DISPENSE DI MATEMATICA GENERALE

DISPENSE DI MATEMATICA GENERALE
Versione 20/10/06
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
♦ n dispari:
√
n
♦ n pari:
a > [<] b ⇔ a > [<] bn

n

a<b
a<b⇔
a≥0


b>0
,
½
½
√
a > bn
a≥0 [
n
a>b⇔
b≥0
b<0
√
n
,
CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI
♦ Funzioni algebriche
Funzione potenza, per p e q numeri naturali
f (x) = xp = x · x · . . . · x (p volte)
f (x) = x−p = x1p
√
1
f (x) = x p = p x, x ≥ 0 se p è pari
√
p
f (x) = x q = q xp , x ≥ 0 se p è pari
Proprietà: xp · xq = xp+q ,
(xp )q = xpq ,
xp · y p = (xy)p
Polinomi, per n numero naturale
f (x) = Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
casi particolari:
retta f (x) = mx + q, crescente se m > 0, decrescente se m < 0
parabola f (x) = ax2 + bx + c, convessa se a > 0, concava se a < 0
Funzioni razionali fratte
f (x) = Pm (x)/Pn (x)
Funzioni irrazionali
Sono quelle funzioni ottenute dalla composizione di funzioni razionali con radicali di qualunque ordine.
♦ Funzione valore assoluto
½
|x| =
x
−x
se x ≥ 0
se x < 0
♦ Funzioni trascendenti
Funzione esponenziale
f (x) = ax , a > 0,
D = IR, Im = IR+ .
La funzione esponenziale é crescente per a > 1, e decrescente
Vale inoltre
½
0
x
lim a =
x→−∞
+∞
½
+∞
lim ax =
x→+∞
0
Proprietà: analoghe a quelle della funzione potenza.
per 0 < a < 1.
se a > 1
se a < 1
se a > 1
se a < 1.
Funzione logaritmo
f (x) = loga x, a > 0,
D = IR+ , Im = IR
La funzione logaritmo é crescente per a > 1, e decrescente per
Vale inoltre
½
−∞
lim− loga x =
x→0
+∞
½
+∞
lim loga x =
x→+∞
−∞
0 < a < 1.
se a > 1
se a < 1
se a > 1
se a < 1.
ax
Proprietà: aloga x = x, loga (ax ) = x, loga a = 1, loga 1 = 0, logb x = log
loga b ,
loga (xy) = loga x + loga y, loga (x/y) = loga x − loga y, loga xp = p loga x,
nell’ipotesi che tutti i logaritmi indicati esistano.
♦ Funzioni trigonometriche
f (x) = sin x,
D = IR, Im = [−1, 1]
f (x) = cos x,
D = IR, Im = [−1, 1]
sin x
f (x) = tan x = cos
D = IR − {x = (2n + 1) π2 },
x,
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
α
0
30o
45o
60o
90o
Im = IR, n numero intero
sin x cos x
0
1
√
1
√2
2
√2
3
2
1
tan x
0
√
3
√2
2
2
1
2
3
3
1
√
3
6∃
0
Proprietà: sin2 x + cos2 x = 1
sin(−x) = − sin x, cos(−x) = cos x, sin(x + 2nπ) = sin x, cos(x + 2nπ) = cos x
cos(π − x) = − cos x, sin(π − x) = sin x, sin( π2 ± x) = cos x, cos( π2 ± x) = ∓ sin x
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sin 2x = 2 sin x cos x,
cos 2x = cos2 x − sin2 x
♦ Funzioni trigonometriche inverse
f (x) = arcsin x,
D = [−1, 1], Im = [− π2 , π2 ]
f (x) = arccos x,
D = [−1, 1], Im = [0, π]
f (x) = arctan x,
D = IR, Im = (− π2 , π2 ),
limx→±∞ arctan x = ± π2 .
LIMITI
♦ Limiti immediati
Nella somma: lim [f (x) + g(x)]
x→α
` ± ∞ → ±∞,
+∞ + ∞ → +∞,
−∞ − ∞ → −∞
Nel prodotto: lim f (x)g(x)
x→α
(` > 0) · (±∞) → ±∞,
(+∞) · (+∞) → +∞,
Nel quoziente: lim
x→α
(` < 0) · (±∞) → ∓∞
(+∞) · (−∞) → −∞,
(−∞) · (−∞) → +∞
f (x)
g(x)
(` > 0)
→ 0±,
±∞
±∞
→ ∓∞,
(` < 0)
(` > 0)
→ ±∞,
0±
0+
→ 0±,
±∞
(` < 0)
→ ∓∞,
0±
+∞
→ ±∞,
0±
±∞
→ ±∞
(` > 0)
−∞
→ ∓∞
0±
♦ Forme indeterminate
0±
,
0±
±∞
,
±∞
(0± ) · (±∞),
+∞ − ∞,
±∞0 ,
1±∞ ,
00
♦ Limiti notevoli
(1o )
(3o )
lim
x→0
(5o )
lim
x→0
sin x
=1
x
1 − cos x
1
=
x2
2
lim+ xp log x = 0
(7o )
lim xp ex = 0
x→−∞
(9o )
(4o )
p ∈ N0
x→0
p ∈ N0
ex − 1
=1
x→0
x
lim
ASINTOTI
½
lim f (x) =
x→±∞
l ∈ IR
±∞
(2o )
1 − cos x
=0
x
lim
x→0
lim
x→+∞
(6o )
p ∈ N0
ex
= +∞ p ∈ N0
x→+∞ xp
lim
³
a ´x
= ea
1+
x→±∞
x
(8o )
(10o )
log x
=0
xp
lim
lim
x→0
log(1 + x)
=1
x
=⇒ asintoto orizzontale y = l
=⇒ cercare eventuali asintoti obliqui

 m ∈ IR − {0} =⇒ asintoto obliquo y = mx + q,
f (x) 
lim
=
±∞
=⇒ non esiste
x→±∞ x


0
=⇒ non esiste
q = limx→±∞ [f (x) − mx]
Asintoti verticali x = x0 quando limx± f (x) = ±∞
0
DERIVATE
♦ Tabella delle derivate fondamentali
d ³ p´
x = pxp−1 ,
dx
´ 1
d ³
log x =
dx
x
´
d ³
sin x = cos x,
dx
d ³ x´
e = ex ,
dx
(x > 0),
´
d ³
cos x = − sin x,
dx
´
1
d ³
arcsin x = √
dx
1 − x2
se x 6= 0
(|x| < 1),
d ³ x´
a = ax log a,
dx
´ log e
d ³
a
loga x =
dx
x
(x > 0),
´
d ³
1
tan x =
= 1 + tan2 x
dx
cos2 x
´
1
d ³
arccos x = − √
dx
1 − x2
´
d ³
1
arctan x =
dx
1 + x2
½
1
d
|x|
x
|x| =
=
=
dx
x
|x|
−1
se x > 0
se x < 0
(x 6=
(|x| < 1)
π
+ kπ)
2
♦ Principali regole di derivazione
d
c = 0,
dx
d
cf (x) = cf 0 (x)
dx
d
[f (x) ± g(x)] = f 0 (x) ± g 0 (x),
dx
d
1
f 0 (x)
=−
,
dx f (x)
[f (x)]2
d
[f (x)g(x)] = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
dx
d f (x)
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
=
dx g(x)
[g(x)]2
d
f (g(x)) = f 0 (g(x)) g 0 (x)
dx
♦ Regola di De L’Hopital per il calcolo dei limiti
Se
0
f (x)
∞
f (x)
=
o lim
=
,
lim
x→x
x→x0 g(x)
0
∞
0 g(x)
e se
f 0 (x)
∃ lim 0
=l
x→x0 g (x)
allora
lim
x→x0
f (x)
=l
g(x)
INTEGRALI
♦ Tabella degli integrali fondamentali
Z
1
xα+1 + C,
se
α 6= −1
α+1
Z
Z
1
x−1 dx =
dx = log |x| + C
x
Z
1
se
α 6= 0
eαx dx = eαx + C,
α
Z
1
αx dx =
αx + C,
se
α>0
log α
Z
sin x dx = − cos x + C
Z
cos x dx = sin x + C
Z
Z
1
dx
=
(1 + tan2 x) dx = tan x + C
cos2 x
Z
1
dx = arctan x + C
1 + x2
Z
1
√
dx = arcsin x + C
1 − x2
Z
p
x
√
dx = − 1 − x2 + C
1 − x2
Z
p
x
√
dx = 1 + x2 + C
2
1+x
xα dx =
♦ Principali regole di integrazione
Z
Z
Z
[f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx
Integrazione per sostituzione:
Z
Z
f (g(t))g 0 (t) dt
f (x) dx =
Z
Z
f (g(x))g 0 (x) dx =
f (t) dt
Integrazione per parti: siano F e G primitive rispettivamente di f e g. Allora
Z
Z
F (x)g(x) dx = F (x)G(x) − f (x)G(x) dx
♦ Integrali definiti
Sia f continua, e sia F una sua primitiva. Allora
Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
Z
Z
b
Z
b
[αf (x) + βg(x)] dx = α
a
f (x) dx + β
a
Z
b
g(x) dx
a
a
f (x) dx = 0
a
Z
Z
b
a
f (x) dx = −
a
Z
Z
b
f (x) dx =
a
f (x) dx
b
Z
c
b
f (x) dx +
a
f (x) dx
c
♦ Integrazione numerica e stocastica
Metodo dei trapezi:
Z
b
a
"
#
n−1
X
∆x
f (x) dx ≈
· f (x0 ) + 2
f (xi ) + f (xn )
2
i=1
dove ∆x = xi − xi−1 ,
x0 = a,
xn = b.
Metodo di Simpson:
Z
a
b
¸
n−1 ·
∆x X
xi + xi+1
f (x) dx ≈
·
f (xi ) + 4f (
) + f (xi+1 )
6 i=0
2
dove ∆x = xi − xi−1 ,
x0 = a,
xn = b.
Metodo stocastico basato sul Teorema della media integrale:
Z
b
f (x) dx ≈
a
n
b−a X
·
f (xi )
n
i=1
dove xi : punti a caso, uniformemente, nell’intervallo [a; b].
STATISTICA DESCRITTIVA
♦ Distribuzioni di frequenza
Sia E = {x1 , x2 , . . . , xn } l’insieme dei dati, e sia S = {s1 , s2 , . . . sN } l’insieme delle modalitá (eventualmente classi
se si tratta di dati di tipo continuo).
fj = numero di elementi di E aventi valore sj
X
fk
Fj =
k:sk ≤sj
pj =
Pj =
fj
nX
pj
k:sk ≤sj
♦ Rappresentazioni grafiche
Usare grafici a colonna o barre per dati di tipo discreto, e istogrammi per dati continui suddivisi in classi. In
questo ultimo caso l’altezza della colonna di ogni classe é data dal rapporto tra la frequenza e la ampiezza della
classe.
Grafici a torta: usati per rappresentare frequenze relative di dati discreti (o qualitativi). L’angolo di ogni fetta é
proporzionale alla frequenza relativa (αi = 360o pi )
Per rappresentare graficamente una distribuzione di frequenza cumulata (assoluta o relativa) usare l’ogiva.
♦ Indici
Media:
n
x=
N
N
X
1X
x1 + x2 + . . . + xn
1X
xi =
=
sj fj =
sj pj
n i=1
n
n j=1
j=1
Sostituire i valori centrali delle classi nel caso di raggruppamenti in classi.
Mediana: x̂ = elemento di posto (n + 1)/2 se n è dispari, e media aritmetica tra l’elemento di posto n/2 e
l’elemento di posto n/2 + 1, se n è pari. Viene individuato invece facendo uso dell’ogiva nel caso di dati continui
(come inversa del valore 0,5 nell’ogiva della frequenza cumulata relativa)
Moda: x̃ = valore, o classe, a cui corrisponde la massima frequenza assoluta.
Varianza:
n
N
N
X
1X
1X
(xi − x)2 =
(sj − x)2 fj =
s2 =
(sj − x)2 pj
n i=1
n j=1
j=1
n
=
N
X
1X 2
xi − x2 =
s2j pj − x2
n i=1
j=1
√
s = s2
Sostituire i valori centrali delle classi nel caso di raggruppamenti in classi.
♦ Indici per variabili bidimensionali
n
n
1X
1X
(xi − x)(yi − y) =
xi yi − x y
n i=1
n i=1
cxy
=
sx sy
cxy =
rxy
♦ Regressione lineare (retta dei minimi quadrati)
É la retta di equazione y = mx + q dove
cxy
m= 2
sx
q=y−
cxy
x
s2x
ALGEBRA LINEARE
♦ Operazioni tra matrici
Siano A = {aij } e B = {bij } aventi la stessa dimensione. La loro somma é la matrice C i cui elementi sono
{cij } = {aij + bij }.
Siano A di dimensioni (m ×
e B di dimensioni (n × p). La matrice C = A · B di dimensioni (m × p) ha elemento
Pn)
n
generico cij dato da cij = k=1 aik bkj .
♦ Determinanti [Solo matrici quadrate!]
Se A = (a11 ) allora det A = a11 .
Minore complementare di un elemento ars : Mrs = determinante della sottomatrice che si ottiene cancellando la
riga r−sima e la colonna s−sima (che si incrociano in ars ).
Complemento algebrico dell’ elemento ars : Ars = (−1)r+s Mrs .
Data A quadrata, di ordine n, il suo determinante si trova come
det A =
n
X
aij Aij
con i fissato
aij Aij
con j fissato
j=1
oppure
det A =
n
X
i=1
♦ Matrice inversa
A−1 =
1
CT
detA
dove C T = matrice trasposta dei complementi algebrici degli elementi aij , cioè C T = {Aji }.
♦ Ranghi di matrici
Rango di una matrice A: ordine della più grande sottomatrice quadrata invertibile estraibile dalla matrice A.
Le trasformazioni elementari permesse nella riduzione di matrici sono:
T1 :
T2 :
T3 :
Ri −→ Ri + aRj
Ri ←→ Rj
Ri −→ kRi .
♦ Sistemi di equazioni lineari
Teorema di Rouché-Capelli:
Il sistema A · X = B, con n incognite ed m equazioni, ammette soluzioni se la matrice dei soli coefficienti A e
la matrice dei coefficienti e dei termini noti (A|B) hanno lo stesso rango r. In tal caso il sistema ammette ∞n−r
soluzioni.
Se r = n = m allora il sistema A · X = B ammette soluzione X = A−1 · B.
Se n = r < m allora la soluzione si trova eliminando opportunamente equazioni in eccesso e applicando la regola
sopra.
Se r < n si considera un sottosistema con r incognite (avente matrice dei coefficienti invertibile) e si assegnano
valori arbitrari alle altre n − r incognite. Si risolve poi il sottosistema con la regola sopra.