Prova scritta del 19 settembre 2006

C.d.L. in Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni – A.A. 2005-06 – Fisica Generale - Prova del 19-09-06
ESERCIZIO 1
Un proiettile di massa m = 10 g colpisce, ad una velocità v0 = 400 m / s e muovendosi
orizzontalmente, un blocchetto di legno di massa M = 4 kg e spessore trascurabile, sospeso con un
filo in modo da comportarsi come un pendolo semplice, e inizialmente immobile nella posizione di
equilibrio. Il proiettile attraversa completamente il blocchetto in un tempo trascurabile, per poi
uscire con una velocità v p , mentre il blocchetto di legno comincia a muoversi con una velocità
iniziale V = 0.5 m / s . Determinare:
a) il modulo della velocità che ha il proiettile quando fuoriesce dal blocchetto di legno;
b) se l’urto è elastico o meno e, in quest’ultimo caso, il valore dell’energia dissipata nell’urto;
c) la massima altezza raggiunta dal blocchetto di legno rispetto a quella iniziale;
d) il tempo impiegato dal blocchetto per ritornare per la prima volta nella posizione in cui il filo è
verticale, sapendo che la lunghezza di quest’ultimo è l = 1 m
Soluzione
a) Consideriamo la successione degli eventi: se si considera rettilinea la traiettoria del proiettile
nell’attraversamento del blocchetto, cosa giustificata dall’ipotesi che lo spessore del blocchetto
stesso è trascurabile, le forze sono allora tutte interne al sistema blocchetto + proiettile. Vale
quindi la conservazione della quantità di moto:
M
4 kg
m v0 = M V + m v p ⇒ v p = v0 − V = ( 400 m s −1 ) − −2 ( 0.5 m s −1 ) = 200 m s −1
10 kg
m
b) Per decidere se l’urto è elastico o meno bisogna verificare se l’energia cinetica si conserva o se
diminuisce durante l’urto.
1
1
1
m v02 ≥ M V 2 + m v 2p
2
2
2
cioè:
2
2
2
1
1
1
10−2 kg )( 400 m s −1 ) ≥ ( 4 kg ) ( 0.5 m s −1 ) + (10−2 kg )( 200 m s −1 )
(
2
2
2
ovvero
800 J ≥ 0.5 J + 200 J = 200.5 J
Poiché vale il segno > si conclude che l’energia cinetica non si conserva e quindi l’urto non è
elastico.
c) Con riferimento alla figura, consideriamo la conservazione
dell’energia meccanica per quanto riguarda il blocchetto:
−1 2
α l
V 2 ( 0.5 m s )
1
2
MV =M gh⇒ h=
=
≈ 1.3cm
2
2 g 2 ( 9.8 m s −2 )
l (1-cosα)
dove si è posto h = l (1 − cos α ) .
d) Nel caso del pendolo semplice, qualora si verifichi il caso delle piccole oscillazioni, il periodo
vale: T = 2π l g . Verifichiamo preliminarmente se il moto del blocchetto soddisfa la
condizione richiesta. Si ha:
⎛ 1.3 ⋅10−2 m ⎞
⎛ h⎞
h = l (1 − cos α ) ⇒ α = arccos ⎜1 − ⎟ = arccos ⎜1 −
⎟ ≈ 9°
1m
⎝ l⎠
⎝
⎠
che se non soddisfa pienamente la condizione teorica (θ ≤ 6° ) , non ne è però distante. Possiamo
quindi applicare la relazione precedente e calcolare il tempo richiesto come il semiperiodo:
T
l
1m
t = =π
=π
= 1s
g
2
9.8 m s −2
C.d.L. in Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni – A.A. 2004-05 – Fisica Generale - Prova del 11-07-05
ESERCIZIO 2
Un disco di rame di spessore uniforme, di raggio R = 30 cm e di massa M = 5 kg , gira intorno ad
un asse fisso, perpendicolare al suo piano e passante per il centro di massa, con velocità angolare
pari a ω0 = 80 rad s −1 . Calcolare:
a) la quantità di moto;
b) il momento della quantità di moto;
c) la energia cinetica.
Soluzione
a) Il centro di massa del disco è fermo, quindi: P = m v = 0
b) Si calcoli il momento d’inerzia per l’asse dato:
1
1
2
I = m R 2 = ( 5 kg )( 0.3 m ) = 0.225 kg m 2
2
2
Il momento della quantità di moto è dato dalla rotazione, ovvero
L = I ω = ( 0.225 kg m 2 )( 80 rad s −1 ) = 18 J s
c) La energia cinetica è puramente rotazionale, ovvero
2
1
1
Ek = I ω 2 = ( 0.225 kg m 2 )( 80 rad s −1 ) = 720 J
2
2
ESERCIZIO 3
Una sbarra di metallo lunga l = 3.0 m , fissata ad un estremo da una morsa e fatta vibrare, emette la
sua terza armonica con una frequenza ν = 4800 Hz .
Si calcoli la velocità del suono c nel metallo.
Soluzione
Essendo la sbarra vincolata ad un estremo, la vibrazione fondamentale ha lunghezza d’onda pari al
doppio della lunghezza della sbarra stessa, mentre la terza armonica ha lunghezza d’onda pari a 2/3
della lunghezza della sbarra.
Si ha quindi:
2
vs n =3 = ν λ = ( 4800 Hz ) ( 3.0 m ) = 9600 m s −1
3
2