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Università degli Studi di Udine
Anno Accademico 2015/2016
Corso di Laurea in Biotecnologie
Modulo di Matematica
Esame del 15/02/2016
N.B.: scrivere nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio consegnato.
Tempo a disposizione: 2.5 ore
1 Se limx→x0 f (x) = −∞ e limx→x0 g(x) = +∞, allora limx→x0 f (x) + g(x) è
A −∞
B +∞
C 0
D non ci sono elementi sufficienti per rispondere
2 Se f è una funzione derivabile due volte in ]a, b[ e tale che f 0 (x0 ) = 0 con x0 ∈]a, b[ e
f 00 (x) > 0 per ogni x ∈]a, b[, allora
A x0 è punto di minimo relativo ma non necessariamente assoluto per f in ]a, b[
B x0 è punto di massimo relativo ma non necessariamente assoluto per f in ]a, b[
C x0 è punto di minimo assoluto per f in ]a, b[
D x0 è punto di massimo assoluto per f in ]a, b[
√
3 L’equazione differenziale y 0 = y t2 + 1 − t è
A un’equazione lineare del primo ordine
B un’equazione lineare del secondo ordine
C un’equazione non lineare del primo ordine
D un’equazione non lineare del secondo ordine
4 La funzione f (x) = arctg x
A è concava per x < 0 e crescente per x > 0
B è decrescente per x < 0 e concava per x > 0
C è una funzione pari
D è una funzione integrabile in [−1000, −576]
5 Scrivere la definizione di asintoto di una funzione f : R → R per x → +∞
6 Rappresentare il grafico di una funzione g che verifichi contemporaneamente le seguenti
proprietà:
lim g(x) = −3
x→−∞
7
lim g(x) = 2
lim g(x) = −∞
lim g(x) = +∞
x→−1−
x→+∞
x→−1+
a) Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale;
b) per quali delle tre funzioni
f (x) = ln (x − 3)2 ,
(
x − sen x1
g(x) =
0
se x 6= 0
se x = 0,

 1 − e2x
h(x) =
x
−2
se x 6= 0
se x = 0
è possibile applicare il teorema nell’intervallo [−2, 2]?
8 Data la funzione
g(x) =
p
3
x3 − 2x2
a) determinare il dominio D e il segno di g. Calcolare i limiti agli estremi del dominio;
b) studiare in quali punti la funzione è continua e in quali derivabile;
c) trovare gli eventuali asintoti;
d) determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente, quelli in cui è decrescente, e
gli eventuali punti di massimo/minimo relativo e/o assoluto;
e) calcolare il comportamento di g 0 negli eventuali punti di non derivabilità;
f) determinare gli intervalli in cui la funzione è concava e quelli in cui è convessa;
g) trovare l’equazione della retta tangente al grafico nel punti x0 = 1 e x0 = 2;
h) disegnare un grafico approssimativo di g.
9 Dato il problema di Cauchy

−3t

 y 0 = pte
y 1 + y2

 y(0) = √3
a) dire se la funzione y(t) =
√
3(3t + 1)e−3t è soluzione del problema;
b) determinare una soluzione del problema nel caso in cui non lo sia la funzione di cui
al punto precedente; oppure, alternativamente
b’) calcolare i seguenti integrali
Z 3 cos2 x + 2 sen2 x 1 2 √
+
x
−
dx
cos2 x
x
Z
e
y ln2 y dy.
1
10 Calcolare il polinomio di Taylor di grado 2 di f (x) = cos(πe−x ) nel punto x0 = 0.
Soluzioni dell’Appello di Matematica per Biotecnologie 15 febbraio 2016
1
Soluzioni dei quesiti dell’esame del 15 febbraio 2016
1 D; 2 C; 3 A; 4 D; 5 consultare il libro di testo.
6 In neretto si evidenziano le informazioni date dai limiti. Il grafico della funzione è quindi
completato a piacere (linea sottile), per esempio:
g(x)
2
x
−1
−3
7 a) consultare il libro di testo; b) tutte le funzioni sono definite in [−2, 2]. f è ivi continua
dunque si può applicare il teorema. g e h sono banalmente continue per x 6= 0. A causa
del termine sen(1/x) non esiste il limx→0 g(x), dunque g non è continua in x = 0 e non si
può applicare il teorema. Nell’ultimo caso si ha
e2x − 1
= (−2) · 1 = h(0),
x→0
2x
lim h(x) = −2 lim
x→0
da cui la continuità in 0, quindi si può applicare il teorema anche ad h.
p
8 a) La funzione è definita per ogni x ∈ R = D. Si osservi che g(x) = 3 x2 (x − 2) per cui
√
g si annulla in x = 0 e x = 2. Valendo 3 z > 0 se e solo se z > 0, si ha g(x) > 0 se e
solo x > 2, dunque la funzione è positiva per x > 2, negativa per x < 0, 0 < x < 2, e
si annulla in x = 0 oppure x = 2. Inoltre g non è funzione né pari né dispari. Ha senso
andare a studiare solamente i limiti a ±∞. Poiché l’argomento della radice tende a ±∞
se x → ±∞ si ha banalmente limx→±∞ g(x) = ±∞.
b) Essendo composta di funzioni continue, g è continua. Per quanto riguarda la derivabilità,
g è derivabile in tutti i punti che non annullano l’argomento della radice cubica (dove
potenzialmente la funzione potrebbe non esserlo), dunque per ogni x 6= 0, x 6= 2. Studiando
la derivabilità in x = 0 e x = 2 mediante la definizione, si ha
r
3
h −√
g(x) − g(0)
2i
3 x − 2
lim
= lim
=
= ∓∞,
x−0
x
0±
x→0±
x→0±
s
p
3
x2 (x − 2)
g(x) − g(2)
x2
lim
= lim
= lim 3
= +∞,
x→2
x→2
x→2
x−2
x−2
(x − 2)2
per cui g non è derivabile in nessuno dei due punti.
c) Banalmente g non ammette asintoti verticali. Per quanto riguarda quelli obliqui, vale
r
r
g(x)
2
3 x − 2
3
= lim
= lim
1 − = 1.
lim
x→±∞
x→±∞
x→±∞ x
x
x
Soluzioni dell’Appello di Matematica per Biotecnologie 15 febbraio 2016
2
Ricordando che (z 3 − w3 ) = (z − w)(z 2 + zw + w2 ), si ha
p
3
x3 − 2x2 − x
lim (g(x) − x) = lim
x→±∞
x→±∞
√
√
p
√
p
√
3 (x3 − 2x2 )2 + 3 x3 − 2x2 3 x3 + 3 x6
3
3
3
2
3
√
√
= lim
x − 2x + x p
√
3
3
3
x→±∞
(x3 − 2x2 )2 + 3 x3 − 2x2 x3 + x6
(x3 − 2x2 ) − x3
p
= lim p
x→±∞ 3 (x3 − 2x2 )2 + 3 x3 (x3 − 2x2 ) + x2
−2
−2
2
p
=
= lim p
=− ,
3
3
x→±∞
1+1+1
3
(1 − 2/x)2 + 1 − 2/x + 1
per cui la retta di equazione y = x − 2/3 è un asintoto a ±∞.
d) Per ogni x 6= 0, x 6= 2, la derivata prima è
g 0 (x) = (x3 − 2x2 )1/3
0
3x2 − 4x
3x − 4
1
= p
.
= (x3 − 2x2 )−2/3 (3x2 − 4x) = p
3
3
3
3 (x3 − 2x2 )2
3 x(x − 2)2
Il numeratore è ≥ 0 se x ≥ 4/3, il denominatore è positivo se x > 0, quindi,


> 0, se x ∈ ] − ∞, 0[ ∪ ]4/3, 2[ ∪ ]2, +∞[,
0
g (x) = 0, se x = 4/3,


< 0, se x ∈ ]0, 4/3[.
In definitiva la funzione è crescente in ]−∞, 0[, in ]4/3, 2[ e in ]2, +∞[, mentre è decrescente
in ]0, 4/3[. In x = 4/3 ammette un punto di minimo relativo. Poiché la funzione tende
a ±∞ per x → ±∞ non ammette massimo e minimo assoluti. Si osservi che poiché g
è continua in x = 2 ed è crescente in ]4/3, 2[ e in ]2, +∞[, allora è crescente su tutto
]4/3, +∞[. Inoltre, pur non esistendo la derivata in x = 0, in ogni caso x = 0 è un punto
di massimo relativo, essendo ivi definita e continua, crescente a sinistra e decrescente a
destra.
e) Si ha
h −4
1
3x − 4
1 i
p
√
√
·
= ∓∞,
=
·
3
x
x→0±
x→0± 3 3 (x − 2)2
3 3 4 0±
h 2
3x − 4
1
1 i
p
√
= +∞,
lim g 0 (x) = lim √
=
·
·
3
x→2
x→2 3 3 x
3 3 2 0+
(x − 2)2
lim g 0 (x) = lim
dunque la funzione in x = 0 ha una cosiddetta “cuspide”, mentre in x = 2 ha la tangente
verticale.
p
f) Essendo 3 (x3 − 2x2 )2 = (x3 − 2x2 )2/3 si ha
p
3
x3 − 2x2 )2
0
2
2(3x2 − 4x)
= (x3 − 2x2 )−1/3 (3x2 − 4x) = √
,
3
3 3 x3 − 2x2
per cui la derivata seconda è
p
2 −4x)
√
(6x − 4) 3 (x3 − 2x2 )2 − (3x2 − 4x) 2(3x
3 3 x3 −2x2
00
p
g (x) =
3 3 (x3 − 2x2 )4
(9x − 6)(x3 − 2x2 ) − (3x2 − 4x)2
−8x2
−8
p
p
=2
=
= p
.
3
3
3
3
2
5
3
2
5
4
9 (x − 2x )
9 (x − 2x )
9 x (x − 2)5
Soluzioni dell’Appello di Matematica per Biotecnologie 15 febbraio 2016
3
p
La derivata seconda è positiva se e solo se 3 (x − 2)5 < 0 cioè x < 2. In definitiva
(
> 0, se x ∈ ] − ∞, 0[ ∪ ]0, 2[,
00
g (x)
< 0, se x ∈ ]2, +∞[,
perciò la funzione è convessa in ] − ∞, 0[ e in ]0, 2[, mentre è concava in ]2, +∞[. In x = 2
ha un punto di flesso a tangente verticale.
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
g) L’equazione della retta tangente al grafico nel generico punto (x0 , g(x0 )) di derivabilità
per la funzione è
y = (x − x0 )g 0 (x0 ) + g(x0 ).
Poiché g(1) = −1 e g 0 (1) = −1/3, l’equazione della prima retta cercata è y = − 31 (x−1)−1.
Per quanto riguarda la seconda, la funzione non è ivi derivabile ma, per quanto visto nei
punti e)-f), la retta tangente deve essere verticale e di equazione x = 2.
√
√
√
9 a) Si ha y 0 (t) = 3 3e−3t + 3(3t + 1)e−3t (−3) = −9 3te−3t . Sostituendo si ottiene
√
−9 3te−3t = √
t
te−3t
q
p
=√
√
3(3t + 1) 1 + 3(3t + 1)2 e−6t
3(3t + 1)e−3t 1 + ( 3(3t + 1)e−3t )2
che√non è identicamente soddisfatta (per esempio, per t = 1/3 si può verificare che
1
). La funzione non è dunque soluzione. Si osservi che la funzione
−3 3e−1 6= 6√3√1+12e
−2
√
soddisfa invece la seconda condizione y(0) = 3.
b) Scrivendo y 0 =
dy
dt
e utilizzando il metodo di separazione delle variabili si ha
Z p
Z
p
−3t
2
2
y 1 + y dy = te dt
=⇒
y 1 + y dy = te−3t dt.
Dalla seconda tabella si ha
Z p
Z
1 (1 + y 2 )3/2
1
2
y 1 + y dy =
(1 + y 2 )0 (1 + y 2 )1/2 dy = ·
,
2
3
3/2
mentre integrando per parti si ottiene
Z
Z −3t
e−3t
e
e−3t e−3t
3t + 1 −3t
−3t
e
te dt = t
−
dt = −t
+
+c=−
+ c,
−3
−3
3
−9
9
Soluzioni dell’Appello di Matematica per Biotecnologie 15 febbraio 2016
4
da cui segue
1
3t + 1 −3t
e
(1 + y 2 )3/2 = c −
3
9
con c generica costante d’integrazione. Risolvendo in y si ottiene quindi
r
3t + 1 −3t 2/3
3t + 1 −3t 2/3
2
e
e
=⇒
y=±
− 1.
1 + y = 3c −
3c −
3
3
In quest’ultima si sceglie
Imponendo ora
√ il segno + in quanto y(0) è inizialmente positiva.
8
la condizione y(0) = 3 nella prima delle tre relazioni sopra si ottiene 3 = c − 19 , da cui si
ricava c = 25/9. Una soluzione è quindi
r
25 3t + 1
2/3
e−3t
− 1.
−
y(t) =
3
3
Alternativamente, si poteva utilizzare direttamente la formula risolutiva per le equazioni
a variabili separabili (insieme alla formula fondamentale del calcolo integrale)
Z
y
√
z
3
p
1 + z 2 dz =
Z
t
se−3s ds
=⇒
0
=⇒
h1
3
(1 + z 2 )3/2
iy
√
3
h 3s + 1
it
e−3s
= −
9
0
8
1 3t + 1 −3t
1
e ,
(1 + y 2 )3/2 − = −
3
3
9
9
che risolta rispetto a y fornisce la soluzione cercata.
b’) Dalle relazione sen2 x + cos2 x = 1 e dalle tabelle si ottiene
Z Z 2
√
3 cos2 x + 2 sen2 x 1 2 cos x + 2
1
2
√
+
x
−
dx
=
+
x
−
2
x
+
dx
cos2 x
cos2 x
x
x
Z
Z
Z
Z
Z
1
1
2
1/2
= 1 dx + 2
dx + x dx − 2 x dx +
dx
2
cos x
x
x3
x3/2
x3 4 √ 3
= x + 2 tg x +
−2
+ ln |x| + c = x + 2 tg x +
−
x + ln |x| + c
3
3/2
3
3
con c costante arbitraria. Per il Teorema fondamentale del calcolo si ha (per parti)
Z e
Z e
ie Z e y 2 2 ln y
h y2
e2
2
2
y ln y dy
y ln y dy =
ln y −
dy =
−
2
y
2
1
1 2
1
1
h 2
ie Z e y 2 1 Z e y
h y 2 ie
e2
e2 − 1
y
=
−
ln y −
dy =
dy =
=
.
2
2
4 1
4
1
1 2 y
1 2
10 Si ha f 0 (x) = − sen(πe−x )πe−x (−1) = πe−x sen(πe−x ) e f 00 (x) = −π 2 e−2x cos(πe−x ) −
πe−x sen(πe−x ) da cui f (0) = cos π = −1, f 0 (0) = 0, f 00 (0) = π 2 perciò il polinomio di
Taylor cercato è
P (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
π2
f 00 (x0 )
(x − x0 )2 = −1 + x2 .
2
2