La trasformata zeta

La trasformata zeta in cucina
Riccardo Bernardini
15 marzo 2011
1 Introduction
Può la trasformata zeta essere utile anche in cucina? Per quanto la cosa possa sembrare bizzarra, sı̀. In queste
brevi note, infatti, studieremo il comportamento delle pentole usando la trasformata zeta. Più precisamente,
cercheremo di capire se è vero che una pentola di rame distribuisce il calore in maniera più uniforme e come
tale “uniformità” sia legata al conducibilità termica della pentola.
È ovvio che lo scopo principale di questi appunti non è quello di formare degli “esperti in pentolame,”
ma di offrire allo studente la possibilità di fare un po’ di esercizio sulla trasformata zeta. Per questo motivo,
dopo ogni quesito, subito prima della soluzione, verrà inserita una linea del tipo
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immediatamente seguita da un cambio di pagina. Lo studente potrà quindi provare a risolvere il problema
per conto proprio e confrontare la sua soluzione con quella riportata nel testo.
2 Un modello per la pentola
Dato che il nostro scopo è di studiare come varia la distribuzione della temperatura sul fondo di una pentola
al variare del materiale della pentola stessa, abbiamo bisogno di un modello matematico che rappresenti,
con buona fedeltà, la propagazione del calore nel sistema. Tale modello può essere ottenuto con l’aiuto della
Figura 1 che mostra una sezione del fondo di una pentola. Nella Figura 1 il fondo della pentola è stato diviso
in piccoli blocchetti, numerati con numeri interi consecutivi, che si supporranno abbastanza piccoli da poter
considerare uniforme la temperatura in ogni blocchetto.
Supporremo che il cibo abbia una capacità termica abbastanza elevata da non variare apprezzabilmente
la sua temperatura una volta che il sistema sia andato a regime. Inoltre, dato che i flussi di calore dipendono
solo dalle differenze di temperature, è chiaro che possiamo scegliere in maniera arbitraria lo zero della
temperatura. Onde semplificare i calcoli, decidiamo di scegliere la temperatura del cibo come zero.
Il blocchetto numero zero è scaldato da una fiamma. Se il flusso di gas che alimenta la fiamma è costante
nel tempo, anche la quantità di calore prodotta nell’unità tempo sarà costante. Possiamo quindi pensare
che la fiamma “inietti” nel blocchetto zero un flusso di calore costante che supporremo, senza perdita di
generalità, unitario. Più in generale, possiamo pensare di mettere sotto ogni blocchetto una fiammella che
inietti un flusso di calore costante nel sistema. Indicheremo con q(n) il flusso calore iniettato nel blocchetto
numero n.
1
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Cibo a T=0
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... −3 −2 −1 0 1 2 3 ....
Q cal/s
Figura 1:
Ora studiamo più da vicino cosa accade al blocchetto numero n: detto blocchetto scambia calore con i
soui due vicini (n − 1 e n + 1), col cibo ed, eventualmente, con la fiamma posta sotto al blocchetto stesso. I
flussi di calore in gioco sono mostrati in Figura 2.
Se T (n) indica la temperatura del blocchetto n e gbb è la “conduttanza termica” tra blocchetti adiacenti,
la quantità di calore che va dal blocco n al blocco n + 1 è
Q(n → n + 1) = gbb (T (n) − T (n + 1)).
(1)
In maniera analoga, ricordando che abbiamo scelto la temperatura del cibo come zero delle temperature, il
calore che esce dal blocchetto e va nel cibo C può essere scritto come
Q(n → C ) = gbc T (n).
(2)
dove gbc indica la conduttanza termica presente tra il blocchetto ed il cibo.
Se supponiamo che il sistema sia a regime, la quantità di calore che entra nel blocchetto numero n deve
essere uguale alla quantità di calore che esce dallo stesso blocchetto. L’equazione di bilancio termico diventa
0=
Calore che resta nel blocchetto
q(n)
Calore iniettato dalla fiamma
+ gbb (T (n − 1) − T (n))
Calore che arriva da n − 1
+ gbb (T (n + 1) − T (n))
Calore che arriva da n + 1
− gbc T (n)
Calore che va al cibo
2
verso il cibo
al blocco n−1
blocco n
T(n)
al blocco n+1
q(n)
Figura 2: Flussi di calore relativi all’n-simo blocchetto.
3
da cui
q(n) = −(gbb T (n − 1) + gbb T (n + 1) − (2gbb + gbc )T (n))
(3)
L’equazione (3) è un’equazione alle differenze che lega il calore fornito dalla fiamma e la distribuzione delle
temperature. Passando alle trasformate zeta la (3) diventa, dopo alcuni passaggi,
T (z) =
−z−1 /gbb
Q(z) = H(z)Q(z)
z−2 − (2 + gbc /gbb )z−1 + 1
(4)
L’equazione (4) è già interessante poiché mostra come la distribuzione delle temperature possa essere ottenuta “filtrando” la distribuzione del calore iniettato con il filtro avente la funzione di trasferimento mostrata
in (4). È anche interessante osservare che il comportamento qualitativo del filtro dipende dalle conduttanze
gbc e gbb solo attraverso il loro rapporto ρ := gbc /gbb (la conduttanza gbb che appare a numeratore introduce
solo un fattore di scala, ma non cambia il comportamento qualitativo).
Per determinare la risposta impulsiva di tale filtro è sufficiente calcolare l’antitrasformata di H(z). . .
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4
Per poter calcolare l’antitrasformata di H(z) dobbiamo scomporla in fratti semplici ed a tale scopo ci
servono gli zeri (p1 e p2 ) del denominatore di H(z). Dall’equazione
(1 − p1 z−1 )(1 − p2 z−1 ) = z−2 − (2 + ρ )z−1 + 1
(5)
si vede che p1 p2 = 1 e p1 + p2 = 2 + ρ . Dalla prima relazione segue che p1 e p2 sono l’uno l’inverso
dell’altro e reali. Infatti, se p1 e p2 fossero complessi, dovrebbero essere tra loro coniugati (oltre che
reciproci) e ciò implicherebbe |p1 | = |p2 | = 1, ma questo è impossibile dato che |p1 | + |p2 | ≥ |p1 + p2 | =
|2 + ρ | = 2 + ρ > 2. Per semplificare i ragionamenti che faremo in seguito conveniamo di scegliere, senza
perdita di generalità, p2 > 1 > p1 .
Dall’equazione per la scomposizione in fratti semplici
−z−1 /gbb
A1
A2
A + A2 − (A1 p2 + A2 p1 )z−1
=
+
= 1
−2
−1
−1
−1
z − (2 + gbc /gbb )z + 1 1 − p1 z
1 − p2 z
(1 − p1 z−1 )(1 − p2 z−1 )
(6)
A1 + A2 = 0
(7a)
A1 p2 + A2 p1 = 1/gbb
(7b)
si ottiene
Dalla (7a) si ottiene A1 = −A2 che sostituita nella (7b) porge
A1 =
1
gbb (p2 − p1 )
(8)
Possiamo quindi scrivere
1
H(z) =
gbb (p2 − p1 )
1
1
−
−1
1 − p1 z
1 − p2 z−1
(9)
Ricordando che 1/(1 − az−1 ) è la trasformata zeta di u(n)an , si ottiene che la trasformata inversa di (9) è
1
u(n) (pn1 − pn2 ) .
gbb (p2 − p1 )
Hmmm... qualcosa non va. Cosa?
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5
(10)
Il problema è che p1 p2 = 1 implica che uno dei due poli ha modulo maggiore di uno e questo a sua volta
implica che uno dei due addendi in (10) “esplode” con n. Come se non bastasse, la soluzione (10) è nulla
per n < 0 e questo è abbastanza strano da un punto di vista fisico: pongo la fiamma nel centro della pentola
e si scalda solo un lato. No, decisamente c’è un baco da qualche parte. Dove?
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6
Il problema nasce dal fatto che la trasformata inversa della “funzione in z” (9) dipende dal dominio della
funzione stessa. Nel calcolare l’antitrasformata (10) abbiamo implicitamente scelto come dominio la regione del piano complesso che include l’infinito. Come noto, tale regione corrisponde ad un’antitrasformata
puramente causale, da cui la soluzione “fisicamente inaccettabile,” sia per la sua asimmetria, sia per la sua
instabilità.
Dobbiamo quindi scegliere il dominio di (9) in modo tale da avere un’antitrasformata “fisicamente accettabile” che non diverga per n → ±∞. Come noto, l’unico dominio a cui corrisponde un’antitrasformata
stabile è quello che comprende il cerchio di raggio unitario. Se scegliamo tale regione, al polo p1 < 1
corrisponde una risposta causale
R1 (n) = u(n)pn1
(11)
mentre al polo p2 = 1/p1 > 1 corrisponde una risposta anticausale
R2 (n) = −u(n − 1)pn2 = −u(−n − 1)p−n
1
(12)
Ricordando la scomposizione in fratti semplici (9), otteniamo
T (n) =
1
gbb (p2 − p1 )
(R1 (n) − R2 (n)) =
−1
(u(n)pn1 + u(−n − 1)p−n
1 )
gbb (p2 − p1 )
(13)
che può essere scritta in maniera compatta come
T (n) =
1
p|n| .
gbb (p2 − p1 ) 1
(14)
La (14) è una soluzione fisicamente ragionevole: va a zero per n → ±∞ (dato che p1 < 1) ed è simmetrica
rispetto all’origine.
3 Commenti
La (14) mostra che la temperatura decade più lentamente (ossia, è più uniforme) quando p1 è grande. È facile
vedere, magari con l’aiuto della Figura 3, che p1 grande (vicino a uno) corrisponde a ρ = gbc /gbb piccolo
(vicino a zero) e questo accade quando la conduttanza blocco-blocco gbb è grande rispetto alla conduttanza
blocco-cibo gbc , ossia quando il calore si propaga più facilmente verso i blocchetti adiacenti che non verso
il cibo. In altri termini, se il materiale della pentola è un buon conduttore, ρ risulta piccolo e la distribuzione
delle temperature più uniforme.
7
ρ
de
an
gr
p1 p2 = 1
ρ
ol
cc
pi
o
1
p1
1
p2
p1 + p2 = 2+ρ
Figura 3: Risoluzione grafica del sistema p1 p2 = 1, p1 + p2 = 2 + ρ .
8