CONGETTURA DEI TRE DIVIETI MATEMATICI - Nardelli

LA NOSTRA CONGETTURA DEI
TRE DIVIETI MATEMATICI E FISICI
(PER NUMERI PRIMI, ZERI DI ZETA
E LIVELLI ENERGETICI DEGLI ATOMI)
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco
Di Noto
Abstract
In this paper we show some connections between prime numbers,
zeros of zeta function and Riemann’s operator
Riassunto
In questo breve lavoro, partendo (da Rif.1) da un operatore
di Riemann che collega i suoi auto valori reali con gli zeri
1
della funzione zeta di zeta , che non debbono essere
immaginari (cosa proibita dalla fisica quantistica, terzo
divieto ), passiamo al secondo divieto matematico per ogni
zero di zeta di essere fuori dalla retta critica ½ (Rif. 7), e
trattandosi di numeri primi, anche dal loro (primo) divieto
aritmetico di essere, tranne il 2 e il 3 iniziali, all’esterno delle
due rette parallele 6k + 1 e 6k - 1
(Rif.4) .
Molto probabilmente questi tre divieti sono collegati da loro,
in senso inverso: dal primo ne consegue il secondo, e dal
secondo ne consegue il terzo, il che ci permetterebbe di
comprendere meglio le connessioni tra numeri primi, zeri di
zeta e fisica quantistica tramite l’operatore di Riemann e i suoi
autovalori legati alla distribuzione degli zeri di zeta.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Schema generale orientativo del presente lavoro:
2
Forme 6k + 1 (numeri primi) Rif 3
(no numeri primi, tranne il 2 e il 3 iniziali) fuori dalle forme 6k + 1)
Funzione zeta (media tra due zeri) Rif. 6 ½
(no zeri fuori dalla retta critica)
Distribuzione zeri = livelli energetici Rif. 1 e 8)
Fisica quantistica
Operatore di Riemann
(no autovalori numeri immaginari), Rif.1
Nel libro di Marcus du Sautoy ”(Rif.1), pag. 501, si parla
dell’operatore di Riemann , con autovalori collegati alla
distribuzione degli zeri di zeta :
“Se i punti al livello del mare nel paesaggio di Rienann
potevano essere spiegati dalla matematica dei livelli energetici
in fisica, allora si profilava l’eccitante prospettiva di riuscire
3
a dimostrare perché i punti al livello del mare giacciono su
una linea retta. A uno zero che cade fuori dalla retta
corrisponderebbe un livello energetico immaginario, cioè una
cosa che le equazioni della fisica quantistica vietano”…
(Terzo divieto, N.d.A.A.)”
Per il resto, su biliardi quantistici (sui numeri primi) e
tamburi quantistici (e gli zeri di zeta) collegati al terzo
divieto, rimandiamo al Cap. 11 (Dagli zeri ordinati al caos
quantistico) del libro di Marcus du Sautoy.
Funzione zeta e secondo divieto (Rif. 7)
Dal quale riportiamo il seguente brano, con sintesi della
congettura e del secondo divieto
“ CONGETTURA:
La parte reale ½ si ha solo quando p e z numero complesso di
p^z a denominatore (1/ p^z e 1 - 1/ p^z sono uguali , come nel
caso della funzione zeta di Riemann.
Se invece sono diversi, la parte reale è diversa.
4
Facciamo qualche esempio con z numeri interi, non numeri
complessi (non cambierebbe nulla, poiché i numeri naturali
sono di forma z + 0i =z + 0 = z
Se poniamo p = 5 p’ =7, ed esponente z = intero 2, e cioè
numeri primi diversi , 5 e 7 ma uguale esponente 2, abbiamo:
1/p^2 = 1/ 5^2 = 1/25 = 0,004
1/p’^2 = 1/7^2 = 1/49 = 0,020
1 – 0,020 = 0,98
Media aritmetica
(0,004 + 0,98)/2 = 0,984/2 = 0,492 < 0, 5
diverso ma non molto da parte reale 0,5 poiché i numeri primi
5 e 7 sono vicini.
Quindi, considerando due numeri primi p e p’ e non soltanto
p, la parte reale si discosta da 0,5 della normale funzione zeta,
dove p è unico Se invece consideriamo un solo p e due
esponenti diversi, abbiamo:
p = 5 z = 2 e z’ = 3
1/p^2 = 1/ 5^2 = 1/25 = 0,004
1/5^3 = 1/125 = 0,008
1 - 0,008 = 0,992
Media = (0,004 + 0,992)/2 = 0,996/2 = 0,498 < 0,5 idem
come sopra dell’esempio precedente.
Lo stesso accade se sia p e p’ diversi (5 e 7), sia potenze
z e z’ diverse (2 e 3)
1/p^2 = 1/ 5^2 = 1/25 = 0,004
1/p’^3 = 1/7^3 = 1/343 = 0,0029
Medie tra i due nuovi valori 0,004 e 0,0029
(0,004 + 0,0029)/2 = 0,0069/2 = 0,00345 < 0,5
Conclusione
La nostra conclusione provvisoria, da controllare con ulteriori
esempi , è la seguente :
la parte reale degli zeri di una funzione zeta è 0,5 se e solo se si
considerano un solo numero primo (o non primo) p ed un solo
esponente z sia per 1/p^z sia per 1 -1/p^z. In caso contrario ( p
5
e p’ diversi, z e z’ diversi e z diversi) la parte reale è diversa da
0,5, in misura che dipende dalla differenza p’ – p e z’ – z
Proviamo ora con un numero p non primo per es. 6, ed
esponente 3
1/6^3 = 1/216 = 0, 004629
1- 1/6^3 = 1 - 0, 004629 = 0,995371
Media (0, 004629 + 0,995371)/2 = ½ = 0,5
La nostra congettura è confermata: la parte reale è ½ se e solo
se p (primo o no) è unico e l’esponente è anch’esso unico (reale
o complesso) nei termini della funzione zeta 1/p^z e 1 -1/p^z.
Tale funzione si annulla in corrispondenza di ½ = 0,5 parte
reale, indipendentemente se p sia primo (come nella funzione
zeta di Riemann) o no (in possibili funzioni zeta in cui p non
sia primo, per esempio multipli di 3, ecc. ).
La cosa più importante quindi non è nei numeri primi,
(uno dei casi possibili di serie numeriche che riguardano
la funzione) ma l’unicità di p e di z, interi positivi o
complessi che fossero”
Ricordiamo che la formula della funzione zeta è
.
Osservazione finale.
Tutte le altre funzioni zeta da noi generalizzate , basate su
6
altre serie numeriche, hanno tutti gli zeri sulla retta critica ½,
e con le loro spaziature; ma solo la funzione zeta di Riamann ,
basata sui numeri primi, ha gli zeri di zeta con le spaziature
simili a quelle dei livelli energetici , espressi dagli auto valori
reali di una matrice hermitiana connessa ad un operatore di
Riemann.
Questi valori debbono essere reali, poichè se fossero
immaginari, comporterebbero zeri di zeta fuori dalla retta
reale ½, e viceversa. Da qui il secondo divieto.
E’ come per i tachioni, particelle con velocità superiori a
quella della luce, impossibile perché essi sono immaginari
Dal Rif. 5 invece riportiamo:
Prima pero accenniamo ad un brano di Keith Devlin ,dal suo libro
“I Problemi del Millennio” (Longanesi & C.) pag 66:
“ …Riemann dimostrò che se tutti gli zeri complessi (non reali)
della funzione zeta hanno una parte reale uguale ad ½, allora la
misura in cui la funzione di densità Dn si discosta dalla
curva1/ln(n) varia in modo sistematicamente casuale, proprio
come la proporzione di test che si ottengono lanciando
ripetutamente in aria una moneta si discosta da ½.
Ciò significa che, sebbene non sia possibile prevedere con una
7
qualsiasi accuratezza la comparsa del prossimo numero primo, il
modello complessivo dei numeri primi è estremamente
regolare…”
Chiamiamo d tale densita: la funzione zeta z si annulla essa vale
1/2 e quindi
z = d - 1/2 = 1/2 - 1/2 = 0
e in tal caso, con tale differenza nulla, spuntano fuori due zeri di
zeta complessi coniugati , e ritorniamo al Rif.1, cioe 1/2 = media
aritmetica . sia tra due zeri coniugati in senso verticale, con la
loro media aritmetica
(1/2 + bi + 1/2 - bi)/2 = ( 1+ 0 ) / 2 = (1) / 2 = 1/2
sia
1/p^z e 1 – 1/p^z
(1/p^z + 1 – 1/p^z)/2 = (1)/2 = 1/2
in senso orizzontale. In queste due medie aritmetiche con valore .
starebbe secondo noi il motivo per cui tutti gli zeri di z stanno
sulla retta critica ., vedi Rif. 1, dimostrando la RH per via
semplicemente aritmetica, e cioè indipendentemente dalla teoria
analitica dei numeri e dalla conseguente analisi complessa alla
base dalla funzione zeta complessa.
Forme 6k + 1 (Rif.4) e primo divieto
Dal Rif. 4 riportiamo il Riassunto, e una nostra Tabella
Riassunto
In questo lavoro tratteremo l’aritmetica e più in generale la matematica, con le
forme generali 6n + 1 dei numeri primi, tranne il 2 e il 3 iniziali, anche in merito
alle congetture interessate: Goldbach, numeri primi gemelli, Polignac, ecc. e
8
indicando nei riferimenti i nostri lavori precedenti in merito. Allegheremo
una nostra nota storica su Pietro Bongo, il matematico del ‘500 che per primo
ha scoperto le forme numeriche 6n + 1.
Su tali forme sono stati elaborati di recente anche test di primalità e metodi di
fattorizzazione, reperibili sul Web.
Tabella delle forme 6k + 1, contenente tutti i numeri, tranne l’1
iniziale. In rosso i numeri primi e i semiprimi senza fattori 2 e 3
Solo i numeri primi 2 e 3 non sono nelle colonne 6k -1 e 6k +1
6k-2
2
8
14
20
…
Qui il
6k-3
3
9
15
21
…
6k-1
5
11
17
23
…
6k-2
4
10
16
22
…
6k
6
12
18
24
…
6k+1
7
13
19
25
…
primo divieto , aritmetico, per tutti i numeri primi p >
3 , di essere su colonne diverse da 6k -1 e 6k +1.
Questo divieto (il primo) , insieme a quello (secondo) sugli zeri
di zeta di essere sulla retta critica, potrebbe essere la causa del
terzo divieto (auto valori immaginari degli auto valori nelle
matrici hermitiane dell’operatore di Riemann connessi alla
distribuzione degli zeri di zeta , vedi successivi Rif. 5 , 6 e 7
9
Terzo divieto (sulle spaziature tra gli zeri e i livelli energetici)
Rimandiamo al Rif. 1 Capitolo 11 (Dagli zeri ordinati al caos
quantistico) , troppo lungo da riportare qui, solo piccole
citazioni , particolarmente interessanti per il nostro scopo:
Pag. 491
“…Montgomery era incredulo. Le configurazioni che lui
prevedeva nella distribuzione degli zeri erano identiche a quelle
che i fisici quantistici stavano scoprendo nei livelli energetici
dei nuclei di atomi pesanti . Erano configurazioni così
caratteristiche che quella forte somiglianza non poteva essere il
frutto di una coincidenza. Ecco qual’era il messaggio che
Montgomery stava cercando: forse la matematica insita nei
livelli quantistici d’energia nei nuclei degli atomi peranti è la
stessa matematica che determina le posizioni degli zeri di
Riemann…”
Pag. 519 (sul “biliardo quantistico” e numeri primi)
“…La cosa curiosa è che, se il segreto dei numeri primi è
davvero un gioco di biliardo quantistico, allora i numeri primi
sono rappresentati da traiettorie molto speciali sul tavolo del
biliardo. Alcune traiettorie fanno ritornare la palla al punto di
partenza dopo un certo numero di passaggi sul tavolo, dopodiché
si ripetono uguali a se stesse. Sembra che siano proprio queste
traiettorie speciale a rappresentare i numeri primi:a ogni
traiettoria corrisponde un numero primo, e tanto più una
traiettoria si estende prima di ripetersi, quanto è più è grande il
numero primo corrispondente.
10
La nuova svolta impressa da Berry potrebbe portare ad una
unificazione di tre grandi temi scientifici: la fisica quantistica (la
fisica dell’estremamente piccolo), il caos (la matematica
dell’impredicibilità) e i numeri primi (gli atomi dell’aritmetica).
Forse, tutto considerato, l’ordine che Riemann aveva sperato di
scoprire nei numeri primi è descritto dal caos quantistico.
Ancora una volta i numeri primi ribadiscono il loro carattere
enigmatico. L’apparente legame fra la distribuzione statistica
degli zeri e quella dei livelli energetici ha convinto molti fisici a
prendere parte alla ricerca di una dimostrazione dell’ipotesi di
Riemann…”
Circa i livelli di energia, dalla seguente Nota 1 vediamo che
quelli degli atomi dei gas nobili sono connessi alla serie
numerica di Fibonacci, e probabilmente lo sono,
eventualmente, anche parzialmente, anche quelli degli atomi
pesanti, come l’uranio , ma ciò non è stato ancora constatato,
che si sappia. In caso positivo, dopo le opportune verifiche
(che lasciamo ad eventuali ricercatori sull’argomento), oltre
che dai numeri primi e dagli zeri di zeta, i livelli energetici
sarebbero regolati anche dai numeri di Fibonacci, presenti in
molti fenomeni naturali , anche a livello atomico, per es. la
stabilità nucleare, ecc. (Rif. 9)
11
Infine , da Rif.7, ipotizziamo funzioni zeta generalizzate ad
altre serie numeriche, e quindi con zeri (sempre però con
parte reale ½) con spaziature diverse (minori o maggiori) di
quelle degli zeri di zeta (ipotesi di Riemann), ma solo questi ,
basati sui numeri primi, avrebbero spaziature simili a quelle
dei livelli energetici. La nostra ipotesi dei tre divieti esposta in
questo lavoro, collega strettamente numeri primi, zeri di zeta e
livelli energetici . Ma anche se l’ipotesi di Rieman non fosse
vera in assoluto (cosa che però escludiamo in Rif.7) , essa è già
vera per qualche miliardo di zeri, ma alla fisica quantistica ne
basterebbero qualche centinaio per funzionare benissimo lo
stesso, e per lo stesso motivo per cui non esistono fiori con 233
o 377 o 610 o più petali ( il massimo noto è 144): perché la
natura sceglie i suoi numeri, per regolare i suoi fenomeni, nelle
tre prime centinaia iniziali ( numeri di Fibonacci,
partizioni di numeri ecc., pur essendo questi matematicamente
infiniti). E i livelli energetici non fanno eccezione, come si
12
vede nella Nota 1 seguente, i numeri di Fibonacci coinvolti
arrivano al massimo a 89, e così pure nei numeri atomici dei
gas nobili.
Dal Rif. 9 riportiamo la nota 1:
Nota 1
Altre connessioni tra altri elementi chimici e numeri di Fibonacci
In questa nota prendiamo invece considerazione i livelli energetici
degli atomi, le cui spaziature sono molto simili a quelle degli zeri della
funzione zeta e quindi si sospetta una possibile relazione anche tra
livelli energetici e funzione zeta; poiché quest’ultima è presente
nelle teorie di stringa, e queste prevedono in più modi (frequenza
di vibrazioni delle stringhe, dimensioni in cui vibrano le stringhe)
anche la serie di Fibonacci, c’è da supporre anche una relazione
tra livelli energetici e serie di Fibonacci. Ebbene: pensiamo di
aver trovato anche quest’altro tassello nel complicato puzzle oggetto del
lavoro citato all’inizio. Nella voce “Elementi” dell’enciclopedia
“Universo” della UTET, a pag. 119, leggiamo infatti che:
“ … La possibilità di alcuni elettroni di oscillare fra due diversi livelli energetici
creando uno stato di risonanza spiega il perché del colore di alcuni elementi e della
comparsa e scomparsa del colore con il variare dello stato di ossidazione . Le
relazioni fra il colore e lo stato di risonanza elettronica sono analoghe a quelle
riscontrate nei coloranti organici. La configurazione elettronica dei gas nobili è la
seguente:
K
L
M
elio
2
neon
2
8
argon 2
8
8
cripton 2
8
18
N
O
P (somma oriz.* ~ F)
2=2
10 = 8 + 2
18 = 21 - 3
8
36 = 34 + 2
13
xenon 2
8
radon 2
8
18 18
54 = 55 - 1
8
18 32 18
8”
86 = 89 - 3
somma vert.
12
40
62
58 26
8
(* somma orizzontale e somma verticale e relativi numeri sono una nostra
aggiunta)
Notiamo ora facilmente che:
i numeri 2, 8 sono numeri F di Fibonacci;
18 = 17 + 1 con 17 = (13+21)/2 media di 13 e 21 ancora numeri di Fibonacci;
32 = 34 -2 con 34 numero di Fibonacci ;
nella “somma oriz.” dei valori orizzontali, notiamo ancora altri numeri di
Fibonacci, molto prossimi alle somme orizzontali
nella somma vert ….
osserviamo parimenti che:
12 = 13 - 1
40 = 34 + 6
62 = 55 + 7
58 = 55 + 3
26 = 21 + 5
8=8
e quindi con altri numeri di Fibonacci coinvolti: 13, 34, 55, 21, 8
26 potrebbe considerato ancora come circa la media aritmetica :
(21 + 34)/2 = 27,5 ~ 26
La serie di Fibonacci risulta evidente, e sicuramente in modo non casuale,
anche nel livelli energetici degli atomi dei gas nobili; ma anche nei loro
rispettivi numeri atomici, poiché gli atomi debbono essere neutri (tanti
protoni, tanti elettroni)
2 elio
10 neon
18 argon
36 cripton
54 xenon
86 radon
corrispondenti alle somme orizzontali molto vicine, come abbiamo visto,
a numeri di Fibonacci (cosa già notata anche con gli elementi più stabili,
oggetto di questo lavoro, ma anche con gli elementi superconduttori e gli
elementi coinvolti nei quasi cristalli).
Dalle stringhe e dalle loro frequenze di vibrazioni (connesse alla serie di
14
Fibonacci), tale connessione passerebbe poi anche ai numeri atomici di
alcuni gruppi di atomi, ma anche ai loro livelli energetici (come nei gas
nobili nel caso sopra riportato) e quindi con possibile relazione con la
funzione zeta e la teoria di stringa anche nei livelli energetici, a parte la
spaziatura tra questi ultimi simile alle spaziature degli zeri di zeta.
Come abbiamo già notato, dove ci sono stringhe ci sono insieme quasi
sempre sia la serie di Fibonacci, sia la funzione zeta di Riemann, e quindi
c’è una relazione indiretta anche tra Fibonacci e funzione zeta, e questo nelle
stringhe, nei livelli energetici, nei numeri atomici.
Ma potrebbe anche passare, infine (ma è una nostra semplice
supposizione), alla distribuzione degli elementi più diffusi nella crosta
terrestre, con concentrazione superiore a 1000g/t (grammi per tonnellata);
stessa fonte:
Mn 1 000 dividendo per 1000* ~ 1
P
1 180
~1
H
1 400
~1
Ti 4 400
~5
Mg 20 900
~ 21
K 25 900 ~ 26 = 21 + 5
Na 28 300 ~ 28 = 21 + 5 +2 ≈ 27,5 media aritmetica tra 21 e 34
Ca 36 300
~ 36 = 34 + 2
Fe 50 000 ~ 50 = 55 - 5
Al 81 300 ~ 81 = 89 - 8
Si 277 200 ~ 277 = 233 + 34 + 8 + 2
O 466 000 ~ 466 = 377 + 89
* dividendo per 1000 è una nostra aggiunta nostra, ottenendo così una
concentrazione di grammi di elemento per chilogrammo di crosta terrestre: si
ottengono numeri molto prossimi a numeri di Fibonacci o a loro somme. E’ un
semplice caso? E’ ancora presto per dirlo.
Qui ci interessa molto di più la connessione tra i numeri di Fibonacci e i livelli
energetici degli atomi, come ulteriore indizio positivo della già sospetta relazione tra
livelli energetici e funzione zeta poiché, come abbiamo già visto, teoria di stringa,
funzione zeta e serie di Fibonacci sono spesso connesse tra loro.
Infine, una debole connessione aritmetica, sicuramente non casuale, anche tra
numeri magici e numeri atomici dei gas nobili (vedi anche la relativa tabella con
somma verticale e somma orizzontale):
numeri magici ed elementi stabili ≈ Numeri atomici dei gas nobili ≈ Fibon.
numeri magici ed elementi stabili ≈ Numeri atomici dei gas nobili ≈ Fibon.
2 Deuterio (isotopo dell’Idrogeno) 2 =
2 Elio
2=2
15
8 Ossigeno = 8
10 Neon ≈ media (8+13)/2 =
20 Calcio ≈ 21
18 Argon ≈ media (13+21)/2 = 17
28 Nichel ≈ media (21+34)/2= 27,5
36 Kripton ≈
34
50 Stronzio ≈ 55
54 Xenon ≈
55
82 Piombo ≈ 89
86 Radon ≈
89
10,5
Quindi, stabilità nucleare (elementi con numeri atomici “magici” e livelli energetici
(gas nobili) hanno una certa affinità con i numeri di Fibonacci e/o loro medie
aritmetiche….”
Per la Tavola periodica degli elementi si rimanda all’originale.
Conclusioni
Possiamo concludere dicendo che dei tre divieti oggetto di
questo lavoro, i primi due sono già stati da noi dimostrati ( per
le funzioni zeta generalizzate su altre serie numeriche manca
ancora il calcolo dei rispettivi zeri, sempre sulla parte reale ½
ma con spaziature diverse dagli zeri di zeta, i soli ad avere una
stretta somiglianza con i livelli energetici degli atomi, e per il
terzo divieto (ma anche per gli altri due riportiamo il nostro
seguente grafico cumulativo (dove il piano complesso vale per
il secondo e terzo divieto (zeri di zeta sulla retta critica e auto
16
valori sull’asse x dei numeri reali), mentre per le rette 6k-1 e
6k +1 è da considerarsi come normale piano cartesiano. Si
potrebbe disegnare un grafico a parte, ma la loro
unificazione rende meglio l’idea dei tre divieti.
(Vedi grafico finale)
Riferimenti
1) Marcus Du Sautoy,“L’enigma dei numeri primi”,
Rizzoli , ed in particolare il Cap.11
I seguenti riferimenti sono pubblicati sul nostro sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
2) DAI NUMERI P-ADICI ALLE TEORIE DI STRINGA
Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli,
P.A. Francesco Di Noto
Abstract
In this paper we show some connections between p - adic numbers
and string theory
Riassunto
Un recente libro di Gabriele Lolli (Rif.1) ci ha dato l’idea di
parlare dei numeri p - adici e del loro coinvolgimento nella teoria
delle stringhe, oltre che nella teoria algebrica dei numeri
Dal quale riportiamo la nostra conclusione:
17
“Possiamo concludere brevemente che, essendo i numeri p-adici
importanti sia in matematica che in fisica, sarebbe bene
conoscerli meglio in entrambi i campi, soprattutto in fisica, per via
delle loro connessioni con le teorie di stringa, e che quindi questo
breve nostro modesto lavoro divulgativo con i nostri contributi
possa essere utile e studenti universitari, futuri ricercatori nei due
campi, a conoscere meglio l’argomento delle connessioni di cui
sopra.”
3)UNA NUOVA CONNESSIONE
FIBONACCI – ORBITALI ELETTRONICI
Gruppo “B.Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we show a new connection between, Fibonacci
numbers and electronic orbitals (Rif.1)
Riassunto
In questo breve lavoro mostriamo una nuova connessione
tra i numeri di Fibonacci e gli orbitali elettronici, già visti in
Rif.1)
1\
4) Matematica con i numeri primi e le forme 6k + 1
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero
Abstract
In this paper we show arithmetic with general forms 6n + 1 of prime numbers
Riassunto
In questo lavoro tratteremo l’aritmetica e più in generale la matematica, con le
forme generali 6n + 1 dei numeri primi, tranne il 2 e il 3 iniziali, anche in merito
alle congetture interessate: Goldbach, numeri primi gemelli, Polignac, ecc. e
indicando nei riferimenti i nostri lavori precedenti in merito. Allegheremo
una nostra nota storica su Pietro Bongo, il matematico del ‘500 che per primo
ha scoperto le forme numeriche 6n + 1
18
Su tali forme sono stati elaborati di recente anche test di primalità e metodi di
fattorizzazione, reperibili sul Web.
5) SECONDA PARTE DELLA CONGETTURA SULLE
FUNZIONI ZETA GENERALIZZATE
(Tabelle e grafici con nuovi indizi compatibili con la congettura)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this paper we show some table and graphs on our conjecture
compatible with generalized zeta functions (see Ref. 1).
Riassunto
In Rif.1 (Congetture sulle funzioni zeta) abbiamo congetturato
che gli zeri della funzione zeta giacciono tutti sulla retta reale .
perche . e la loro media aritmetica, con esempi numerici e
possibili connessioni con l’ex congettura di Goldbach.
Con n queste tabelle faremo dei calcoli sulla funzione zeta di
Eulero con s reale, al fine di integrarle con il suddetto lavoro e
riporteremo alcuni grafici (sulla bisezione di una funzione, ecc.)
compatibili con la nostra congettura, e che potrebbero suggerire
indizi per una possibile ed eventuale dimostrazione della
medesima, e quindi anche dell’ipotesi di Riemann come caso
particolare (numeri primi anziché altri tipi di serie numeriche)”
6) CONJECTURE ON ZETA FUNCTIONS GENERALIZED
Michele Nardelli, Francesco Di Noto, Pierfrancesco Roggero
1Dipartimento di Scienze della Terra
Università degli Studi di Napoli Federico II, Largo S. Marcellino,
10 80138 Napoli, Italy
19
2 Dipartimento di Matematica ed Applicazioni “R. Caccioppoli”
Università degli Studi di Napoli “Federico II” – Polo delle Scienze
e delle Tecnologie
Monte S. Angelo, Via Cintia (Fuorigrotta), 80126 Napoli, Italy
Abstract
In this paper we have described some mathematical connections
between some sections of the theory of the Riemann zeta function
and some sectors of string theory. Furthermore, we show some
table and graphs on our conjecture compatible with the
generalized zeta functions (see Ref. 1). In Ref. 1 (Conjectures on
zeta functions) we have conjectured that the zeros of the zeta
function lie all on the real straight line ½ because ½ is their
arithmetic mean, with numerical examples and possible
connections with the Goldbach’s conjecture. With some tables we
will do the calculations on the Euler’s zeta function with real s, in
order to integrate them with the above work and we report some
graphics (the bisection of a function, etc.) compatible with our
conjecture, and that could suggest clues to a possible and eventual
proof of the same, and therefore also of the Riemann hypothesis as
a particular case (prime numbers rather than other types of
numerical series).
7) Congettura generale sulle possibili infinite funzioni zeta ,
compresa quella di Riemann
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this paper we show our possible generalizations of zeta
functions to other numeric series, but with critical line = ½ in
all the possible cases.
Riassunto
In questo lavoro proponiamo una nostra congettura, che
20
chiameremo provvisoriamente “zeta generalizzata”, fino alla
sua completa dimostrazione e trasformazione nell’omonimo
teorema. La generalizzazione consiste nella sostituzione dei
numeri primi della zeta di Riemann, con altre serie numeriche
simili. Esporremo i motivi per cui in tutte le generalizzazioni
la retta critica è sempre ½, poiché, ipotizziamo, sarebbe la
struttura della formula della funzione zeta a dare sempre gli
zeri sulla retta critica, indipendentemente dalla serie numerica
a denominatore. Per esempio, sostituendo le potenze complesse
dei numeri primi 1/ p^s con i le potenze complesse 1/3n^s,
avremmo sempre gli zeri coniugati sulla retta critica ½.
Introduzione
Nel nostro precedente lavoro (Rif. 1, I tre problemi del
Millennio con in comune i numeri primi), abbiamo accennato
a questa nostra congettura nella prima parte, dedicata
all’ipotesi di Riemann. Qui vogliamo approfondirla ancora
meglio, gettando possibilmente le basi per una sua successiva
dimostrazione, ottenendone un teorema parzialmente o
totalmente utile ad una successiva o immediata dimostrazione
della RH come caso particolarissimo ( basato sui numeri
primi)
Possibilmente, con l’aiuto di matematici in grado di calcolare
gli zeri di ogni variante, da tali zeri che prevediamo sulla retta
critica, potremmo trarne delle conclusioni utili circa la RH ,
con la funzione zeta più famosa della matematica.
8) CONGETTURA SULLE TRE RETTE CRITICHE
LEGATE A ½
(Tramite l’ex congettura forte di Goldbach)
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli,
P.A. Francesco Di Noto
Abstract
21
In this paper we show a possible connection between real part ½
of zeta function and critical line of Goldbach ex conjecture sum
even N = p + q and half primes in Goldbach product N’= p*q
Riassunto
In questo breve lavoro mostriamo come la retta critica ½ della
funzione zeta di Riemann possa essere solo un caso particolare
(per N =1) della retta critica N/2 delle somme di Goldbach per
un dato numero pari N = p + q per tutte le coppie di primi a
somma N; infine esiste anche una retta critica con le radici
quadrate dei prodotti di Goldbach ottenute moltiplicando le coppie
di Goldbach invece che sommarle. Questa congettura potrebbe
dirci qualcosa sulla funzione zeta di Riemann e quindi sulla
possibile soluzione (Rif. 1) dell’ipotesi di Riemann, per via
delle simmetrie di valori legati a numeri primi, rispetto alle tre
rette critiche ( medie aritmetiche nei primi due casi, media
geometrica nel terzo caso
9) Nuove connessioni aritmetiche tra i “numeri magici” degli
elementi chimici più stabili, i livelli energetici nei gas nobili ed
i numeri di Fibonacci
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we will show some numeric connections between
magic numbers and Fibonacci’s numbers
Riassunto
In questo lavoro mostriamo nuove connessioni numeriche tra
numeri magici della stabilità nucleare e i numeri di Fibonacci, con
accenno anche ai livelli energetici dei gas nobili, anch’essi
connessi ai numeri di Fibonacci
22
10) John Derbyshire, “ L’ossessione dei numeri primi” Bollati
Boringheri
dove nelle pagine da 295 a 301, 304 e 305 sono dei grafici con
le spaziature degli zeri di zeta, degli auto valori e dei numeri
casuali, con notevoli somiglianze tra le prime due.
11) Quadratic Theory of the Riemann Hypothesis and Connection
to Operators and Random Matrix Theories.
Tony Gomis, A.M. Gomis, C.M. Gomis, A.L. Gomis, S. Schwarz.
ABSTRACT
In a bold move, the non trivial zeros of the Riemann Zeta
functions are considered as complex zeros of a canonical quadratic
equation. The Riemann Hypothesis confirmation and its links to
operators and Random Matrix Theories are the direct
mathematical implications of this bold view.
Sul sito
http--empslocal.ex.ac.uk-people-staff-mrwatkin-zeta-gomis_RH.pdf.url
12) Sulle spalle dei giganti1
dedicato a Georg Friedrich Bernhard Riemann
ing. Rosario Turco2, prof. Maria Colonnese, dott. Michele
Nardelli, prof. Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto, prof.
Annarita Tulumello
Abstract
This work present s various ma thematical basic idea s, for the
under standing of issues relating to the Riemann hypothesis (RH),
the RH s equivalent and the GRH. This Block Notes of Math
shows also subproblems of the RH, the LH hypotheses, the fa ctor
23
iza t ion and the main links between all the equat ions involved,
through a grid connections .
sul sito
eprints.bice.rm.cnr.it/615/1/RT01.pdf
dal quale riportiamo
Capitolo 8. Teoria dei campi, degli operatori e legge di
Montgomery-Odlyzko
…
“ …Tali matrici sono usate per rappresentare gli operatori. In realtà più matrici
quadrate
possono afferire allo stesso operatore, perché possono avere lo stesso polinomio
caratteristico, la stessa traccia e gli stessi autovalori.
La sorpresa però proviene dalla matrici hermitiane, cioè quelle matrici che
presentano tutti gli elementi come numeri complessi e caratterizzati dal fatto che se
l elemento amn=a+ib allora l elemento anm=a-ib. Mentre sulla diagonale principale
a11, a22 etc sono tutti interi proprio perché a+ib=a-ib per cui b=0.
Esiste un Teorema che dice: Tutti gli autovalori di una matrice hermitiana sono
reali .
Come conseguenza anche i coefficienti del polinomio caratteristico di una matrice
hermitiana sono reali. Questo perché essendo gli autovalori zeri del polinomio
caratteristico associato alla matrice hermitiane, allora possiamo sfruttare gli zeri per
scomporre il polinomio in (x-a)(x-b)(x-c) Ora se a,b,c secondo il Teorema sono
reali allora le moltiplicazioni dei termini tra parentesi ci portano a coefficienti reali.
Qual è ora il legame con la zeta di Riemann?
Il ragionamento è il seguente: da una parte abbiamo delle matrice hermitiane con
numeri complessi, i cui autovalori o zeri del polinomio caratteristico sono reali.
Dall altra abbiamo la zeta di Riemann, rappresentata da numeri complessi e legata
agli zeri non banali. Gli zeri sono simmetrici rispetto alla retta critica e la parte reale
degli zeri non banali è ½; per cui l ipotesi di Riemann porta al fatto che la parte
immaginaria degli zeri è reale.
Da qui nasce la congettura di Hilbert-Polya: Gli zeri non banali della funzione zeta
di Riemann corrispondono agli autovalori di un operatore hermitiano .
Fisica nucleare, Meccanica Quantistica e zeri non banali della zeta di
Riemann
Che c entra Riemann con la Meccanica Quantistica? Ne daremo solo un cenno.
Occorre anche dire che Riemann era anche un fisico (fisico e matematico erano due
24
mestieri connessi), anzi molti suoi lavori erano proprio rivolti alla Fisica.
64
In Meccanica Quantistica si studia il comportamento dell atomo e dei livelli di
energia in gioco; ad esempio ci si pongono domande del tipo: che succede se un
atomo passa da un livello di energia ad un altro? Come sono spaziati i livelli di
energia? Perché sono spaziati in quel modo? Si studiano però sistemi dinamici cioè
insiemi di particelle che sono dotate in un certo istante di posizione, velocità,
direzione, verso etc.
Eugen Wigner e Freeman Dyson, dimostrarono che dietro a questi concetti di fisica ci
sono degli oggetti matematici rappresentati dalle matrici casuali.
Abbiamo già visto prima cosa sono le matrici hermitiane. Ora supponiamo che i
valori di tali matrici hermitiane siano causali. Ma la casualità come è intesa?
Secondo una legge gaussiana (la famosa curva a campana)! Difatti, ma non lo
dimostreremo (vi invitiamo a leggere qualche libro di statistica e di probabilità), se
scegliessimo a caso una serie di valori reali per comporre i numeri appartenenti alla
matrice, da una gaussiana disegnata su carta millimetrata con migliaia di quadratini,
rispettando la regola di ottenere una matrice hermitiana, con buona probabilità la
maggior parte di essi sarebbero sotto la campana e in quantità minore ai lati.
Scegliendo a caso i quadratini, il loro valore reale potrebbe essere rappresentato dalla
sua distanza dalla linea centrale del picco della gaussiana. A questo punto si avrà a
che fare con una matrice hermitiana gaussiana (GUE).
La legge di Montgomery-Odlyzko
Montgomery studiò la spaziatura degli zeri non banali della zeta di Riemann,
argomento molto connesso alla teoria dei campi numerici del tipo a b 2 .
…
Montgomery, scoprì, con l intervento Dyson che l integrale corrispondeva col fattore
di forma per la correlazione di coppia degli autovalori delle matrici casuali
hermitiane [17, 18, 19].
Purtroppo Montgomery non aveva gli strumenti per dimostrarla. A causa della
divisione delle materie, provocate da una giusta specializzazione, questo per anni è
stato un difetto difficilmente superabile: gli specialisti non avendo entrambe le
specializzazioni non riuscivano a correlare i diversi argomenti. Oggi si preferisce
creare team con persone aventi specializzazioni diverse e si sono promossi ambiziosi
programmi come il Langlands…”
13) ZEROS AND GRAM POINTS ON THE CRITICAL
LINE ζ (½±ix)
Pier Franz Roggero, Michele Nardelli 1,2 , Francesco Di Noto
25
Dipartimento di Scienze della Terra Università degli Studi di
Napoli Federico II, Largo S. Marcellino, 10 80138 Napoli, Italy
Dipartimento di Matematica ed Applicazioni “R. Caccioppoli”
Università degli Studi di Napoli “Federico II” – Polo delle Scienze
e delle Tecnologie Monte S. Angelo, Via Cintia (Fuorigrotta),
80126 Napoli, Italy
Abstract: In this paper we focus attention on a relationship
between zeros and Gram points with the prime numbers on the
critical line ζ (½±ix) .
Furthermore, we focus attention also on a formula to determine
prime numbers using the Gram Points. So if the zeros of the
Riemann function give the exact number of prime numbers, with
the Gram Points always on the critical line we can even find the
values of all prime numbers
Da qui alcune pagine masterizzate:
Da Rif. 10), Cap. 18 “ La teoria dei numeri incontra la
meccanica quantistica, da pag.295:
26
27
Qui invece il nostro grafico provvisorio e sintetico sui tre
divieti: retta critica ½ sul piano complesso: vietato agli zeri di
zeta di essere fuori da tale retta, anche per i motivi da noi
esposti in Rif. 7; le forme e rispettive rette 6k -1 e 6k +1:
vietato ai numeri primi ( e semiprimi con due fattori maggiori
di 3) di appartenere a due rette diverse, come ha dimostrato
Pietro Bongo; vietato agli autovalori di matrici hermitiane,
con spaziatura simile a quella degli zeri di zeta, di essere
numeri immaginari. Divieti connessi tra di loro: dai numeri
28
primi agli zeri di zeta agli auto valori/livelli energetici degli
atomi.
29
30
Infine, da Wikipedia, parzialmente:
Riemann hypothesis
From Wikipedia, the free encyclopedia
Da cui riportiamo la parte riguardante la teoria dell’operatore
(Berry ecc.)
Operator theory[edit]
Main article: Hilbert–Pólya conjecture
Hilbert and Pólya suggested that one way to derive the Riemann hypothesis would be to find a selfadjoint operator, from the existence of which the statement on the real parts of the zeros of ζ(s)
would follow when one applies the criterion on real eigenvalues. Some support for this idea comes
from several analogues of the Riemann zeta functions whose zeros correspond to eigenvalues of
some operator: the zeros of a zeta function of a variety over a finite field correspond to eigenvalues
of a Frobenius element on an étale cohomology group, the zeros of a Selberg zeta function are
eigenvalues of a Laplacian operator of a Riemann surface, and the zeros of a p-adic zeta function
correspond to eigenvectors of a Galois action on ideal class groups.
Odlyzko (1987) showed that the distribution of the zeros of the Riemann zeta function shares some
statistical properties with the eigenvalues of random matrices drawn from the Gaussian unitary
ensemble. This gives some support to the Hilbert–Pólya conjecture.
In 1999, Michael Berry and Jonathan Keating conjectured that there is some unknown quantization
of the classical Hamiltonian H = xp so that
and even more strongly, that the Riemann zeros coincide with the spectrum of the operator
. This is in contrast to canonical quantization, which leads to the Heisenberg uncertainty
principle
and the natural numbers as spectrum of the quantum harmonic oscillator.
The crucial point is that the Hamiltonian should be a self-adjoint operator so that the quantization
would be a realization of the Hilbert–Pólya program. In a connection with this quantum mechanical
31
problem Berry and Connes had proposed that the inverse of the potential of the Hamiltonian is
connected to the half-derivative of the function
then, in Berry–Connes approach
(Connes 1999). This yields to a Hamiltonian whose eigenvalues are the square of the imaginary part
of the Riemann zeros, and also the functional determinant of this Hamiltonian operator is just the
Riemann Xi function. In fact the Riemann Xi function would be proportional to the functional
determinant (Hadamard product)
as proven by Connes and others, in this approach
The analogy with the Riemann hypothesis over finite fields suggests that the Hilbert space
containing eigenvectors corresponding to the zeros might be some sort of first cohomology group of
the spectrum Spec(Z) of the integers. Deninger (1998) described some of the attempts to find such a
cohomology theory (Leichtnam 2005).
Zagier (1981) constructed a natural space of invariant functions on the upper half plane that has
eigenvalues under the Laplacian operator that correspond to zeros of the Riemann zeta function—
and remarked that in the unlikely event that one could show the existence of a suitable positive
definite inner product on this space, the Riemann hypothesis would follow. Cartier (1982) discussed
a related example, where due to a bizarre bug a computer program listed zeros of the Riemann zeta
function as eigenvalues of the same Laplacian operator.
FINE
Caltanissetta 1.9.2016
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