MATEMATICA
a.a. 2014/15
2. LIMITI (I parte):
Definizione, proprietà e calcolo.
Limiti di funzioni, continuità e
asintoti.
Definizione
Il campo di esistenza è l’insieme di tutti i punti nei quali la funzione è definita.
Se il campo di esistenza D è costituito dall’unione di più intervalli (limitati o
illimitati) occorre prendere in considerazione separatamente gli estremi di
ognuno di questi intervalli.
Se gli estremi appartengono a D, si calcola semplicemente il valore
della funzione in tali punti.
Se invece un estremo, che indicheremo con a, non appartiene a D, si può
solo analizzare cosa succede per i valori di f(x) quando x assume valori via
via più vicini ad a. In linguaggio matematico, si tratta di determinare il limite
di f(x) al tendere di x ad a.
Definizione
1
f ( x) = 2
x
Definizione
In simboli:
lim f ( x)
x →a
Più esattamente se a è l’estremo sinistro di un intervallo, x va fatto avvicinare ad a da
destra, in modo tale cioè che x sia contenuto nell’intervallo in questione. In altre parole,
si tratta di determinare il limite destro di f(x), al tendere di x ad a. In simboli:
lim+ f ( x)
x →a
In modo simmetrico, se a è l’estremo destro di un intervallo, si tratta di determinare il
limite sinistro di f(x) al tendere di x ad a. In simboli:
lim− f ( x)
x →a
Nel caso degli estremi «all’infinito» le scritture:
lim f ( x)
x →−∞
lim f ( x)
x →+∞
hanno rispettivamente il significato di limite destro e di limite sinistro.
Definizione
Per ciascuno di questi limiti (limite destro o sinistro, al finito o all’infinito) possono
verificarsi tre casi:
a. Il limite esiste finito;
b. Il limite esiste ed è +∞ e, rispettivamente, -∞
a. Il limite non esiste
Limite destro finito
lim+ f ( x) = L
x →a
sta a significare che, quando la variabile x assume valori via via più “vicini” ad a, i
corrispondenti valori di f(x) si avvicinano sempre più al valore L che viene detto il limite
della funzione f(x) per x tendente ad a da destra.
La concatenazione tra la tendenza dei valori della variabile x ad a e la tendenza dei
valori della funzione f(x) ad L si precisa in termini matematici rigorosi come:
Si dice che f(x) tende al limite L per x tendente ad a (da destra) se in corrispondenza
a ogni numero positivo ε è possibile trovare un secondo numero positivo δ, tale che
risulti:
f ( x) − L < ε
Esempio:
lim x − 1 = 0
x →1+
per ogni x ∈ ( a, a + δ )
Limite destro finito
lim x − 1 = 0
x →1+
Limite sinistro finito
lim− f ( x) = L
x →a
sta a significare che, quando la variabile x assume valori via via più “vicini” ad a (ma
sempre minori di a), i corrispondenti valori di f(x) si avvicinano sempre più al valore L
che viene detto il limite della funzione f(x) per x tendente ad a da sinistra.
Si dice che f(x) tende al limite L per x che tende ad a da sinistra se: per ogni ε > 0 esiste
un δ > 0 tale che |f(x) − L| < ε per ogni x ∈ (a − δ , a).
a
Esempio:
lim 1 − x = 0
x →1−
a
a
Limite sinistro finito
lim 1 − x = 0
x →1−
Limite finito per x → a
Si dice che:
lim f ( x) = L
x →a
se la funzione possiede sia il limite sinistro, sia il limite destro per x tendente ad a e
se entrambi questi limiti hanno il medesimo valore L.
Limite finito per x → a
Consideriamo la funzione:
2
2x − 6x
y=
x −3
C.E.:
ℜ \ {3}
Vogliamo studiare il comportamento della funzione vicino al punto a=3 dove la funzione
non è definita.
Andiamo a valutare a quale valore L si avvicina la funzione quando x tende al valore 3:
x
F(x)
2,9
5,8
2,99
5,98
2,999
5,998
2,9999 3
3,0001 3,001
5,9998
6,0002
6,002
3,01
6,02
Si nota che quanto più x si avvicina a 3, tanto più f(x) si avvicina al valore 6.
3,1
6,2
Limite finito per x → a
Più in generale se prendiamo un qualunque valore di x in un intorno di 3 sempre più
piccolo, allora f(x) si trova sempre più vicino a 6 ossia si trova in un intorno di 6 sempre
più piccolo.
Ancora, si può dire che se si considera un intorno circolare di 6 di ampiezza ε esiste
sempre un intorno di 3 i cui punti x (con x≠3) hanno immagine f(x) contenuta in Iε(6).
I punti di tale intorno, infatti, soddisfano la seguente disequazione:
2
f ( x) − 6 < ε ossia
2x − 6x
−6 < ε
x −3
Si ottiene quindi:
2 x2 − 6x − 6x + 18
<ε
x −3
→
2 ( x2 − 6 x + 9)
x −3
<ε →2
( x − 3)
x −3
2
< ε → x −3 <
ε
2
Limite finito per x → a
2
2 x − 6x − 6x + 18
<ε
x −3
→
2 ( x2 − 6 x + 9)
x −3
<ε →2
( x − 3)
x −3
2
< ε → x −3 <
ε
2
Ossia:
3−
ε
2
< x < 3+
ε
quindi le soluzioni della disequazione sono i punti dell’intorno:
2
ε
ε
I ( 3) = 3 − ;3 +
2
2
Si può infine affermare che: per ogni ε>0 esiste un intorno I(3), che dipende da ε, tale
che per ogni x appartenente a tale intorno, con x≠3 si ha:
f ( x) − 6 < ε
Diciamo allora che per x che tende a 3 f(x) ha limite 6. Si scriverà quindi:
lim f ( x ) = 6
x →3
Limite finito per x → a
A livello grafico:
Per ε=1
I=(3-1/2;3+1/2)
y
6+1
ε=1
6
6-1
3−
2x2 − 6x
y=
x −3
1 3
1
3+
2
2
x
f ( x) − 6 < ε
Limite finito per x → a
ESEMPI
lim ( 5x − 9) = 6
x →3
2
lim x = 4
x →2
( x + 1)( x −1)
x2 − 1 0
lim
=
⇒ lim
= x +1 = 2
x →1 x − 1
x →1
0
x −1
Limite finito per x → a
Limite finito per x → ∞
lim f ( x) = L
x →+∞
significa che, quando la variabile x assume valori via via più grandi, i
corrispondenti valori della funzione si avvicinano sempre di più a L.
In termini matematici rigorosi si dice che:
f(x) tende ad L per x tendente a +∞ se in corrispondenza a ogni numero positivo ε
è possibile trovare un secondo numero (positivo) K tale che risulti:
f ( x) − L < ε
per ogni x ∈ ( K , +∞ )
K
Studio di funzioni: Asintoto orizzontale y=L
Limite finito per x → ∞
Studio del comportamento della funzione:
f ( x) = e
x
1. CAMPO DI ESISTENZA
C.E : ℜ
2. SIMMETRIA
Né pari né dispari
3. POSITIVITA’
Sempre positiva
4. INCONTRO CON GLI ASSI
y = ex
MAI
y = 0
y = ex
x = 0
y =1
x = 0
P1 = ( 0,1)
Studio del comportamento della funzione agli estremi:
f ( x) = e
x
x
lim e = +∞ : lim e
x →+∞
x →+∞
x
lim e = 0 : lim e
x →−∞
x →−∞
−∞
+∞
= +∞
1 1
= lim ∞ = = 0
x →−∞ e
∞
Limite finito per x → ∞
Studiare le seguenti funzioni ed individuare l’eventuale esistenza di asintoti orizzontali:
x +1
1. f ( x ) =
x
2. f ( x ) = e
−x
3− x
3. f ( x ) =
x
x +1
f ( x) =
x
1. CAMPO DI ESISTENZA
C.E : ℜ \ {0}
2. SIMMETRIA
Né pari né dispari
3. POSITIVITA’
x +1
≥0
x
x +1 ≥ 0
x>0
-1
0
x ≥ −1
+
-
+
x +1
f ( x) =
x
4. INCONTRO ASSI
x +1
y
=
x = −1
x
y = 0
y = 0
x = 0 ∉ C.E.
P1 = ( −1,0)
5. COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI (ASINTOTI)
Asintoto orizzontale
lim =
x →+∞
x +1 ∞
=
x
∞
1
x/ 1 +
x +1
1
1
x
lim =
=
= 1+ = 1+ = 1+ 0 = 1
x →+∞
x
x/
x
∞
1
x/ 1 +
x +1
1
1
x
lim =
=
= 1+ = 1+ = 1+ 0 = 1
x →−∞
x
x/
x
∞
y=1
ASINTOTO ORIZZONTALE
x +1
f ( x) =
x
