Esercitazione sui sistemi PCM

Esercitazione sui sistemi PCM
13 maggio 2004
Richiami teorici:
Il rapporto segnale/rumore di quantizzazione è dato da:
³S´
N
Q
=
E[x2 (t)]
= M2
2
E[nQ (t)]
³S´
' 6n
N Q,dB
dove n è il numero di bit utilizzati dal quantizzatore (M = 2n ). Trasmettendo
i bit del segnale PCM su un canale binario simmetrico (BSC) con probabilità
di errore p si ottiene, in ricezione, un rapporto segnale/rumore dato da:
³S´
N
out,BSC
M2
1 + 4(M 2 − 1)p
=
Diagrammando l'andamento del rapporto segnale/rumore in funzione della
probabilità di errore si ottiene il seguente andamento:
S
N
S
N
out,BSC
3 dB
Q
p*
dove p? =
1
4(M 2 −1)
=
1
4(22n −1)
'
1
4M 2
=
1
22n+2
1
p
Esercizi:
Esercizio 1: Si deve progettare un sistema di trasmissioneche che utilizza
la tecnica PCM per trasmettere un segnale analogico x(t) che occupa una
banda B = 5500 Hz, ed è rappresentato nella gura sottostante.
Gx (f)
P0
4
−B
B
f
Sono richiesti almeno 80 dB di rapporto segnale/rumore all'uscita del convertitore D/A al ricevitore.
• Parte I
1. Disegnare uno schema a blocchi del sistema
2. Calcolare il numero di bit richiesti dal quantizzatore
3. Calcolare il valore del rapporto segnale/rumore di quantizzazione
dopo il convertitore A/D
4. Calcolare la probabilità di errore che il sistema deve avere per
lavorare sopra soglia
5. Calcolare la minima frequenza di campionamento necessaria
6. Calcolare il bit rate necessario
Si supponga ora di trasmettere mediante tecnica PCM un segnale
y(t) = x(t)cos(2πf0 t) dove f0 = 100 kHz, e sono richiesti almeno 80 dB di
rapporto segnale/rumore all'uscita del convertitore D/A.
• Parte II
1. Calcolare lo spettro di potenza del segnale y(t) e farne una rappresentazione graca
2. Calcolare la minima frequanza di campionamento necessaria su
y(t)
3. Calcolare il valore del rapporto segnale/rumore di quantizzazione
4. Calcolare il numero di bit richiesti dal quantizzatore
2
5. Calcolare il bit rate necessario
6. Calcolare la probabilità di errore che il sistema deve avere per
lavorare sopra soglia
Si supponga ora di avere a disposizione un campionatore con frequenza di
campionamento pari a 2 · 106 campioni/secondo e di volerlo utilizzare per
campionare il segnale w(t) = x(t)cos(2πfp t).
• Parte III
1. Calcolare la massima frequenza di portante fp ammissibile per
campionare correttamente il segnale w(t)
Svolgimento:
• Parte I
1. Lo schema a blocchi del sistema è il seguente:
x(t)
Campionatore
Quantizzatore
Codificatore
TX
Canale
RX
x (t)
R
Ricostruttore
Decodificatore
2. Siccome il rapporto segnale/rumore di quantizzazione in uscita
dal sistema peggiora di 3 dB in corrispondenza della probabilità
di errore di soglia p∗e , bisogna lasciare 3 dB di margine per fare
in modo che, nchè pe ≤ p∗e dove pe è la probabilità di errore
sul canale, le speciche sul rapporto segnale/rumore all'uscita del
convertore A/D siano rispettate, per cui:
³S´
N
out,soglia,dB
=
³S´
N
Q,dB
− 3 dB
da cui si ricava la condizione da imporre e cioè:
3
³S´
N
³S´
+ 3 dB
N out,soglia,dB
³S´
=
+ 3 dB
N out,richiesto,dB
= (80 + 3) dB = 83 dB
=
Q,dB
Utilizzando la formula approssimata che lega il rapporto segnale/rumore
di quantizzazione al numero di bit di quantizzazione si ottiene:
³S´
N
nbit =
Q,dB
83
= 13.83
6
' 6nbit = 83 dB
nbit = 14 bit
⇒
3. Avendo scelto di utilizzare 14 bit, il rapporto segnale/rumore di
quantizzazione eettivamente utilizzato dal sistema vale:
³S´
N
Q,dB
' 6nbit = (6 · 14) dB = 84 dB
4. La probabiltà di errore di soglia è data da:
p∗e =
1
4(M 2
− 1)
=
1
4(22nbit
− 1)
= 9.31 · 10−10
quindi il sistema lavora sopra soglia se pe ≤ p∗e = 9.31 · 10−10
5. Siccome la massima frequenza presente nel segnale coincide con la
banda del segnale stesso si può scrivere:
fmax = B = 5500 Hz
per cui la minima frequenza di campionamento, per il teorema di
Nyquist, vale:
fc = 2fmax = 11 kHz
6. Il bit rate risultante vale:
RB = fc · nbit = 154 kbit/s
4
• Parte II
1. Il segnale y(t) = x(t)cos(2πf0 t) è composto da un segnale in banda base x(t) moltiplicato per un coseno; tale prodotto provoca una
traslazione delle componenti spettrali di x(t) intorno alla frequenza f0 ; lo spettro di potenza risulta diviso per un fattore 4 ed ha
la seguente rappresentazione:
G y (f)
P0
4
−f 0 −B
−f 0 +B
f0−B
−f0
f0+B
f0
f
L'espressione analitica è la seguente:
Gy (f ) =
i
1h
Gx (f − f0 ) + Gx (f + f0 )
4
Dalla rappresentazione appena data si può notare come la frequenza massima del segnale sia, in quasto caso, pari a:
fmax = f0 + B
= (100 + 5.5) kHz
= 105.5 kHz
per cui la minima frequenza di campionamento vale:
fc = 2fmax
= 2 · 105.5 kHz
= 211 kHz
2. Il bit rate corrispondente vale:
RB = fc · nbit
= (211 · 103 · 14) bit/s
= 2954 kbit/s
5
3. Il range di quantizzazione rimane invariato rispetto alla prima
parte infatti la moltiplicazione per una cosinusoide non altera
l'ampiezza massima del segnale, per cui:
nbit = 14
4. Come nella prima parte, il rapporto segnale/rumore di quantizzazione eettivo del sistema è pari a:
³S
N
)Q = 84 dB
5. Anche la probabilità di errore di soglia resta invariata essendo
invariato il numero di bit di quantizzazione:
p∗e = 9.31 · 10−10
• Parte III
1. Come già visto nella parte II, la moltiplicazione per una cosinusoide di frequenza fp provoca una traslazione delle componenti
spettrali di x(t) intorno alla frequenza fp , per cui la frequenza
massima del segnale modulato w(t) può essere scritta come:
fmax = fp + B
Siccome è necessario utilizzare un campionatore con frequenza di
campionamento fc = 2 MHz, la massima frequenza ammessa per il
segnale w(t), in base al teorema del campionamento, vale fmax = 1
MHz, per cui si trova:
fp = fmax − B
= (106 − 5.5 · 103 ) Hz
= 994.5 kHz
6
Esercizio 2: Si deve progettare un sistema di comunicazione che utilizza la tecnica PCM per trasmettere un segnale analogico con le seguenti
caratteristiche:
• spettro compreso tra 20 kHz e 40 kHz
• sono richiesti almeno 73 dB di rapporto segnale/rumore medio (in
funzionamento sopra soglia)
Si richiede quanto segue:
1. Calcolare il numero di bit richiesti dal quantizzatore
2. Calcolare il valore del rapporto segnale/rumore di quantizzazione
3. Calcolare la probabilità di errore p∗e che il sistema deve avere per
lavorare sopra soglia
4. Calcolare la frequenza di campionamento necessaria
5. Calcolare il bit-rate risultante
6. Supponendo che il sistema garantisca una probabilità di errore pari a
∗
pe = p2e , calcolare il rapporto segnale/rumore corrispondente
7. Supponendo che il sistema PCM progettato nella sezione precedente si
appoggi su un sistema in ponte radio con le seguenti caratteristiche:
• Guadagno dell'antenna trsmittente e ricevente: GT X = GRX = 35
dB
• Frequenza di trasmissione: fc = 10 GHz
• Distanza tra le antenne: D = 10 km
• Probabilità di errore del sistema di trasmissione digitale su cui si
appoggia il sistema di trasmissione PCM, in funzione della potenza
ricevuta dall'antenna ricevente data dal seguente graco:
7
−8
BER
10
−9
10
−36.5
−36
−35.5
PRX [dBm]
−35
−34.5
Individuare la potenza richiesta al ricevitore del ponte radio per garantire 73 dB di rapporto segnale/rumore medio all'uscita del sistema
PCM
8. Calcolare la potenza trasmessa dall'antenna trasmittente per garantire
73 dB di rapporto segnale/rumore medio all'uscita del sistema PCM
Svolgimento:
1. Siccome il rapporto segnale/rumore all'uscita del sistema PCM peggiora di 3 dB in corrispondenza della probabilità di errore di soglia,
bisogna garantire che il nostro sistema abbia 3 dB di margine rispetto a quanto richiesto per garantire il rispetto delle speciche nel caso
peggiore, per cui:
³S´
N
out
≥ 73 dB
nbit =
⇒
76
= 12.666
6
³S´
N
⇒
Q
≥ 76 dB ' 6 · nbit
nbit = 13
2. Avendo scelto di utilizzare nbit = 13, il rapporto segnale/rumore eettivo vale:
8
³S´
N
Q
' 6 · nbit = 78 dB
3. La probabilità di errore di soglia vale:
p∗e =
1
4(22n
− 1)
= 3.72 · 10−9
4. La minima frequenza di campionamento, per il teorema di Nyquist,
deve essere pari a due volte la massima frequenza presente nel segnale
x(t), quindi:
fc ≥ 2Bmax = 80 kHz
essendo
Bmax = 40 kHz
5. Il bit rate risultante vale:
RB = nbit · fc = 1.04 Mbit/s
∗
6. Supponendo che la probabilità di errore sia pe = p2e = 1.86 · 10−9 si
ottiene il seguente rapporto segnale/rumore in uscita dal sistema PCM:
³S´
N
out
M2
=
1 + 4(M 2 − 1)pe
226
=
1 + 4(226 − 1)1.86 · 10−9
= 4.47 · 107 = 76.5 dB
7. Per far sì che il rapporto segnale/rumore del sistema non scenda sotto 73 dB devo garantire che la probabilità di errore del sistema di
trasmissione sia inferiore alla probabilità di errore di soglia che vale
p∗e = 3.72 · 10−9 . Dal graco che lega la probabilità di errore alla
potenza ricevuta si trova che:
PRX = −35.7 dBm
9
8. Per calcolare quanto vale la potenza trasmessa che consente di rispettare
le speciche si utilizza la formula della propagazione in spazio libero:
Ã
PRX = PT X GT X GRX
λ
4πR
!2
e sostituendo:
GT X = GRX = 35 dB = 3162.27
λc =
3 · 108
c
=
= 0.03 m
fc
1010
R = D = 104 m
si ottiene:
Ã
PT X
!2
4πR
1
= PRX
λ
GT X GRX
= 472.26 mW = 26.74 dBm
10
Esercizio 3: Si consideri un segnale vocale con una densità di probabilità di
tipo esponenziale bilatera trancata nell'intrevallo normalizzato [−1, 1], cioè:
(
fv (x) =
0
ke−α|x|
|x| > 1
|x| ≤ 1
Il segnale è inviato ad un sistema PCM:
1. Calcolare il valore della costante k (in funzione di α) e disegnare qualitativamente l'andamento della densità fv (x), interpretandone il signicato al variare di α.
2. Calcolare la varianza (potenza) del segnale v(t).
3. Calcolare la varianza dell'errore di quantizzazione nel caso di utilizzo
di un quantizzatore uniforme ad M livelli nell'intervallo [−1, 1]
4. Calcolare lo stesso parametro calcolato del punto (3) ma utilizzando
un quantizzatore non uniforme con:
h
i
• M1 intervalli (uguali) in − 1/2, 1/2
h
iSh
• M2 = M − M1 intervalli (uguali) in − 1, −1/2
5. Calcolare numericamente i valori di
³ ´
S
N
Q
i
1/2, 1
assumendo:
• M = 256 (n = 8 bit)
• M1 = 178
• α=5
Svolgimento:
1. Per la denizione di densità di probabilità fv (x) deve avere integrale
unitario, per cui:
Z +∞
−∞
fv (x) dx = 1
e sfruttando il fatto che fv è limitata nell'intervallo [-1,1] ed è simmetrica rispetto all'asse x = 0 si ottiene:
Z 1
0
ke−αx dx =
11
1
2
³
¯
e−α − 1
1
k ´ −αx ¯¯1
−
e ¯ = −k
=
α
α
2
0
da cui si ricava:
k=
fv (x) =
α
1
2 1 − e−α
α
e−α|x|
−α
2(1 − e )
l'andamento qualitativo della densità fv al variare di α è il seguente:
fv (x)
α
2(1−e−α )
1/2
−1
1
x
dove si nota che, al tendere di α a zero, la densità di probabilità diventa
uniforme tra -1 e 1, infatti si ha:
e−α|x| → 1
α
α
1
'
=
−α
2(1 − e )
2[1 − (1 − α)]
2
Al crescere di α la densità tende invece ad una delta di Dirac.
2. La varianza del segnale vocale v(t), che rappresenta anche la potenza
in quanto il segnale ha media temporale nulla, si calcola come:
2
E[v ] =
Z 1
−1
= 2
x2 fv (x) dx
Z 1
0
x2
α
e−αx dx
2(1 − e−α )
12
Z 1
α
=
x2 e−αx dx
1 − e−α 0
· −αx ³
¸
α
e
2x
2´ 1
2
=
x
+
+
1 − e−α −α
α
α2 0
2
−α
2 − (α + 2α + 2)e
=
α2 (1 − e−α )
3. La formula che fornisce la varianza dell'errore di quantizzazione è la
seguente:
E[e2Q ] =
M
X
p(v ∈ i-esimo)
i=1
∆2i
12
ma nel caso considerato gli intervalli sono tutti uguali e coprono intervalli di larghezza ∆i = 2/M , dunque:
M
1 ³ 2 ´2 X
p(v ∈ i-esimo)
12 M i=1
1 ³ 2 ´2
=
12 M
1
=
3M 2
E[e2Q ] =
in quanto la sommatoria equivale ad un integrale della densità di probabilità fv su tutto l'intervallo di denizione, il che dà un risultato unitario qualsiasi sia la densità di probabilità considerata. Tutto questo
deriva dall'aver scelto intervalli di quantizzazione uniformi, il che permette di portare il termine ∆i fuori dalla sommatoria. In generale,
per un segnale con densità di probabilità limitata entro l'intervallo
[−A, A] e quantizzazione uniforme, si ottiene la seguente espressione
della varianza dell'errore di quantizzazione:
E[e2Q ] =
A2
3M 2
4. Nel caso di quantizzazione non uniforme da noi analizzato abbiamo:
(
M1
intervalli con ∆i = M11
M2 = M − M1
intervalli con ∆i =
13
1
M2
per cui, ponendo pi = p(v ∈ i-esimo), si può scrivere:
E[e2Q ]
=
M
X
pi
∆2i
12
pi
M
X
1 ³ 1 ´2
1 ³ 1 ´2
+
pi
12 M1
12 M2
i=M1 +1
i=1
=
M1
X
i=1
µ
M1
M
X
1 X
1
1
pi
p
+
i
12 M12 i=1
M22 i=M1 +1
µ
¶
1
1
1
=
pint + 2 pext
12 M12
M2
¶
=
dove:
Z
pint =
1
2
fv (x) dx
− 12
Z
= 2
1
2
0
α
e−αx dx
2(1 − e−α )
Z
α
2
e−αx dx
−α
1−e
0
α
1 − e− 2
=
1 − e−α
1
=
pext =
Z −1
2
−1
fv (x) dx +
Z 1
1
2
fv (x) dx
= 1 − pint
e in conclusione, esprimendo tutto in funzione di M1 , M e pint si ottiene:
·
E[e2Q ]
1 pint
1 − pint
=
+
2
12 M1
(M − M1 )2
¸
5. Sostituendo i valori numerici M = 256, M1 = 178 ed α = 0.5 si ottiene:
2 − (0.52 + 2 · 0.5 + 2)e−0.5
(0.5)2 (1 − e−0.5 )
= 70.5 · 10−3
E[v 2 ] =
14
mentre la varianza dell'errore di quantizzazione vale:
(
E[e2Q ]
=
5.0863 · 10−6
per un quantizzatore uniforme
−6
3.47 · 10
per un quantizzatore non uniforme
quindi il rapporto segnale/rumore di quantizzazione nei due casi vale:
µ
S
N
(
¶
=
Q
1.38 · 104 = 41.42 dB
2.03 · 104 = 43.08 dB
per un quantizzatore uniforme
per un quantizzatore non uniforme
L'introduzione di questa semplicissima tecnica di quantizzatore non
uniforme ha comportato un miglioramento di 1.66 dB del rapporto
segnale/rumore di quantizzazione: ottimizzando gli intervalli in base
alla densità di probabilità del segnale si possono ottenere guadagni
signicativi rispetto alla quantizzazione uniforme, purchè sia approssimativamente nota la statistica del segnale da trasmettere.
15