Magnetismo
1829- Oersted proprieta’ magnetiche delle correnti
elettriche
1878 - Rowland equivalenza carica in moto con
corrente elettrica
1897 - Thompson scoperta dell’ elettrone
la sintesi e’ che il campo magnetico non e’ originato da
una nuova grandezza fisica
una carica elettrica ferma genera un campo elettrostatico,
se la carica e’ in moto genera anche campo magnetico
in termini di teorema di Gauss
Φ ( B ) = ∫ B ⋅ dS = 0
S
il flusso attraverso una superficie chiusa del campo
magnetico e’ nullo
in termini locali:
∇ ⋅ B =0
non esistono cariche magnetiche isolate, i cosiddetti
“monopoli magnetici”
( anche se la ricerca dei monopoli magnetici continua ….)
attenzione: se in natura non esistono i monopoli
magnetici a maggior ragione non possono esistere
i dipoli magnetici
il campo magnetico e’ originato da correnti elettriche,
ossia da cariche elettriche in moto
non esistendo punti dello spazio da cui si originano infinite
linee di forza se ne deduce che le linee di forza del campo
magnetico devono essere linee chiuse
Legge di Biot Savart
il campo magnetico prodotto in un punto P dello spazio da un
filo rettileneo, percorso da una corrente elettrica continua i
di spessore infinitesimo, ed “infinitamente” esteso e’
B
i=
µ0i ˆ
(l × rˆ)
2π r
r e’ la distanza radiale
lˆ
r̂
dal filo nel piano
perpendicolare al filo e
passante per P
.
P
µ0i
B=
2πr
µ0
−7 Ohm ⋅ sec
= 10
4π
m
le linee di forza del campo magnetico sono
circonferenze concentriche al filo
Calcolo del campo magnetico : analogia con il
calcolo del campo elettrostatico di un filo rettilineo
campo magnetico di un filo
rettilineo percorso da corrente
continua (legge di Biot Savart )
campo elettrostatico generato
da un filo rettilineo caricato con
densita’ di carica uniforme
µ0 i
B= B=
2π r
E= E=
1 λ
2πε 0 r
nel caso elettrostatico si perveniva al risultato facendo uso della
legge di Coulomb e del Principio di Sovrapposizione
P
dE
dE ( P ) =
dq
1
λ dl
4πε 0
r
2
uˆr
i dl
come λdl era l’elemento infinitesimo di carica cosi’ idl
puo’ essere pensato come un “ elemento infinitesimo di
corrente continua ”
dunque
dB ( P )
=
µ0
4π
idl
2
r
lˆ × rˆ
per determinare il campo prodotto da un filo percorso da
corrente continua di forma qualunque si suddivide il filo in
tratti di lunghezza infinitesima
dB
µ0i dl ˆ
ˆ
×
(
l
r
)
2
4π r
µ0i dl
ˆ
dB
(l × r )
=
o equivalentemente
3
4π r
formula di Biot Savart generalizzata detta anche
prima formula di Ampere-Laplace
in modulo :
µ0 idl senθ
dB =
2
4π
r
Prima formula di Ampere-Laplace
usando il principio di sovrapposizione si puo’ottenere
il campo magnetico generato da un filo in un qualunque
punto dello spazio, ossia
µ0i
dl ˆ
ˆ
B=
l
×
r
2
∫
4π filo r
una formula del tutto generale si ottiene facendo uso del
vettore densita’ di corrente:
µ0i
J × rˆ
B=
dV
2
∫
Volume
r
4π
contro verifica della validita’ della prima formula di Lapace
i
dB ( P )
µ0 idl ˆ
l × rˆ
2
4π r
dl = dl lˆ
dl
ϑ
per il modulo di B dalla figura si ha
µ0 idl
dB ( P ) =
senϑ
2
4π r
=
β ' 900 − α
e=
ϑ 1800 − β '
=
ϑ 90 + α
sen
=
ϑ sen(90 +=
α ) cos α
0
per cui
dB
P
i
Vista di lato
B
dl
β
Z
β'
quindi
0
r̂
Z’
ϑ
r̂
r
A
dlsenϑ = dl cos α
µ0 idl
dB( P) =
cosα
2
4π r
dα
α
a
AP = a
ZP = r
β ≈β'
P
da ZBZ’
zz ' = dlsenβ
i
Vista di lato
B
ma visto che dl e’ un infinitesimo
dl
β ≈ β ' quindi β ≈ 90 − α
Z
0
zz ' ≈ dlsen(90 − α )
0
dunque
β'
A
zz' ≈ dl cos α
ma da ZZ’ P si ha anche che
uguagliando:
β
Z’
ϑ
r̂ dα
α
a
AP = a
ZP = r
β ≈β'
zz ' rdα
dl cos α rdα
P
quindi
µ0 idl
µ0 irdα
dB ( P ) =
cosα =
2
2
4π r
4π r
µ 0i dα
=
dl
4π r
ϑ
Vista di lato
al variare della posizione lungo il filo
sia r che α variano
dl
β
Z’
r̂ϑ
Z
r̂
ma dal triangolo APZ
A
cosα
=
a = rcosα
r
a
µ0i
quindi dB ( P ) =
cosα dα
4π a
dα
dα
α
α
a
1
per calcolare il campo totale occorre integrare tra piu’ e
meno infinito che in termini angolari si traduce ad integrare
in α tra –π /2 e + π/2
P
l = +∞
α= +
⇔
π
2
in conclusione
+
+∞
B ( P ) = ∫ dB =
−∞
µ0i
4π a
+
π
2
∫
−
π
l = −∞
e
α= −
2
π
2
∫
−
⇔
π
π
µ0i
cosα dα
4π a
2
µ0i
µ0i
2
sinα π = 2
cosα dα =
−
4π a
4π a
2
+
π
2
µ0i
B( P) =
2π a
dunque utilizzando la prima formula di Laplace
in effetti si riottiene la formula di Biot Savart
per il filo rettilineo indefinito percorso da corrente continua
la prima formula di Ampere-Laplace riproduce perfettamente
i risultati sperimentali, ossia la legge di Biot Savart, ma
attenzione alla
differenza tra matematica e fisica
l’elemento infinitesimo isolato di corrente continua,
ossia il termine idl nella, prima formula di Ampere-Laplace
non esiste in natura
se isolo un tratto di filo dal
resto del circuito non
posso avere una corrente
continua che circoli in quel
singolo tratto di filo
se cosi’ fosse si violerebbe la
legge di conservazione della
carica elettrica,
( equazione di continuita’ )
la corrente elettrica fluisce sempre in un
circuito chiuso
Campo al centro di una spira per punti sull’asse
dlˆ
ϑ
μ0idl lˆ × rˆ
dB =
2
4
π
r
r̂
dB⊥
a
r
i
x
dlˆ
dB//
r̂
si puo’ decomporre dB in una componente parallela all’asse,
dB// ed in una perpendicolare all’asse della spira dB⊥
integrando sulla spira per simmetria le componenti
trasverse all’asse si annulleranno a vicenda bastera’ dunque
calcolare i soli contributi paralleli ossia dB//
dalla figura :
a = r cosθ
μ0i dl
dB =
2
4π r
e
a
cos ϑ =
r
= dB cos ϑ
μ0i dl a μ0ia dl
dB// =
=
2
4π r r
4π r 3
la distanza
la spira
r
rimane costante quando ci si muove lungo
μ0ia dl μ0ia
B// = ∫ dB// = ∫
=
dl
3
3
∫
Spira
Spira 4π r
4πr Spira
dl
πa
=
2
∫
ossia la lunghezza della spira stessa
Spira
quindi :
ma:
μ0ia ⋅ 2πa
μ0ia
B// =
=
3
3
4πr
2r
r = a2 + x2
B// =
µ0ia
quindi
2
2( a + x )
2
2
2 3
=
µ0iπ a
2
3
2 2
2π ( a + x )
2
B// =
µ0iπ a
2
3
2π ( a + x ) 2
2
2
al centro della spira si ha
B// ( x = 0) =
x=0
µ0 i
2 a
quindi
Backup Slides
