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I NUMERI PRIMI IN NATURA : FISICA QUANTISTICA
FISICA NUCLEARE, BIOCHIMICA , GENOMICA,
PSICOLOGIA (TRAMITE LA FUNZIONE ZETA , I
NUMERI P –ADICI E I NUMERI PRIMI NATURALI)
---------Abstract
In this paper we concentrate the indications about relations
between prime numbers and some natural phenomena,with special
attention at their connections:
a) zeta function in quantum physics
b) natural prime numbers ( with forma 6f+1, where f is Fibonacci’s
numbers) in quantum physics, nuclear stability, and so on,
c) p-adic numbers (quantum physics, genetics and DNA, and so on)
d) prime numbers (biochemistry)
We invite visitors to signal us possible other phenomena connected
prime numbers, p-adic numbers, natural prime numbers, prime
numbers.
Premessa
Oltre che in vari fenomeni naturali micro - e macro-cosmici,
come abbiamo visto nel nostro recente lavoro “Note sulle connessioni
tra i numeri primi, i numeri primi naturali, i numeri di Fibonacci e
alcuni fenomeni naturali” e già pubblicato su questo sito, i numeri
primi emergono talvolta anche sotto altre forme, per esempio i numeri
p-adici (inversi delle potenze dei numeri primi) anche in genetica
(DNA) come vedremo in seguito, e anche come numeri primi in se
stessi, anche in biochimica. Prima però accenneremo all’importanza
dei numeri
p-adici in fisica quantistica (livelli energetici degli atomi, ecc.), dalla
quale poi potrebbero in qualche modo riemergere a livello
immediatamente superiore nella genetica (in particolare in fenomeni
riguardanti il DNA) e, in modo più diretto, anche in biochimica, e cioè,
in entrambi i casi, a livello biologico-molecolare e non più
quantistico.
Citiamo qualche brano dal libro di Derbyshire “L’ossessione dei
numeri primi” (Bollati Boringhieri Editore)e dedicato essenzialmente
all’ipotesi di Riemann e alla sua funzione zeta, sospettata di
coinvolgimento nella fisica quantistica a causa della stretta
similitudine tra gli intervalli degli interi di zeta e gli intervalli tra i
livelli energetici degli atomi, per poi passare al lavoro di Branco
Dragovich e Alexandra Dragovich “p-Adic Modelling of the Genome
and the genetic code” reperibile sul sito:
arXiv.0707.3043v1[q- bioOT] 20 Jul 2007 e sul sito :
http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/ sezione
number theory and physics archive, new , recent archived material,
e nel quale si sostiene che la degenerazione del codice genetico è un
fenomeno p-adico; e al secondo lavoro “Biochemical identification of
prime numbers” di J. Toha, M.A.Soto sullo stesso sito di cui sopra,
e secondo i quali una tecnica biochimica può identificare i numeri
primi.
--------------------------Cominciamo con alcune citazioni di brani dal suddetto libro di J.
Derbyshire circa Alain Connes, pag. 331 e seguenti:
“…Un altro ricercatore, Alain Connes, professore di matematica
al College de France di Parigi, ha adottato un metodo alternatvio.
Invece di cercare il tipo di operatore che possa avere come autovalori
gli zeri di zeta, ha in realtà costruito un operatore siffatto…Alain
Conness ha inventato uno spazio molto particolare su cui opera il suo
operatore di Riemann. I numeri primi sono costruiti in questo spazio
in una maniera che deriva da concetti della teoria algebrica dei
numeri. Quanto segue è un cenno del lavoro di Connes…. Gli adeli
rappresentano, se volete, un ulteriore livello di astrazione rispetto ai
numeri p-adici, che si trovano a loro volta ad un livello di astrazione
superiore rispetto ai numeri razionali ordinari.
Se tutto questo vi fa girare la testa, basti dire che abbiamo una classe
di supernumeri che sono al tempo stesso 2-adici, 3-adici, 5-adici…e
anche reali. Ognuno di questi supernumeri ha tutti i numeri primi
incorporati in esso.Gli adeli rappresentano certamente un concetto
molto astruso. Niente è però così astruso da non poter trovare alla fine
la sua applicazione in fisica. Negli anni novanta i fisici matematici
hanno cominciato la costruzione della meccanica quantistica ad elica,
in cui le misure reali derivate dagli esperimenti, espresse con i numeri
razionali, sono considerate come manifestazioni di queste bizzarre
creature pescate nelle oscure profondità degli abissi matematici.
Questo è il genere di spazio che Alain Connes ha costruito per il suo
operatore di Riemann, uno spaio adelico. Poiché è adelico, incorpora
in se i numeri primi, per così dire. Gli operatori che agiscono su
questo spazio sono necessariamente basati sui numeri primi. Ora
potete, spero, vedere come si può costruire un operatore di Riemann i
cui autovalori siano proprio gli zeri non banali della funzione zeta, e il
cui spazio (lo spazio sul quale opera) abbia incorporati numeri
primi,nella maniera che ho tentato di descrivere, e al tempo stesso sia
importante per certi sistemi fisici reali, insiemi reali di particelle
subatomiche.
L’ipotesi di Riemann (RH) si riduce dunque a dimostrare una certa
formula della traccia, ovvero una formula come quella di Gutzwaller,
che mette in relazione gli autovalori di un operatore sullo spazio
adelico di Connes con le orbite periodiche in un qualche analogo
sistema classico. Il fatto di avere già i numeri principali incorporati da
una parte della formula dovrebbe rendere tutto più facile. In un certo
senso è vero, e la costruzione di Connes brillante e davvero molto
elegante, con i livelli di energia che sono proprio gli zeri di zeta sulla
retta critica. Purtroppo, finora non ha fornito alcun indizio circa il
perché non potrebbero esistere zeri di zeta fuori dalla retta critica! “
Fin qui la citazione di Derbyshire per dare un’idea della relazione
numeri primi – numeri p-adici – funzione zeta di Riemann –fisica
quantistica. Nei brani seguenti, tratti dal libro di Marcus du Sautoy
“L’enigma dei numeri primi” (Rizzoli), si vedrà la relazione
numeri primi - funzione zeta –livelli energetici –fisica quantistica,
anche senza nominare i numeri p-adici, pur essendo molto importanti,
come abbiamo già visto sopra.
Pag. 500:
“…Dunque la domanda successiva che bisognava porsi era perchè
mai quelle due entità – livelli energetici e zeri di Riemann - avessero
qualcosa in comune, e che cosa fosse ad accomunarli… Fin dai tempi
di Galileo e Newton, spesso la fisica e la matematica si muovono su un
territorio simile, ma nessuno si sarebbe potuto aspettare che la teoria
dei numeri di Riemann e la fisica quantistica fossero così intimamente
legate…
Pag. 501:
“Se i punti al livello del mare nel paesaggio di Riemann potevano
esser spiegati dalla matematica dei livelli energetici in fisica, allora si
profilava l’eccitante prospettiva di riuscire a dimostrare perchè i
punti a livello del mare giacciono su una linea retta. A uno zero che
cade fuori dalla retta corrisponderebbe un livello energetico
immaginario, cioè una cosa che le leggi della fisica quantistica
vietano… ( ma anche un numero primo, tranne i soli 2 e 3, fuori
dalla retta 1 + 6n passante per +1 è una cosa vietata dalle leggi
dell’aritmetica, poiché i numeri primi sono, sempre tranne il 2 e il 3,
tutti di forma 6n + 1, e quindi giacenti sulle due rette 6n -1 e 6n +1,
unificabili nella suddetta retta unica 1 + 6n, che però comporta
il segno negativo per i numeri primi di forma 6n -1. Quindi ci
potrebbe essere benissimo una relazione profonda tra queste due rette
(retta critica ½ per gli zeri di Riemann connessi a livelli energetici
reali , e retta 1 + 6n per i numeri primi (e loro potenze e prodotti
senza i fattori 2 e 3, ne parleremo in un futuro lavoro, “La
congettura dei due divieti”, N.d.A.A.).
Pag. 503:
“ A metà degli anni Ottanta (Odlyzko, N.d.A.A) era pronto a
pubblicare i risultati dei suoi calcoli. La spaziatura tra gli zeri nel
paesaggio di Riemann mostrava effettivamente una certa somiglianza
con quella dei livelli energetici negli atomi pesanti, ma era evidente
che la corrispondenza non era perfetta. Quella concordanza non
avrebbe mai soddisfatto uno statistico…Nel 1989 Odlyko riportò su un
grafico gli intervalli (derivati da nuovi calcoli su zeri ancora più
20
grandi, tipo 10 N.d.A.A.) che separavano gli zeri e li mise a
confronto con i valori previsti da Montgomery. Questa volta la
corrispondenza era sbalorditiva. Era la prova convincente di una
nuova proprietà degli zeri. Da quelle distanze siderali gli zeri
inviavano un messaggio molto chiaro. A produrli era un complicato
tamburo matematico… Una volta scoperto, (pag.508) questo nuovo
andamento statistico cominciò ad emergere ovunque: nuclei pesanti,
zeri della funzione zeta di Riemann, sequenziamento del DNA
(relazione con il lavoro di Branco e Alexandra Dragovic, che vedremo
tra poco? N.d.A.A), proprietà del vetro.
Fisica quantistica e numeri p-adici
Altri riferimenti alla relazione tra fisica quantistica e numeri
p-adici si possono trovare nei lavori del Dott. Michele Nardelli
a) On some mathematical connections concerning the relation
between three-dimensional gravity related to Chern – Simons gauge
theory, padic Hartle – Hawking wave function, Ramanujan’s
modular functions and some equations describing the Riemann zeta function”, dove già nel titolo figurano i numeri p-adici e la funzione
zeta di Riemann (e quindi i numeri primi) e le relazioni con la fisica
(tre dimensioni del mondo fisico, e le teorie di gauge).
b) “On the possible mathematical connections on between the Hartle –
Hawking no boundary proposal concerning the Randall – Sundrun
cosmological scenario, Hartle – Hawking wave – function in the minisuperface sector of physical superstring theory,, p-adic Hartle –
Hawking function and some sectors of Number Theory”
(come sopra, con in più il riferimento alle superstringhe e alla
cosmologia, nonché ad alcuni settori della teoria dei numeri)
c) “On the link between the structure of A-branes observed in the
homological mirror symmetry and the classical theory of
automorphic forms: mathematical connections with the modular
elliptic curves, p-adic and adelic numbers, and p-adic and adelic
strings”
reperibili sul suo sito “ http://xoomer.alice.it/stringtheory”
Gnomica e numeri p-adici
Branco Dragovic and Alexandra Dragovich “p-Adic Modelling of
the Genome and the genetic Code”
Vedi traduzione finale in nota (1)
Biochimica e numeri primi
G. Toha’ , M.A. Soto: “Biochemical identification of prime
numbers”
Vedi traduzione finale in nota (2)
Psicologia (calcolo mentale rapido dei calcolatori prodigio) e numeri
primi :
Per quanto riguarda questo fenomeno citeremo un caso riportato
nel libro di Marcus du Sautoy “L’enigma dei numeri primi”, a pag.
20:
“ Comunicare con i numeri primi non è soltanto fantascienza. Nel
libro L’uomo che scambiò sua moglie per un cappello , Oliver Sacks
documenta il caso di John e Michael, due gemelli ventiseienni affetti
da autismo la cui forma più profonda di comunicazione consisteva
nello scambiarsi numeri primi di sei cifre. Sacks racconta di quando li
sorprese per la prima volta mentre, nell’angolo di una stanza, si
passavano numeri in gran segreto: << Facevano pensare, a tutta
prima, a due esperti assaggiatori intenti a degustare vini rari di
annate prestigiose >>. Da principio Sacks non riesce a figurarsi che
cosa stiano combinando i gemelli. Ma non appena riesce a decifrare il
loro codice, memorizza alcuni numeri primi di otto cifre che poi,
durante l’incontro successivo, lascia astutamente cadere nella
conversazione. Alla sorpresa dei gemelli segue un’intensa
concentrazione che si trasforma in esultanza quando riconoscono che
si tratta di nuovi numeri primi. Ma se Sacks aveva fatto ricorso a delle
tavole numeriche per trovare i suoi numeri primi, come facessero i
gemelli a generare i loro è un mistero accattivante. Possibile che quei
savants artistici fossero in possesso di una formula segreta che era
sfuggita a intere generazioni di matematici? … Prima che qualcuno
potesse scoprire come ci riuscissero,all’età di trentasette anni i gemelli
Furono separati dai medici, convinti che quel loro linguaggio
numerologico privato stesse ostacolando il loro sviluppo. Se quei
medici avessero ascoltate le conversazioni che si possono sentire nelle
sale di ritrovo dei dipartimenti universitari di matematica,
probabilmente avrebbero raccomandato di chiudere anche quelle.
E’ verosimile che i gemelli usassero un trucco basato sul cosiddetto
piccolo teorema di Fermat per verificare se un numero fosse primo.
Tale metodo di verifica è simile a quello grazie al quale i savants
autistici riescono a stabilire rapidamente che, per fare un esempio, il
13 aprile 1922 era un giovedì; un exploit in cui i gemelli si esibivano
regolarmente nei talk show televisivi. Entrambi i trucchi si basano si
basano su una speciale aritmetica detta dell’orologio o modulare. Ma
anche se non possedevano una formula magica per individuare i
numeri primi, la loro abilità rimaneva straordinaria. Prima di essere
separati,, erano arrivati a numeri di ventidue cifre, ben oltre il limite
massimo delle tavole di numeri primi di cui disponeva Sacks.”
Commento: questi casi di calcolo mentale rapido dei calcolatori
prodigio, spesso anche inconscio ( cioè nemmeno loro sanno bene
come fanno) somigliano moltissimo ai futuri calcolo che faranno i
computer quantistici ancora in fase di concezione e di
sperimentazione ( e a proposito di numeri primi, per quanto riguarda
la fattorizzazione veloce) , e cioè in modo quasi istantaneo, scegliendo
la soluzione giusta tra tutte le soluzioni possibili, presenti
possibilmente sia nel cervello dei suddetti calcolatori, sia nei
computer quantistici, mentre un a persona normale deve cercare la
soluzione una alla volta con calcoli fatti l’uno dopo l’altro
usando apposite formule matematiche, e così pure un computer
normale tramite i suoi algoritmi inseriti dai programmatori con
appositi software: in entrambi i casi per certi problemi (per esempio
la fattorizzazione di numeri molto grandi ci vuole una grande
quantità di tempo, al contrario del calcolo prodigio e del calcolo
quantistico.
In entrambi i casi però cervello e computer quantistico funzionano
in base alle leggi quantistiche, e quindi è possibile che alla base della
loro grande velocità di calcolo (pochi secondi) ci siano gli stessi
meccanismi quantistici connessi con il calcolo detto appunto
quantistico, la cui sola alternativa è il calcolo tradizionale, a mano o
tramite calcolatrici o computer tradizionali, con i loro tempi che pe
quanto ridotti, non possono a volte paragonarsi con la quasi
instantaneità del calcolo prodigio o del calcolo quantistico, sotto
questo aspetto paragonabili tra loro, non solo nella velocità ma forse
anche nei possibili meccanismi naturali di fondo sopra accennati,
ancora però poco noti.
Questo fenomeno è stato riportato anche nel nostro lavoro “Il
platonismo matematico e la musicalità dell’Universo : connessioni
con la teoria di stringa” sul sito del Dott. Nardelli sopra riportato.
Altre notevoli relazioni tra numeri primi e fenomeni naturali fisici
(specialmente quantistici), biologici (modello predatori-prede, per es.
il caso delle cicale), genetici (relazioni tra numeri primi e DNA), e
infine anche psicologici (caso dei due gemelli artistici sopra citato) , si
trovano, in inglese, nella raccolta “Unusual and physical methods for
finding prime numbers” sul sito sopra ricordato
http://secamlocal.ex.ac.uk/people/staff.mrwatkin
Conclusioni
(Di Noto - Nardelli - Tulumello)
Come si è visto, i numeri primi, presenti come numeri primi
naturali nelle vibrazioni delle stringhe, emergono poi a livello
immediatamente superiore (fisica quantistica) sottoforma di funzione
zeta e di numeri p-adici), e nella fisica nucleare (stabilità di alcuni
elementi chimici) di nuovo come numeri primi naturali; a livello
bio-molecolare come numeri primi in quanto talii; a livello genomico
come numeri p-adici; a livello psicologico (calcolatori prodigio) come
numeri primi in quanto tali, etc.
Quindi i numeri primi non sono soltanto una semplice astrazione
matematica utile in alcuni calcoli (minimo comune multiplo, massimo
comune divisore, etc.) o in crittografia (sistema RSA), ma fanno
parte del mondo naturale, insieme ai numeri di Fibonacci (con i
quali formano i numeri primi naturali), anch’essi notoriamente
presenti in alcuni fenomeni naturali dove compaiono spirali, e alle
partizioni di numeri p(n), tutti i modi in cui un numero può essere
sommato) , e ai gruppi algebrici di Lie, ecc. : tutti strumenti
matematici con cui la natura regola e forse anche stabilizza i suoi
fenomeni, dai più piccoli (stringhe) ai più grandi (galassie, le cui
spirali nascondono i numeri di Fibonacci), passando per tutti quelli
intermedi : stabilità nucleare, genoma, spirali di pigne e conchiglie,
riproduzione di conigli, orbite planetarie ecc. Seguendo questo filo
rosso conduttore dei numeri primi in tutti questi fenomeni naturali in
cui sono o sembrano coinvolti in qualche modo (numeri primi
naturali, funzione zeta, numeri p-adici, numeri primi in quanto tali) ,
tali fenomeni diventeranno più facili da studiare e comprendere, e
magari da sperimentare o riprodurre in laboratorio, con possibile
progresso nelle scienze più direttamente coinvolte (matematica, fisica,
chimica, genetica, psicologia, cosmologia, ecc.).
Si pregano i lettori di segnalarci altri fenomeni naturali connessi in
qualche modo con i numeri primi, che ci fossero finora sfuggiti, allo
scopo di arricchire e completare questo lavoro utile a capire come e
perché la Natura si serva dei numeri primi con uno dei modi suddetti
(funzione zeta, numeri primi naturali, numeri p-adici , etc) per
regolare molti suoi fenomeni a tutti i livelli, dalle stringhe alle galassie.
GRUPPO ERATOSTENE
