Università degli Studi di Napoli “Federico II”
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Di–M)
Programma del corso di “Geometria e Algebra”
tenuto da Fausto De Mari
a.a. 2013/14
Strutture algebriche e polinomi – Cenni di teoria degli insiemi. Relazioni di
equivalenza e relazioni d’ordine. Applicazioni tra insiemi. Applicazioni iniettive,
suriettive e biettive. Applicazioni invertibili e loro caratterizzazione. Inversa di
un’applicazione. Operazioni in un insieme e loro proprietà. Strutture algebriche:
Gruppi, anelli e campi. La costruzione del campo dei numeri complessi. Cenni
sull’anello dei polinomi a coefficienti in un campo e proprietà di fattorizzazione dei
polinomi a coefficienti reali o complessi.
Spazi vettoriali – Spazi vettoriali su un campo. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Sottospazi generati da sottoinsiemi. Intersezione, somma e somma diretta
di sottospazi. Dipendenza ed indipendenza lineare. Sistemi di generatori e spazi
vettoriali finitamente generati. Basi. Caratterizzazione delle basi come parti libere
massimali e come sistemi di generatori minimali. Il lemma di Steinitz. Esistenza
ed equipotenza delle basi (con dimostrazione solo nel caso di spazi vettoriali finitamente generati). Componenti di un vettore in una base. Estrazione di una base da
un sistema di generatori ed estensione a base di un sistema di vettori indipendente.
Dimensione di uno spazio vettoriale. Relazioni tra la dimensione dello spazio vettoriale e quella di un suo sottospazio. La formula di Grassmann (senza dimostrazione).
Matrici – Matrici su un campo. Operazioni tra matrici e loro proprietà. Matrici
a scala. Algoritmo di Gauss ed algoritmo di Gauss-Jordan. Determinante di una
matrice quadrata e Primo Teorema di Laplace (senza dimostrazione). Il Secondo
Teorema di Laplace. Il teorema di Binet (senza dimostrazione). Metodi di calcolo
del determinante. Matrici invertibili e gruppo lineare. Matrici elementari e caratterizzazione delle matrici invertibili in termini di matrici elementari. Calcolo della
matrice inversa con l’uso delle matrici elementari. Caratterizzazione delle matrici
invertibili in termini di determinante. Calcolo della matrice inversa col metodo della
matrice aggiunta. Dipendenza lineare nello spazio vettoriale numerico e rango di una
matrice. Il teorema degli orlati.
Sistemi lineari – Generalità sui sistemi lineari. Soluzioni di un sistema lineare,
sistemi equivalenti e ricerca delle soluzioni di un sistema lineare. Il teorema di
Rouché-Capelli e il teorema di Cramer. I sistemi lineari omogenei e il sottospazio
delle soluzioni. Caratterizzazione dei sottospazi dello spazio vettoriale numerico
come tutti e soli gli spazi delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.
Applicazioni lineari – Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine
di un’applicazione lineare. Teorema della dimensione. Monomorfismi, epimorfismi,
isomorfismi. Matrice associata ad un’applicazione lineare e applicazione lineare associata ad una matrice. Matrice del cambio di base. Isomorfismo coordinato.
Diagonalizzazione di endomorfismi e matrici – Autovalori ed autovettori di
un endomorfismo. Autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e
geometrica di un autovalore e loro relazione. Diagonalizzabilità di un endomorfismo. Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili in termini di radici del
polinomio caratteristico (senza dimostrazione). Matrici diagonalizzabili.
Spazi euclidei e diagonalizzazione ortogonale – Prodotto scalare e spazi vettoriali euclidei reali. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare (senza dimostrazione). Il teorema di Pitagora. Insiemi ortogonali e ortonormali.
Basi ortonormali e processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Sottospazi
ortogonali. Complemento ortogonale di un sottospazio. Endomorfismi simmetrici
di uno spazio euclideo e loro diagonalizzazione ortogonale (senza dimostrazione).
Matrici simmetriche e loro diagonalizzazione ortogonale.
Geometria analitica nel piano e nello spazio – Vettori liberi nel piano e nello
spazio. Spazi affini. Sottospazi affini e loro caratterizzazione (senza dimostrazione).
Riferimenti affini. Rappresentazione parametrica ed equazioni cartesiane di rette e
piani (nel piano e nello spazio affine euclideo). Condizioni di parallelismo ed ortogonalità. Posizioni reciproche tra rette e piani. Fasci di rette nel piano. Fasci di piani
nello spazio. Comune perpendicolare tra rette nello spazio. Distanze. Ampliamento
proiettivo del piano affine e coordinate omogenee. Le coniche e loro classificazione
affine. Diametri, centro e assi di una conica.
Testi Consigliati
M. Brunetti: “Esercizi di Algebra lineare e Geometria”, EdiSES.
F. De Mari: “Appunti di Algebra Lineare” (scaricabili dalla pagina docenti).
L.A. Lomonaco: “Geometria e Algebra”, Aracne.
