Campo magnetico
Potenziale vettore
Applicazioni della legge di Ampere
Discontinuita` del campo magnetico
attraverso uno strato di corrente superficiale
Doppio strato di corrente superficiale
Espansione multipolare del potenziale vettore
Esempio: potenziale vettore
del campo magnetico
generato da un filo rettilineo
percorso da corrente
ez
O
z
r
! µi !
B = 0 e"
2! r
P
! ! !
B=!"A
In coordinate cilindriche
! !
#Ar #Az
B! = ( ! " A)! =
$
#z
#r
Tilo rettilineo percorso da
corrente
! !
#Ar #Az
B! = ( ! " A)! =
$
#z
#r
ez
O
r
Prendendo
!
!
A = A(r)ez
P
z
µ0i
µ0i
µ0i
!
=
! A(r) = !
ln r = !
ln r 2
!r 2! r
2!
!
"Az
Esempio: filo rettilineo
percorso da corrente
Abbiamo visto che
!
!
! µi !
µ0 i !sin ! e x + cos ! e y
0
B=
e" =
ez
2
2
2!
2! r
x
+
y
!
!
µ0 i ! ye x + xe y
=
2
2
2
!
x
+
y
r
O
z
P
!
µ0i
2
2 !
A=!
ln( x + y ) ez
!
singolare all infinito e nell origine
a meno di un
campo con
rotore nullo
Esempio: solenoide rettilineo
indefinito
Campo magnetico diretto lungo l asse del
solenoide
Fuori dal solenoide
! !
!"B=0
! !
!"B=0
!
B = cost=0
all infinito il campo
tende a zero
Esempio: solenoide rettilineo
indefinito
Solo componente assiale
!
Fuori dal solenoide B = cost=0
l
1
2 dl
Non c e` corrente concatenata
per cui la circuitazione e` nulla
B1l ! B2 l = 0
! B1 = B2
Esempio: solenoide rettilineo
indefinito
2
1
l
dl
! B1 = B2
B1l ! B2 l = 0
Campo uniforme all interno
Bint = µ 0 ni
Bint l = µ 0
! i = µ0 nli
k
k conc
Discontinuita` del campo del
solenoide rettilineo indefinito
!
ez
!
!
!
Best ! Bint = 0 ! µ 0 in ez
!
!
!B = ±µ 0 in ez
Esempio: cilindro percorso da
una corrente i omogenea
i
J=
2
!R
R
r
!
J
r>R
! !
!" B ! dl = 2! rB(r) = µ0i
lunghezza indefinita
µ0i
B(r) =
2! r
Esempio: cilindro percorso da
una corrente i omogenea
R
r
!
J
i
J=
2
!R
! !
r<R
!" B ! dl = 2! rB(r)
iconc = J ! r 2
2
i
r
2
=
!
r
=i 2
2
!R
R
r ! B(r) = µ 0 ir
2! rB(r) = i 2
2
2
!
R
R
2
lunghezza indefinita
= µ 0 iconc
Esempio: cilindro percorso da
una corrente i omogenea
R
!
J
lunghezza indefinita
" µ ir
0
$$
2
B(r) = # 2! R
$ µ0i
$% 2! r
r!R
r>R
B
R
r
Esempio: cilindro indefinito
con foro interno cilindrico
R
!
J
O
O'
!
!J
i1
i2
OO' = d Campo asse cavita` ?
r
i
i
J= =
A ! R2 ! ! r 2
i1 = ! R 2 J
i2 = ! r 2 J
Esempio: cilindro indefinito
con foro interno cilindrico
R
!
J
O
O'
!
!J
i1
i2
OO' = d
r
i2 = ! r 2 J
i1 = ! R 2 J
i2 non contribuisce
i1 B =
2
µ 0 i1 OO ' µ 0 i1d
=
2
2! R
2! R 2
µ0 ! R Jd
=
=
2
2! R
µ0
i
d
2
2
!R !!r
2
Esempio: cilindro indefinito
con foro interno cilindrico
R
!
J
O
O'
!
!J
i1
i2
OO' = d
r
i1 = ! R 2 J
i2 = ! r 2 J
i2 non contribuisce
i1
µ 0 i1 OO ' µ 0 i1d
B=
=
2
2! R
2! R 2
µ0 ! R 2 Jd
=
2! R 2
µ0 id
=
2! (R 2 ! r 2 )
Discontinuita` del campo B
In certe situazioni il campo magnetico non e`
rappresentabile da una funzione vettoriale derivabile
z
Lamina
nel piano xy percorsa da! una
!
corrente superficiale omogena J = Je
Lo
x
spazio e` diviso in 2 regioni, z>0 e z<0
Biot
y
J
I
x
e Savart: B perpendicolare alle
correnti ! B = 0
x
contributi lungo z da y>0 e y<0 si elidono
! Bz = 0
Discontinuita` del campo B
Unica componente diversa da zero:
z
By
Circuitazione lungo un rettangolo
con lato l che taglia la corrente
Bl + (!B)(!l) = µ 0 Jl
2Bl = µ 0 Jl
J
x
y
l
µ0 J
B=
2
Discontinuita` del campo B
z
J
x
y
l
!
µ0 J !
B(z+ ) = !
ey
2
!
µ0 J !
B(z! ) =
ey
2
! !
!
!
!B = B(z+ ) " B(z" ) = µ 0 Je y
Esempio: doppio strato
z
Le due lamine danno
contributi di segno opposto al
campo
1
!
!
!
B1,3 ( A) = ! B1,3 (B) ! B1,3 = 0
A
B
2
x
3
y
! =0
! !
!
!B = B1 " B2 = "µ 0 Je y
!
!
!
B2 = !"B = µ 0 Je y
Discontinuita` del campo B
Lamina
nel piano xy percorsa da! una
!
corrente superficiale omogena J = Je
Lo
z
J
x
x
spazio e` diviso in 2 regioni, z>0 e z<0
! !
!
!
!B = B(z+ ) " B(z" ) = µ 0 Je y
y
Discontinuita` della componente
tangenziale del campo magnetico
Nel caso di una distribuzione
superficiale di carica elettrica la
discontinuita` e` nella componente
normale del campo elettrico
Espansione multipolare
! !
µ0
A( r ) =
4!
!
!
! !
J ( r ')
! ! dV '
r !r'
! !
J ( r ')dV ' " i ! dl '
Circuito chiuso
C
! ! µi
A( r ) = 0
4!
!"
C
!
dl '
! !
r !r'
Espansione multipolare
Corrente in un circuito chiuso di dimensioni
lineari d
Potenziale vettore a grande distanza r>>d
1
1 ! !
1
! ! = + r '! "' ! !
r !r' r
r !r'
! !
µ0i
A( r ) !
4!
!
r '=0
! !
1 r '! r
+" = + 3 +"
r
r
! !
µ0i
r !r' !
! r 3 dr ' = 4! r 2
C
! ! !
! e r ! r ' dr '
C
Espansione multipolare
!
C
"
!
!
f dr = " ! #f $ n dA
%C
! !
µ0i
Adip ( r ) =
2
4! r
! ! !
!
"'( er # r ') $ n dA
! ! !
! er ! r ' dr '
C
µ0i
=!
2 &
4! r %
µ0 ! !
!
µ0i !
=
!
e
"
m
=!
e
"
n
dA
$
r
r
2
4! r
4! r 2
#
! !
! !
µ0 ! ! µ0 m ! r
Adip ( r ) =
m ! er =
2
4! r 3
4! r
