1 Esercizi svolti

QUINTA LEZIONE (11/11/2009)
Argomenti trattati: calcolo di limiti, continuitá di una funzione.
1
Esercizi svolti
1.1
Calcolo di limiti
Nello svolgere i seguenti limiti daremo per assodato la conoscenza
di alcuni limiti fondamentali:
sin x
1.
lim
=1
(1)
x→0 x
ln(1 + x)
2.
lim
=1
(2)
x→0
x
ex − 1
3.
lim
=1
(3)
x→0
x
1
1 − cos x
=
(4)
4.
lim
x→0
x2
2
α x
5.
lim 1 +
= eα
(5)
x→±∞
x
6.
1
lim (1 + αx) x = eα
(6)
x→0
Calcolare i seguenti limiti:
Esercizio 1
√ √
√ lim
x
1+x− x =
x→+∞
Il limite si presenta come forma indeterminata +∞ − ∞. Razionalizziamo tenendo conto che a2 − b2 = (a − b)(a + b).
√
√ √
√ √ √
√ √
1+x− x ·
1+x+ x
√
lim
x
1 + x − x = lim
x
=
√ x→+∞
x→+∞
1+x+ x
√
√
1+x−x
x
lim
x √
√ = lim √
√ =
x→+∞
x→+∞
1+x+ x
1+x+ x
√
x
1
1
lim √ · q
=
x→+∞
2
x
1 + x1 + 1
1
dove nell’ultimo passaggio
abbiamo raccolto a numeratore e denom√
inatore il fattore x.
Esercizio 2
√
√ √
lim
x 3x+1− 3x−1 =
x→+∞
Il limite si presenta come forma indeterminata +∞ − ∞. Razionalizziamo tenendo conto che a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ).
√
√ √
3
3
lim
x
x+1− x−1 =
x→+∞
lim
x→+∞
√
x
√
3
p
√
p
√
x + 1 − 3 x − 1 · 3 (x + 1)2 + 3 x2 − 1 + 3 (x − 1)2
p
=
p
√
3
(x + 1)2 + 3 x2 − 1 + 3 (x − 1)2
√
x+1−x+1
=
x p
p
√
3
x→+∞
3
3
2
2
2
(x + 1) + x − 1 + (x − 1)
lim
√
2
=
x p
p
√
x→+∞
3
(x + 1)2 + 3 x2 − 1 + 3 (x − 1)2
lim
√
x
lim p
q
3
x→+∞
(x + 1)2 1 + 3
s
lim
x→+∞
6
x3
q
(x + 1)4 1 + 3
2
x2 −1
(x+1)2
+
q
(x−1)2
(x+1)2
+
q
(x−1)2
(x+1)2
3
2
x2 −1
(x+1)2
3
=
=0
in quanto il primo termine tende a zero poiché il grado del numeratore é minore del grado del denominatore mentre il secondo termine
tende a 23 .
Esercizio 3
sin x4
=
lim
x→0 sin2 x2
Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I. 00 . Il trucco é
riportarsi ad uno dei limiti noti. Abbiamo
2 2
sin x4
sin x4
x
lim
= lim
=1·1=1
2
4
2
x→0 sin x
x→0 x
sin x2
2
ove abbiamo utilizzato (1).
Esercizio 4
1 − cos 2x
=
x→0 sin2 3x
lim
Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I. 00 . Abbiamo
2
1 − cos 2x
4
1
4
2
1 − cos 2x
3x
= lim
·
=
·
1
·
=
lim
·
2
x→0
x→0 sin 3x
(2x)2
sin 3x
9
2
9
9
ove abbiamo utilizzato (1) e (4).
Esercizio 5
x2 + 3 sin 2x
=
x→0 x − 2 sin 3x
lim
Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I. 00 . Raccogliamo
una x a numeratore e denominatore. Abbiamo
x2 + 3 sin 2x
x x + 3 · 2 · sin2x2x
6
0+3·2·1
= lim ·
=−
=
sin
3x
x→0 x − 2 sin 3x
x→0 x 1 − 2 · 3 ·
1−2·3·1
5
3x
lim
ove abbiamo utilizzato (1).
Esercizio 6
e −x
lim 1 −
x→+∞
x
Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I.1∞ . Scriviamo
h
−1
e −x
e x i−1
lim 1 −
= e−e
= ee
= lim
1−
x→+∞
x→+∞
x
x
ove abbiamo utilizzato (3).
Esercizio 7
ln(1 + 3x)
=
x→0 x2 + 2x
lim
Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I. 00 . Riscriviamo il
limite in altra forma:
ln(1 + 3x)
ln(1 + 3x)
x
ln(1 + 3x)
1
lim 2
= lim 3 ·
· 2
= lim 3 ·
·
=
x→0
x→0 x + 2x
3x
x + 2x x→0
3x
x+2
3·1·
1
3
=
2
2
3
ove abbiamo utilizzato (2).
Esercizio 8
√
sin1 x
=
lim
1+x
x→0
Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I.1∞ . Per risolvere
il limite risulta utile passare al logaritmo. Ricordando che eln x = x
abbiamo:
√
sin1 x
1
√
√
1
sin x
lim
1+x
= lim eln( 1+x)
= lim e sin x ·ln( 1+x) =
x→0
x→0
1 ln(1+x)
sin x
lim e 2 ·
x→0
x→0
1 ln(1+x)
· sinx x
x
= lim e 2 ·
x→0
1
= e 2 ·1·1 =
√
e
ove abbiamo tenuto conto di (1) e (2).
Esercizio 9
ln(e + x) − 1
lim
=
x→0
x
Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I. 00 . Osserviamo
che ln(e + x) − 1 = ln e · (1 + xe ) − 1 = ln e + ln(1 + xe ) − 1 =
1 + ln(1 + xe ) − 1 = ln(1 + xe ). Pertanto
ln(1 + xe )
1
ln(e + x) − 1
1 ln(1 + xe )
1
= ·1=
= lim
= lim ·
x
x→0
x→0
x→0 e
x
x
e
e
e
lim
ove abbiamo tenuto conto di (2).
Esercizio 10
arctan x
=
lim
x→0
x
Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I. 00 . Conviene
operare un cambio di variabile: y = tan x. Pertanto abbiamo
arctan x
y
y
= lim
= lim
cos y = 1
x→0
y→0 tan y
y→0 sin y
x
lim
ove abbiamo usato (1).
Esercizio 11
cos x
limπ
π =
x→ 2 x −
2
4
Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I. 00 . Conviene
operare un cambio di variabile: y = x − π2 . Pertanto abbiamo
limπ
x→ 2
cos(y + π2 )
sin y
cos x
= lim −
= −1
=
lim
π
y→0
y→0
x− 2
y
y
Esercizio 12
arccos x −
lim
x→0
x
π
2
=
Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I. 00 . Conviene operare un cambio di variabile: x = cos y da cui y = arccos x. Quando
x tende a zero, y tende a π2 . Pertanto abbiamo
arccos x −
x→0
x
lim
π
2
= limπ
y→ 2
y − π2
= −1
cos y
dove abbiamo utilizzato il risultato precedente.
Esercizio 13
√
5 + cos x
lim
=
x→+∞
x2 + 1
Osserviamo che il numeratore é limitato mentre x21+1 é infinitesima
per x → +∞. Pertanto si ha
√
5 + cos x
=0
lim
x→+∞
x2 + 1
Come ultima nota, faccio osservare che alcuni di questi limiti
potrebbero essere risolti con altre tecniche piú raffinate (e che vedremo piú avanti durante il gruppo studio). Risulta comunque un
utile esercizio affrontare quesiti anche complessi.
1.2
Continuitá di una funzione
1) Detrminare per quali valori del parametro α la funzione
√
x + 1 per x ≥ 0
f (x) =
[x] + α per x < 0
é continua sull’intervallo [−1, +∞) ( [x] denota la parte intera di
x1 ).
1 Ovvero
il piú grande intero che non supera x. Ad esempio
5
h√ i
2 = 1 e [−π] = −4.
Ricordiamo che una funzione é continua in un punto x0 se e solo
se
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
ovvero se limite destro e sinistro coincidono con il valore assunto
dalla funzione nel punto. Osserviamo che la funzione é continua in
[−1, +∞) escluso al piú lo zero. Poiché
√
lim+ f (x) = lim+ x + 1 = 1 = f (0),
x→0
x→0
la funzione é continua a destra dello zero. Ora
lim f (x) = lim− [x] + α = α − 1,
x→0−
x→0
la funzione risulta continua a sinistra se e solo se α − 1 = 1 ovvero
α = 2.
2) Sia
(
sin(x2 )
√
per x > 0
x( x+1−1)
f (x) =
a2x + 3
per x ≤ 0.
Determinare a affinché la funzione risulti continua nel suo dominio.
La funzione risulta continua in tutti i punti escluso al piú lo zero.
Poiché
lim f (x) = lim− a2x + 3 = a + 3 = f (0),
x→0−
x→0
la funzione é continua a sinistra dello zero. Ora
√
sin(x2 ) x + 1 + 1
sin(x2 )
= lim
lim f (x) = lim+ √
= 2,
x→0+
x→0 x
x→0+
x2
x+1−1
(abbiamo razionalizzato e tenuto conto del limite fondamentale limx→0
1) la funzione risulta continua se e solo se a + 3 = 2 ovvero a = −1.
3) Determinare per quali valori di α, β ∈ R la funzione

 ln(x + β 2 ) per x > 0
1−cos αx
per x < 0
f (x) =
arctan
x2

1
per x = 0
risulta continua nel suo dominio.
6
sin x
x
=
Osserviamo che la funzione risulta continua in tutti i punti escluso
al piú lo zero. Abbiamo
lim ln(x + β 2 ) = ln β 2
x→0+
lim−
x→0
1 − cos αx
x2
α2
2 1 − cos αx
=
lim
α
=
x→0−
arctan x2
(αx)2 arctan x2
2
x
dove abbiamo usato (4) e il limite limx→0 arctan
= 1. Pertanto
x
√
√
2
α
2
ln β = f (0) = 1 ovvero β = ± e e 2 = f (0) = 1 ovvero α = ± 2.
2
Esercizi proposti
2.1
Calcolo di limiti
Calcolare i seguenti limiti (quelli contrassegnati sono leggermente
piú impegnativi)
cos x
1.
limπ
π =
x→ 2 x −
2
π 2x
2.
lim 1 −
=
x→−∞
x
√
1 + 4x − 1
3.
lim
=
x→0
5x − 1
4.
5.
6.
sin(2x − 1)
=
lim
x→0± (2x − 1)2
x3 (2x − 2−x )
=
x→±∞
3x + 3−x
x
2
−x
lim e
e+
=
x→+∞
x
lim
3
7.
8.
9.
etan x − 1
=
lim
2
x→0 x (cos x − ex )
x x3
lim 1 +
=
x→0
2
√
n
1 + 2x − 1
lim
=
x→0
x
7
10.
log3 (1 + 2x
=
x→0
sin x
11.
3x − 1
lim
=
x→0
x2
lim
2
1
1 + 2x
1 =
3 + 2x
ex sin(e−x sin x)
lim
=
x→+∞
x
12.
lim
x→0±
13.
14.
x5 3x + 2x
=
x→−∞ x4 4x + 3x
15.
lim x− ln x =
lim
1
x→1
ln(1 + tan4 x)
=
4
x→0 e2 sin x − 1
1 p
9 + sin(2x − 1) − 3 =
17.
(∗) lim
x→0 x
cos x sin x + x4
18.
lim 2
=
x→0 x − cos x + 1
19. Dire se esistono i seguenti limiti
16.
lim
•
•
•
•
2.2
lim x3 (1 + sin x) =
x→+∞
lim x + x3 sin x2 =
x→+∞
lim x + x3 sin x =
x→+∞
x − 2x3 + sin x
lim √
=
2
x→+∞
2 + x6 − cos x · esin x
Continuitá di una funzione
1. Si consideri la seguente funzione
( √
√
1
2+x2 − 3x2 +2
+ b |x| per x 6= 0
x
ln(1+x)
f (x) =
a
per x = 0
ove a ∈ R e b ∈ R+ (b > 0). Determinare per quali valori di a
e b la funzione risulta continua in R.
8
2. Si consideri la seguente funzione
 1

 αe x1+1
per x < 0
αx
f (x) =
0

per x = 0
 β
x sin x1 per x > 0
ove α > 0 e β ≥ 0. Determinare α e β in modo che la funzione
risulti continua in 0.
3. Si consideri la seguente funzione
1+sin x
 α
1
x
sin
+ 1
per x > 0

2
x

ex
0
per x = 0
f (x) =
1−cos x

 3 |x|β − √ 1
per x < 0
1+x2
ove α ∈ R e β ∈ R. Determinare α e β in modo che la funzione
risulti continua in ∈ R.
4. Sia
α
f (x) = |x|
sin x − tan x
x2
Studiare al variare di α ∈ R il limite limx→0 f (x) e determinare per
quali α la funzione é estendibile per continuitá in 0.
9