzione, detta somma ordinale. 11 / 49 Residui-1 Sia ∗ una t-norma continua: il residuo associato, che denoteremo con ⇒, è definito come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]: x ⇒ y := max{z : z ∗ x ≤ y } 12 / 49 Residui-1 Sia ∗ una t-norma continua: il residuo associato, che denoteremo con ⇒, è definito come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]: x ⇒ y := max{z : z ∗ x ≤ y } Si può verificare che tale operazione è l’unica soluzione delle seguenti disuguaglianze z ∗x ≤y sse z ≤ x ⇒ y 12 / 49 Residui-1 Sia ∗ una t-norma continua: il residuo associato, che denoteremo con ⇒, è definito come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1]: x ⇒ y := max{z : z ∗ x ≤ y } Si può verificare che tale operazione è l’unica soluzione delle seguenti disuguaglianze z ∗x ≤y sse z ≤ x ⇒ y Inoltre vale che, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ⇒y =1 sse x ≤ y, 1⇒0=0 12 / 49 Residui-2 Mostriamo ora i residui delle tre t-norme citate: ( 1 se x ≤ y (Gödel) x ⇒G y = y altrimenti 1 0.8 0.6 0.4 1 0.2 0.8 0.6 00 0.2 0.4 0.4 0.6 0.2 0.8 1 0 x ⇒Ł y = min(1, 1 − x + y) (Łukasiewicz) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 00 1 0.2 0.8 0.4 0.6 0.6 0.4 0.8 0.2 1 0 13 / 49 Residui-3 ( (prodotto) x ⇒Π y = se x ≤ y altrimenti 1 y x 1 0.8 0.6 0.4 1 0.2 0.8 00 0.6 0.2 0.4 0.4 0.6 0.2 0.8 1 0 Si noti che ⇒Ł è l’unico residuo continuo. 14 / 49 Osservazioni: Le t-norme continue e i residui quindi, hanno tutti i requisiti per svolgere il ruolo (semantico) di congiunzione e implicazione, quando si opera su [0, 1]. 15 / 49 Osservazioni: Le t-norme continue e i residui quindi, hanno tutti i requisiti per svolgere il ruolo (semantico) di congiunzione e implicazione, quando si opera su [0, 1]. Ma in quale modo possono essere associati ad una semantica per una logica polivalente ? 15 / 49 Osservazioni: Le t-norme continue e i residui quindi, hanno tutti i requisiti per svolgere il ruolo (semantico) di congiunzione e implicazione, quando si opera su [0, 1]. Ma in quale modo possono essere associati ad una semantica per una logica polivalente ? Più in generale, quali sono le logiche complete rispetto a siffatta semantica ? 15 / 49 Basic Logic di Hájek La risposta è stata data dal logico ceco Petr Hájek, tramite la Basic Logic (BL), introdotta nella monografia [Háj98] e le estensioni schematiche ad essa associate (logiche che si ottengono aggiungendo assiomi a BL). 16 / 49 Sintassi Le formule di BL sono {&, →, ⊥}, come segue costruite ϕ&ψ, a partire dall’insieme di connettivi ϕ → ψ, ⊥ 17 / 49 Sintassi Le formule di BL sono {&, →, ⊥}, come segue costruite ϕ&ψ, a partire dall’insieme di connettivi ϕ → ψ, ⊥ Connettivi derivati: ¬ϕ è ϕ→⊥ ϕ∧ψ è ϕ&(ϕ → ψ) ϕ∨ψ è ((ϕ → ψ) → ψ) ∧ ((ψ → ϕ) → ϕ) ϕ≡ψ è (ϕ → ψ)&(ψ → ϕ) > è ¬⊥ 17 / 49 Assiomatizzazione di BL BL è assiomatizzata come segue (A1) (ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ)) (A2) (ϕ&ψ) → ϕ (A3) (ϕ&ψ) → (ψ&ϕ) (A4) (ϕ&(ϕ → ψ)) → (ψ&(ψ → ϕ)) (A5a) (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ&ψ) → χ) (A5b) ((ϕ&ψ) → χ) → (ϕ → (ψ → χ)) (A6) ((ϕ → ψ) → χ) → (((ψ → ϕ) → χ) → χ) (A7) ⊥→ϕ 18 / 49 Assiomatizzazione di BL BL è assiomatizzata come segue (A1) (ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ)) (A2) (ϕ&ψ) → ϕ (A3) (ϕ&ψ) → (ψ&ϕ) (A4) (ϕ&(ϕ → ψ)) → (ψ&(ψ → ϕ)) (A5a) (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ&ψ) → χ) (A5b) ((ϕ&ψ) → χ) → (ϕ → (ψ → χ)) (A6) ((ϕ → ψ) → χ) → (((ψ → ϕ) → χ) → χ) (A7) ⊥→ϕ Come regola di inferenza, abbiamo il modus ponens (MP) ϕ ϕ→ψ ψ 18 / 49 Logiche di Gödel5 , Łukasiewicz e Prodotto6 Si ottengono aggiungendo agli assiomi di BL, rispettivamente (ID) ϕ → ϕ&ϕ (INV) ¬¬ϕ → ϕ (PC) ¬ϕ ∨ ((ϕ → (ϕ&ψ)) → ψ) 5 Un primo cenno alla sua semantica è stato dato da Gödel in [Göd99, Sul calcolo proposizionale intuizionista]. In seguito M. Dummett diede un’assiomatizzazione alla logica in [Dum59] 6 [EGH96] 19 / 49 Logiche di Gödel5 , Łukasiewicz e Prodotto6 Si ottengono aggiungendo agli assiomi di BL, rispettivamente (ID) ϕ → ϕ&ϕ (INV) ¬¬ϕ → ϕ (PC) ¬ϕ ∨ ((ϕ → (ϕ&ψ)) → ψ) Si denotano con G, Ł, Π 5 Un primo cenno alla sua semantica è stato dato da Gödel in [Göd99, Sul calcolo proposizionale intuizionista]. In seguito M. Dummett diede un’assiomatizzazione alla logica in [Dum59] 6 [EGH96] 19 / 49 Logiche di Gödel5 , Łukasiewicz e Prodotto6 Si ottengono aggiungendo agli assiomi di BL, rispettivamente (ID) ϕ → ϕ&ϕ (INV) ¬¬ϕ → ϕ (PC) ¬ϕ ∨ ((ϕ → (ϕ&ψ)) → ψ) Si denotano con G, Ł, Π Mantengono la medesima regola di inferenza di BL 5 Un primo cenno alla sua semantica è stato dato da Gödel in [Göd99, Sul calcolo proposizionale intuizionista]. In seguito M. Dummett diede un’assiomatizzazione alla logica in [Dum59] 6 [EGH96] 19 / 49 Logiche di Gödel5 , Łukasiewicz e Prodotto6 Si ottengono aggiungendo agli assiomi di BL, rispettivamente (ID) ϕ → ϕ&ϕ (INV) ¬¬ϕ → ϕ (PC) ¬ϕ ∨ ((ϕ → (ϕ&ψ)) → ψ) Si denotano con G, Ł, Π Mantengono la medesima regola di inferenza di BL Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, ϕ una formula e T una teoria (insieme di formule): con la notazione T `L ϕ indichiamo che esiste una dimostrazione della formula ϕ ottenuta aggiungendo le formule di T agli assiomi di L 5 Un primo cenno alla sua semantica è stato dato da Gödel in [Göd99, Sul calcolo proposizionale intuizionista]. In seguito M. Dummett diede un’assiomatizzazione alla logica in [Dum59] 6 [EGH96] 19 / 49 Un diagramma riassuntivo LPC ? O _?? ?? ?? ?? ?? ¬¬ϕ→ϕ ??¬¬ϕ→ϕ ϕ→ϕ&ϕ ?? ?? ?? ?? ?? Π G _? ŁO ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ¬¬ϕ→ϕ ¬ϕ∨((ϕ→(ϕ&ψ))→ψ) ϕ→ϕ&ϕ ?? ?? ?? ?? ? BL 20 / 49 Reticoli residuati e BL-algebre Definizione Un reticolo residuato è un’algebra hA, u, t, ∗, ⇒, 0, 1i tale che 21 / 49 Reticoli residuati e BL-algebre Definizione Un reticolo residuato è un’algebra hA, u, t, ∗, ⇒, 0, 1i tale che hA, u, t, 0, 1i è un reticolo limitato 21 / 49 Reticoli residuati e BL-algebre Definizione Un reticolo residuato è un’algebra hA, u, t, ∗, ⇒, 0, 1i tale che hA, u, t, 0, 1i è un reticolo limitato hA, ∗, 1i è un monoide commutativo 21 / 49 Reticoli residuati e BL-algebre Definizione Un reticolo residuato è un’algebra hA, u, t, ∗, ⇒, 0, 1i tale che hA, u, t, 0, 1i è un reticolo limitato hA, ∗, 1i è un monoide commutativo h∗, ⇒i formano una coppia residuata, ovvero z ∗x ≤y sse z≤x ⇒y (x ⇒ y = max{z : z ∗ x ≤ y }) 21 / 49 Reticoli residuati e BL-algebre Definizione Un reticolo residuato è un’algebra hA, u, t, ∗, ⇒, 0, 1i tale che hA, u, t, 0, 1i è un reticolo limitato hA, ∗, 1i è un monoide commutativo h∗, ⇒i formano una coppia residuata, ovvero z ∗x ≤y sse z≤x ⇒y (x ⇒ y = max{z : z ∗ x ≤ y }) Definizione Una BL-algebra è un reticolo residuato che soddisfa (prelinearità) (x ⇒ y) t (y ⇒ x) = 1 (divisibilità) x u y = x ∗ (x ⇒ y ) 21 / 49 Proprietà delle BL-algebre Sia A una BL-algebra, allora, per ogni x, y, z ∈ A vale che x ∗ (x ⇒ y ) ≤ y e x ≤ (y ⇒ (x ∗ y)) 22 / 49 Proprietà delle BL-algebre Sia A una BL-algebra, allora, per ogni x, y, z ∈ A vale che x ∗ (x ⇒ y ) ≤ y e x ≤ (y ⇒ (x ∗ y)) x ≤ y implica x ∗ z ≤ y ∗ z, (z ⇒ x) ≤ (z ⇒ y ), (y ⇒ z) ≤ (x ⇒ z) 22 / 49 Proprietà delle BL-algebre Sia A una BL-algebra, allora, per ogni x, y, z ∈ A vale che x ∗ (x ⇒ y ) ≤ y e x ≤ (y ⇒ (x ∗ y)) x ≤ y implica x ∗ z ≤ y ∗ z, (z ⇒ x) ≤ (z ⇒ y ), (y ⇒ z) ≤ (x ⇒ z) x ≤ y sse x ⇒ y = 1 22 / 49 Proprietà delle BL-algebre Sia A una BL-algebra, allora, per ogni x, y, z ∈ A vale che x ∗ (x ⇒ y ) ≤ y e x ≤ (y ⇒ (x ∗ y)) x ≤ y implica x ∗ z ≤ y ∗ z, (z ⇒ x) ≤ (z ⇒ y ), (y ⇒ z) ≤ (x ⇒ z) x ≤ y sse x ⇒ y = 1 (x t y ) ∗ z = (x ∗ z) t (y ∗ z) 22 / 49 Proprietà delle BL-algebre Sia A una BL-algebra, allora, per ogni x, y, z ∈ A vale che x ∗ (x ⇒ y ) ≤ y e x ≤ (y ⇒ (x ∗ y)) x ≤ y implica x ∗ z ≤ y ∗ z, (z ⇒ x) ≤ (z ⇒ y ), (y ⇒ z) ≤ (x ⇒ z) x ≤ y sse x ⇒ y = 1 (x t y ) ∗ z = (x ∗ z) t (y ∗ z) x t y = ((x ⇒ y) ⇒ y ) u ((y ⇒ x) ⇒ x) 22 / 49 Algebre di Gödel, Łukasiewicz e Prodotto Si tratta di BL algebre che soddisfano, rispettivamente, i seguenti assiomi (dove ∼ x indica x ⇒ 0) (id) x =x ∗x (inv) ∼∼ x = x (pc) ∼ x t ((x ⇒ (x ∗ y)) ⇒ y) = 1 23 / 49 Algebre di Gödel, Łukasiewicz e Prodotto Si tratta di BL algebre che soddisfano, rispettivamente, i seguenti assiomi (dove ∼ x indica x ⇒ 0) (id) x =x ∗x (inv) ∼∼ x = x (pc) ∼ x t ((x ⇒ (x ∗ y)) ⇒ y) = 1 Le Ł-algebre vengono dette MV-algebre 23 / 49 Algebre di Gödel, Łukasiewicz e Prodotto Si tratta di BL algebre che soddisfano, rispettivamente, i seguenti assiomi (dove ∼ x indica x ⇒ 0) (id) x =x ∗x (inv) ∼∼ x = x (pc) ∼ x t ((x ⇒ (x ∗ y)) ⇒ y) = 1 Le Ł-algebre vengono dette MV-algebre Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π} e A una L-algebra: se il ridotto reticolare di A è h[0, 1], min, maxi, allora diremo che è una L-algebra standard. 23 / 49 Algebre di Gödel, Łukasiewicz e Prodotto Si tratta di BL algebre che soddisfano, rispettivamente, i seguenti assiomi (dove ∼ x indica x ⇒ 0) (id) x =x ∗x (inv) ∼∼ x = x (pc) ∼ x t ((x ⇒ (x ∗ y)) ⇒ y) = 1 Le Ł-algebre vengono dette MV-algebre Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π} e A una L-algebra: se il ridotto reticolare di A è h[0, 1], min, maxi, allora diremo che è una L-algebra standard. Una L-algebra totalmente ordinata viene detta L-catena. 23 / 49 Esempi - MV-algebra standard Si denotano con [0, 1]Ł = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] 24 / 49 Esempi - MV-algebra standard Si denotano con [0, 1]Ł = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗Ł y = max(0, x + y − 1) 24 / 49 Esempi - MV-algebra standard Si denotano con [0, 1]Ł = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗Ł y = max(0, x + y − 1) x ⇒ y = x ⇒Ł y = min(1, 1 − x + y) 24 / 49 Esempi - MV-algebra standard Si denotano con [0, 1]Ł = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗Ł y = max(0, x + y − 1) x ⇒ y = x ⇒Ł y = min(1, 1 − x + y) ∼x =1−x 24 / 49 Esempi - MV-algebra standard Si denotano con [0, 1]Ł = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗Ł y = max(0, x + y − 1) x ⇒ y = x ⇒Ł y = min(1, 1 − x + y) ∼x =1−x x t y = max(x, y ) 24 / 49 Esempi - MV-algebra standard Si denotano con [0, 1]Ł = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗Ł y = max(0, x + y − 1) x ⇒ y = x ⇒Ł y = min(1, 1 − x + y) ∼x =1−x x t y = max(x, y ) x u y = min(x, y) 24 / 49 Esempi - Π-algebra standard Si denotano con [0, 1]Π = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] 25 / 49 Esempi - Π-algebra standard Si denotano con [0, 1]Π = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗Π y = x · y 25 / 49 Esempi - Π-algebra standard Si denotano con [0, 1]Π = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗Π y = x · y ( x ⇒ y = x ⇒Π y = 1 y x se x ≤ y altrimenti 25 / 49 Esempi - Π-algebra standard Si denotano con [0, 1]Π = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗Π y = x · y ( x ⇒ y = x ⇒Π y = ( ∼x = 1 0 1 y x se x ≤ y altrimenti se x = 0 altrimenti 25 / 49 Esempi - Π-algebra standard Si denotano con [0, 1]Π = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗Π y = x · y ( x ⇒ y = x ⇒Π y = ( ∼x = 1 0 1 y x se x ≤ y altrimenti se x = 0 altrimenti x t y = max(x, y ) 25 / 49 Esempi - Π-algebra standard Si denotano con [0, 1]Π = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗Π y = x · y ( x ⇒ y = x ⇒Π y = ( ∼x = 1 0 1 y x se x ≤ y altrimenti se x = 0 altrimenti x t y = max(x, y ) x u y = min(x, y) 25 / 49 Esempi - G-algebre standard Si denotano con [0, 1]G = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] 26 / 49 Esempi - G-algebre standard Si denotano con [0, 1]G = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗G y = min(x, y ) 26 / 49 Esempi - G-algebre standard Si denotano con [0, 1]G = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗G y = min(x, y ) ( 1 x ⇒ y = x ⇒G y = y se x ≤ y altrimenti 26 / 49 Esempi - G-algebre standard Si denotano con [0, 1]G = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗G y = min(x, y ) ( 1 se x ≤ y x ⇒ y = x ⇒G y = y altrimenti ( 1 se x = 0 ∼x = 0 altrimenti 26 / 49 Esempi - G-algebre standard Si denotano con [0, 1]G = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗G y = min(x, y ) ( 1 se x ≤ y x ⇒ y = x ⇒G y = y altrimenti ( 1 se x = 0 ∼x = 0 altrimenti x t y = max(x, y ) 26 / 49 Esempi - G-algebre standard Si denotano con [0, 1]G = h[0, 1], u, t, ∗, ⇒, 0, 1i: le operazioni sono definite come segue, per ogni x, y ∈ [0, 1] x ∗ y = x ∗G y = min(x, y ) ( 1 se x ≤ y x ⇒ y = x ⇒G y = y altrimenti ( 1 se x = 0 ∼x = 0 altrimenti x t y = max(x, y ) x u y = min(x, y) 26 / 49 Semantica-1 Sia A = hA, u, t, ∗, ⇒, 0, 1i una BL-algebra e sia v : X → A un assegnamento dalle variabili a elementi di A: esso si estende unicamente ad una A-valutazione su tutte le formule e : Form → A 27 / 49 Semantica-1 Sia A = hA, u, t, ∗, ⇒, 0, 1i una BL-algebra e sia v : X → A un assegnamento dalle variabili a elementi di A: esso si estende unicamente ad una A-valutazione su tutte le formule e : Form → A Cosı̀ definita: e(⊥) = 0 e(xi ) = v (xi ) e(ϕ → ψ) = e(ϕ) ⇒ e(ψ) e(ϕ&ψ) = e(ϕ) ∗ e(ψ) 27 / 49 Semantica-2 Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π} e A una L-algebra I A di dice modello per una formula ϕ (A |= ϕ), qualora per ogni A-valutazione v si abbia v (ϕ) = 1 (ϕ è una A-tautologia). 28 / 49 Semantica-2 Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π} e A una L-algebra I A di dice modello per una formula ϕ (A |= ϕ), qualora per ogni A-valutazione v si abbia v (ϕ) = 1 (ϕ è una A-tautologia). I A si dice modello di una teoria T (A |= T ) qualora A |= ψ per ogni ψ ∈ T . 28 / 49 Semantica-2 Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π} e A una L-algebra I A di dice modello per una formula ϕ (A |= ϕ), qualora per ogni A-valutazione v si abbia v (ϕ) = 1 (ϕ è una A-tautologia). I A si dice modello di una teoria T (A |= T ) qualora A |= ψ per ogni ψ ∈ T . I Infine, con T |=A ϕ si indica che se A |= T , allora A |= ϕ. 28 / 49 Completezza Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, T , ϕ una teoria e una formula e K una classe di L-algebre. Supponiamo che, per ogni A ∈ K , si abbia (1) T `L ϕ sse T |=A ϕ Allora 29 / 49 Completezza Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, T , ϕ una teoria e una formula e K una classe di L-algebre. Supponiamo che, per ogni A ∈ K , si abbia (1) T `L ϕ sse T |=A ϕ Allora Se (1) vale per T arbitrario, allora diciamo che L gode della completezza forte rispetto alla classe K , SK C 29 / 49 Completezza Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, T , ϕ una teoria e una formula e K una classe di L-algebre. Supponiamo che, per ogni A ∈ K , si abbia (1) T `L ϕ sse T |=A ϕ Allora Se (1) vale per T arbitrario, allora diciamo che L gode della completezza forte rispetto alla classe K , SK C Se (1) vale solo per T finita, allora diciamo che L gode della completezza forte finita rispetto alla classe K , FSK C 29 / 49 Completezza Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, T , ϕ una teoria e una formula e K una classe di L-algebre. Supponiamo che, per ogni A ∈ K , si abbia (1) T `L ϕ sse T |=A ϕ Allora Se (1) vale per T arbitrario, allora diciamo che L gode della completezza forte rispetto alla classe K , SK C Se (1) vale solo per T finita, allora diciamo che L gode della completezza forte finita rispetto alla classe K , FSK C Se (1) vale solo per T = ∅, allora diciamo che L gode della completezza rispetto alla classe K , K C 29 / 49 Completezza Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, T , ϕ una teoria e una formula e K una classe di L-algebre. Supponiamo che, per ogni A ∈ K , si abbia (1) T `L ϕ sse T |=A ϕ Allora Se (1) vale per T arbitrario, allora diciamo che L gode della completezza forte rispetto alla classe K , SK C Se (1) vale solo per T finita, allora diciamo che L gode della completezza forte finita rispetto alla classe K , FSK C Se (1) vale solo per T = ∅, allora diciamo che L gode della completezza rispetto alla classe K , K C Chiaramente SK C → FSK C → K C 29 / 49 Completezza Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, T , ϕ una teoria e una formula e K una classe di L-algebre. Supponiamo che, per ogni A ∈ K , si abbia (1) T `L ϕ sse T |=A ϕ Allora Se (1) vale per T arbitrario, allora diciamo che L gode della completezza forte rispetto alla classe K , SK C Se (1) vale solo per T finita, allora diciamo che L gode della completezza forte finita rispetto alla classe K , FSK C Se (1) vale solo per T = ∅, allora diciamo che L gode della completezza rispetto alla classe K , K C Chiaramente SK C → FSK C → K C Esempi tipici: K = classe delle L-algebre = A, K = classe delle L-catene = C, K =classe delle L-algebre standard = S 29 / 49 Completezza, risultati-1 Teorema ([Háj98]) Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, allora L gode della SCC ed SAC. 30 / 49 Completezza, risultati-1 Teorema ([Háj98]) Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, allora L gode della SCC ed SAC. Teorema ([CEGT00]) Una funzione ∗ : [0, 1]2 → [0, 1] è una t-norma continua se e solo se è l’operazione ∗ di una BL-algebra standard. 30 / 49 Completezza, risultati-1 Teorema ([Háj98]) Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, allora L gode della SCC ed SAC. Teorema ([CEGT00]) Una funzione ∗ : [0, 1]2 → [0, 1] è una t-norma continua se e solo se è l’operazione ∗ di una BL-algebra standard. Teorema ([EGGM02]) Sia L ∈ {BL,Ł,G,Π}, allora L gode della FSSC. Ne consegue che BL gode della SC e quindi è la logica delle continue e dei loro residui. 30 / 49 Completezza, risultati-2 Teorema ([EGGN07]) G è l’unica estensione schematica di BL che goda della SSC 31 / 49 Completezza, risultati-2 Teorema ([EGGN07]) G è l’unica estensione schematica di BL che goda della SSC 31 / 49 Completezza, risultati-2 Teorema ([EGGN07]) G è l’unica estensione schematica di BL che goda della SSC Tuttavia, non tutti i risultati sono positivi Corollario La logica L ∈ {BL,Ł,Π} non gode della SSC 31 / 49 Completezza, rassegna risultati SAC SCC SC FSSC SSC BL sı̀ sı̀ sı̀ sı̀ no Ł sı̀ sı̀ sı̀ sı̀ no G sı̀ sı̀ sı̀ sı̀ sı̀ Π sı̀ sı̀ sı̀ sı̀ no 32 / 49 Decidibilità Si considerino i seguenti insiemi, per L ∈ {BL,Ł,G,Π}: TAUTL = {ϕ : |=S ϕ} SATL = {ϕ : esiste, per qualche A ∈ S, una A-valutazione v tale che v (ϕ) = 1} vale che: Teorema ([Háj98, BHMV01, Mun87]) 33 / 49 Decidibilità Si considerino i seguenti insiemi, per L ∈ {BL,Ł,G,Π}: TAUTL = {ϕ : |=S ϕ} SATL = {ϕ : esiste, per qualche A ∈ S, una A-valutazione v tale che v (ϕ) = 1} vale che: Teorema ([Háj98, BHMV01, Mun87]) SATG , SATΠ , SATŁ , SATBL sono NP-completi. 33 / 49 Decidibilità Si considerino i seguenti insiemi, per L ∈ {BL,Ł,G,Π}: TAUTL = {ϕ : |=S ϕ} SATL = {ϕ : esiste, per qualche A ∈ S, una A-valutazione v tale che v (ϕ) = 1} vale che: Teorema ([Háj98, BHMV01, Mun87]) SATG , SATΠ , SATŁ , SATBL sono NP-completi. TAUTG , TAUTΠ , TAUTŁ , TAUTBL sono Co-NP-completi. 33 / 49 Conclusioni Le logiche polivalenti sono una generalizzazione del caso classico. 34 / 49 Conclusioni Le logiche polivalenti sono una generalizzazione del caso classico. Possiedono una maggiore flessibilità, grazie a valori di verità intermedi, rispetto al vero e falso assoluto. 34 / 49 Conclusioni Le logiche polivalenti sono una generalizzazione del caso classico. Possiedono una maggiore flessibilità, grazie a valori di verità intermedi, rispetto al vero e falso assoluto. In questa presentazione ci siamo limitati solo alla gerarchia delle estensioni schematiche di BL, tuttavia ne esiste una ben più ampia. 34 / 49 Conclusioni Le logiche polivalenti sono una generalizzazione del caso classico. Possiedono una maggiore flessibilità, grazie a valori di verità intermedi, rispetto al vero e falso assoluto. In questa presentazione ci siamo limitati solo alla gerarchia delle estensioni schematiche di BL, tuttavia ne esiste una ben più ampia. Esistono logiche polivalenti non solo dal punto di vista semantico, ma anche sintattico: un esempio è dato dalla logica di Pavelka, dove si ha un grado di provabilità. 34 / 49 Conclusioni Le logiche polivalenti sono una generalizzazione del caso classico. Possiedono una maggiore flessibilità, grazie a valori di verità intermedi, rispetto al vero e falso assoluto. In questa presentazione ci siamo limitati solo alla gerarchia delle estensioni schematiche di BL, tuttavia ne esiste una ben più ampia. Esistono logiche polivalenti non solo dal punto di vista semantico, ma anche sintattico: un esempio è dato dalla logica di Pavelka, dove si ha un grado di provabilità. A causa del carattere informale della presentazione, non è stato possibile introdurre recenti risultati di ricerca; ciò sarà oggetto di futuri seminari. 34 / 49 Letture Consigliate-Norme Triangolari [KMP00] 35 / 49 Letture Consigliate-Reticoli residuati e logiche associate [GJKO07] 36 / 49 Letture Consigliate-MV-algebre [CDM99] 37 / 49 Letture Consigliate-Basic Logic e sue estensioni [Háj98] 38 / 49 Un corso interessante Logica Fuzzy tenuto da Stefano Aguzzoli, Vincenzo Marra Dipartimento DSI/DICo, via comelico 39 http://logicafuzzy.dico.unimi.it/ 39 / 49 Bibliografia I M. Baaz, P. Hájek, F. Montagna, and H. Veith. Complexity of t-tautologies. Annals of Pure and Applied Logic, 113(1):3–11, 2001. http://dx.doi.org/10.1016/S0168-0072(01)00048-3. L. Borkowski, editor. Jan Łukasiewicz Selected Works. Studies In Logic and The Foundations of Mathematics. North Holland Publishing Company - Amsterdam, Polish Scientific Publishers - Warszawa, 1970. R. Cignoli, I. D’Ottaviano, and D. Mundici. Algebraic Foundations of Many-Valued Reasoning, volume 7 of Trends in Logic. Kluwer Academic Publishers, 1999. ISBN:978-0-7923-6009-4. 40 / 49 Bibliografia II R. Cignoli, F. Esteva, L. Godo, and A. Torrens. Basic fuzzy logic is the logic of continuous t-norms and their residua. Soft Computing, 4:105–112, 2000. http://dx.doi.org/10.1007/s005000000044. C. C. Chang. Algebraic analysis of many-valued logics. Transactions of the American Mathematical Society, 88:467–490, 1958. http://www.jstor.org/stable/1993227. C. C. Chang. A New Proof of the Completeness of the Łukasiewicz Axioms. Transactions of the American Mathematical Society, 93:74–80, 1959. http://www.jstor.org/stable/1993423. 41 / 49 Bibliografia III M. Dummett. A Propositional Calculus with Denumerable Matrix. The Journal of Symbolic Logic, 24(2):97–106, 1959. http://www.jstor.org/stable/2964753. F. Esteva, J. Gispert, L. Godo, and F. Montagna. On the Standard and Rational Completeness of some Axiomatic Extensions of the Monoidal T-norm Logic. Studia Logica, 71(2):199–226, 2002. http://dx.doi.org/10.1023/A:1016548805869. F. Esteva, J. Gispert, L. Godo, and C. Noguera. Adding truth-constants to logics of continuous t-norms: Axiomatization and completeness results. Fuzzy Sets and Systems, 158(6):597–618, 2007. http://dx.doi.org/10.1016/j.fss.2006.11.010. 42 / 49 Bibliografia IV F. Esteva, L. Godo, and P. Hájek. A complete many-valued logics with product-conjunction. Archive for Mathematical Logic, 35(3):191–208, 1996. http://dx.doi.org/10.1007/BF01268618. K. Gödel. Kurt Gödel: Opere, volume 1:1929-1936. Bollati Boringhieri, 1999. ISBN:88-339-1183-7. N. Galatos, P. Jipsen, T. Kowalski, and H. Ono. Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics, volume 151 of Studies in Logic and The Foundations of Mathematics. Elsevier, 2007. ISBN:978-0-444-52141-5. 43 / 49 Bibliografia V P. Hájek. Metamathematics of Fuzzy Logic, volume 4 of Trends in Logic. Kluwer Academic Publishers, 1998. ISBN:978-1-4020-0370-7, 2002 Paperback edition. E. P. Klement, R. Mesiar, and E. Pap. Triangular Norms, volume 8 of Trends in Logic. 2000. ISBN:978-0-7923-6416-0. D. Mundici. Satisfiability in many-valued sentential logic is NP-complete. Theoretical Computer Science, 52(1-2):145–153, 1987. http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(87)90083-1. 44 / 49 APPENDICE 45 / 49 Formula Sia VAR = {x1 , x2 , . . . } un insieme (numerabile) di variabili e {&, →, ⊥} l’insieme dei connettivi di base. Una formula è una stringa finita di simboli presi da questi due insiemi e da {(, )}. L’insieme FORM di formule ben formate è definito (induttivamente) come segue: 1. VAR ⊂ FORM. 46 / 49 Formula Sia VAR = {x1 , x2 , . . . } un insieme (numerabile) di variabili e {&, →, ⊥} l’insieme dei connettivi di base. Una formula è una stringa finita di simboli presi da questi due insiemi e da {(, )}. L’insieme FORM di formule ben formate è definito (induttivamente) come segue: 1. VAR ⊂ FORM. 2. ⊥ ∈ FORM. 46 / 49 Formula Sia VAR = {x1 , x2 , . . . } un insieme (numerabile) di variabili e {&, →, ⊥} l’insieme dei connettivi di base. Una formula è una stringa finita di simboli presi da questi due insiemi e da {(, )}. L’insieme FORM di formule ben formate è definito (induttivamente) come segue: 1. VAR ⊂ FORM. 2. ⊥ ∈ FORM. 3. Se ϕ, ψ ∈ FORM allora (ϕ → ψ), (ϕ&ψ) ∈ FORM. 46 / 49 Formula Sia VAR = {x1 , x2 , . . . } un insieme (numerabile) di variabili e {&, →, ⊥} l’insieme dei connettivi di base. Una formula è una stringa finita di simboli presi da questi due insiemi e da {(, )}. L’insieme FORM di formule ben formate è definito (induttivamente) come segue: 1. VAR ⊂ FORM. 2. ⊥ ∈ FORM. 3. Se ϕ, ψ ∈ FORM allora (ϕ → ψ), (ϕ&ψ) ∈ FORM. 4. Null’altro appartiene a FORM. 46 / 49 Formula Sia VAR = {x1 , x2 , . . . } un insieme (numerabile) di variabili e {&, →, ⊥} l’insieme dei connettivi di base. Una formula è una stringa finita di simboli presi da questi due insiemi e da {(, )}. L’insieme FORM di formule ben formate è definito (induttivamente) come segue: 1. VAR ⊂ FORM. 2. ⊥ ∈ FORM. 3. Se ϕ, ψ ∈ FORM allora (ϕ → ψ), (ϕ&ψ) ∈ FORM. 4. Null’altro appartiene a FORM. 46 / 49 Formula Sia VAR = {x1 , x2 , . . . } un insieme (numerabile) di variabili e {&, →, ⊥} l’insieme dei connettivi di base. Una formula è una stringa finita di simboli presi da questi due insiemi e da {(, )}. L’insieme FORM di formule ben formate è definito (induttivamente) come segue: 1. VAR ⊂ FORM. 2. ⊥ ∈ FORM. 3. Se ϕ, ψ ∈ FORM allora (ϕ → ψ), (ϕ&ψ) ∈ FORM. 4. Null’altro appartiene a FORM. Nel seguito della presentazione ometteremo le parentesi non necessarie e tutte le formule considerate saranno elementi di FORM. indietro 46 / 49 Dimostrazione Sia L una estensione schematica di BL: una dimostrazione di una formula ϕ è una sequenza finita di formule SEQ = hϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn = ϕi tale che, per ogni ϕi ∈ SEQ: I ϕi è un assioma di L, oppure indietro 47 / 49 Dimostrazione Sia L una estensione schematica di BL: una dimostrazione di una formula ϕ è una sequenza finita di formule SEQ = hϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn = ϕi tale che, per ogni ϕi ∈ SEQ: I ϕi è un assioma di L, oppure I esistono j, k con j, k < i vale che ϕi è ottenuto da ϕj , ϕk tramite modus ponens. indietro 47 / 49 Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,1 Sia T = {np → q} ∪ {¬p → q} una Ł-teoria infinita, dove p,q sono variabili, np è p Y · · · Y p e p Y p indica ¬p → q | {z } n volte 48 / 49 Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,1 Sia T = {np → q} ∪ {¬p → q} una Ł-teoria infinita, dove p,q sono variabili, np è p Y · · · Y p e p Y p indica ¬p → q | {z } n volte In particolare, per ogni n ≥ 1 e ogni [0, 1]Ł -valutazione e e(np) = min(1, ne(p)) 48 / 49 Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,1 Sia T = {np → q} ∪ {¬p → q} una Ł-teoria infinita, dove p,q sono variabili, np è p Y · · · Y p e p Y p indica ¬p → q | {z } n volte In particolare, per ogni n ≥ 1 e ogni [0, 1]Ł -valutazione e e(np) = min(1, ne(p)) Da questo consegue che q è vero in ogni [0, 1]Ł -modello e di T , infatti 48 / 49 Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,1 Sia T = {np → q} ∪ {¬p → q} una Ł-teoria infinita, dove p,q sono variabili, np è p Y · · · Y p e p Y p indica ¬p → q | {z } n volte In particolare, per ogni n ≥ 1 e ogni [0, 1]Ł -valutazione e e(np) = min(1, ne(p)) Da questo consegue che q è vero in ogni [0, 1]Ł -modello e di T , infatti Se e(p) = 0, allora l’ultimo assioma dà e(q) = 1 48 / 49 Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,1 Sia T = {np → q} ∪ {¬p → q} una Ł-teoria infinita, dove p,q sono variabili, np è p Y · · · Y p e p Y p indica ¬p → q | {z } n volte In particolare, per ogni n ≥ 1 e ogni [0, 1]Ł -valutazione e e(np) = min(1, ne(p)) Da questo consegue che q è vero in ogni [0, 1]Ł -modello e di T , infatti Se e(p) = 0, allora l’ultimo assioma dà e(q) = 1 Se e(p) > n1 , per n ∈ N+ \ {1}, allora e(np) = 1 48 / 49 Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,1 Sia T = {np → q} ∪ {¬p → q} una Ł-teoria infinita, dove p,q sono variabili, np è p Y · · · Y p e p Y p indica ¬p → q | {z } n volte In particolare, per ogni n ≥ 1 e ogni [0, 1]Ł -valutazione e e(np) = min(1, ne(p)) Da questo consegue che q è vero in ogni [0, 1]Ł -modello e di T , infatti Se e(p) = 0, allora l’ultimo assioma dà e(q) = 1 Se e(p) > n1 , per n ∈ N+ \ {1}, allora e(np) = 1 Tuttavia 48 / 49 Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,1 Sia T = {np → q} ∪ {¬p → q} una Ł-teoria infinita, dove p,q sono variabili, np è p Y · · · Y p e p Y p indica ¬p → q | {z } n volte In particolare, per ogni n ≥ 1 e ogni [0, 1]Ł -valutazione e e(np) = min(1, ne(p)) Da questo consegue che q è vero in ogni [0, 1]Ł -modello e di T , infatti Se e(p) = 0, allora l’ultimo assioma dà e(q) = 1 Se e(p) > n1 , per n ∈ N+ \ {1}, allora e(np) = 1 Tuttavia Per ogni sottoteoria finita T0 ⊂ T , possiamo trovare uno [0, 1]Ł -modello e0 di T0 (con e0 (p) > 0 e sufficientemente piccolo) tale che e0 (q) < 1 48 / 49 Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,2 Ogni T -dimostrazione (T fa parte degli assiomi) usa un numero finito di assiomi di T indietro 49 / 49 Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,2 Ogni T -dimostrazione (T fa parte degli assiomi) usa un numero finito di assiomi di T Quindi se una formula è provabile in T , allora (per la soundness e il punto precedente) sarà vera per tutti gli [0, 1]Ł -modelli di ogni sottoteoria finita T0 (sufficientemente grande) di T indietro 49 / 49 Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,2 Ogni T -dimostrazione (T fa parte degli assiomi) usa un numero finito di assiomi di T Quindi se una formula è provabile in T , allora (per la soundness e il punto precedente) sarà vera per tutti gli [0, 1]Ł -modelli di ogni sottoteoria finita T0 (sufficientemente grande) di T Quindi (per l’esistenza dei T0 -contromodelli di q prima citati e la FSSC) T 0Ł q indietro 49 / 49 Controesempio per la SSC di Łukasiewicz,2 Ogni T -dimostrazione (T fa parte degli assiomi) usa un numero finito di assiomi di T Quindi se una formula è provabile in T , allora (per la soundness e il punto precedente) sarà vera per tutti gli [0, 1]Ł -modelli di ogni sottoteoria finita T0 (sufficientemente grande) di T Quindi (per l’esistenza dei T0 -contromodelli di q prima citati e la FSSC) T 0Ł q Tuttavia T |=[0,1]Ł q e quindi Ł non gode della SSC indietro 49 / 49