Esercizi in aula 2 A.A. 2010-2011

Esercizio 1
Si voglia valutare la probabilita’ condizionata che, se al I lancio di una moneta e’ comparsa la faccia
C, ci siano 2 T nei 2 lanci successivi. (si supponga che tutti gli eventi siano equiprobabili)
Soluzione
Lo spazio campionario S degli eventi e’: TTT, TTC, TCT, CTT, TCC, CTC, CCT, CCC
il sottospazio E1 di S e’ CTT, CTC, CCT, CCC
ed E2 e’ il sottospazio di S TTT, CTT con
con P(E1) = 1/2
P(E2) = 1/4
Fare E1 ∩ E2 significa considerare gli elementi di E1 che appartengono anche ad E2
ovvero lo spazio E1 ∩ E2 e’ costituito dal solo elemento CTT con P(E1 ∩ E2) = 1/8
Poiche’ la P(E2│E1) = P(E1 ∩ E2) / P(E1)
risulta
P(E2 │ E1) = (1/8 )/(1/2) = 1/4 che = alla
uguale alla probabilita’ non condizionata (eventi indipendenti)
P(E2) = ¼ ovvero la probabilita’ condizionata e’
e vale la regola della probabilità composta
P(E1 ∩ E2) = P(E2) P(E1) per gli eventi indipendenti.
Esercizio 2
Si voglia valutare la probabilita’ condizionata che, se al I lancio di una moneta e’ comparsa la faccia
C, ci siano 2 T nei 2 lanci successivi. (si supponga che l’evento CTT abbia probabilita’ ¼ e gli altri
siano equiprobabili)
Soluzione
Lo spazio campionario S e gli spazi E1 , E2 sono gli stessi dell’esercizio 1 ma la
P(E1)=P(CTT)+P(CTC)+P(CCT)+P(CCC)=1/4+9/28 =16/28=4/9 e la
P(E2)=P(TTT)+P(CTT)=3/28+1/4=10/28=5/14 mentre
P(E1 ∩ E2) =P(CTT)=1/4 quindi non vale la condizione di indipendenza P(E1 ∩ E2) = P(E2) P(E1)
ma vale la legge del prodotto
P(E2│E1) = P(E1 ∩ E2) / P(E1)
da cui si ricava che la probabilita’ condizionata P(E2│E1) =(1/4)/(4/9)=9/16
Esercizio 3
Due amici,Pippo e Gianni,ritengono di avere, rispettivamente, probabilita’ 0.6 e 0.8 di superare un
esame.Posto che i due non copino, calcolare:
a)la probabilita’ che entrambi superino l’esame;
b)la probabilita’ che siano entrambi bocciati;
c)la probabilita’ che Gianni superi l’esame . nell’ipotesi che almeno uno dei due lo superi;
d) la probabilita’ che Gianni superi l’esame, nell’ipotesi che entrambi superino l’esame.
Soluzione
Evento A : Pippo supera l’esame
Evento B : Gianni supera l’esame
Se Pippo e Gianni non copiano , gli eventi A eB sono indipendenti
Vale la regola della probabilità del prodotto
P(A ∩ B) = P(A)P(B) per gli eventi indipendenti.
a) La probabilita’ che entrambi superino e’l’intersezione P(A ∩ B) = P(A)P(B) =0.6 0.8=0.48
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b) Entrambi bocciati e’ l’intersezione degli eventi contrari P(A ∩ B) = P(A)P(B)=(1-0.6)(10.8)=0.08
c) almeno uno dei due e’ l’unione A U B percio’ si ha
P(B│A U B)= P(B)/P(A U B)
ma P(A U B) =P(A)+P(B) –P(A ∩ B)
quindi P(B│A U B)= 0.8/(0.6+0.8-0.48)=0.8/0.92=0.87
d) entrambi promossi e’ A ∩ B , quindi
la probabilita’ che Gianni superi l’esame, nell’ipotesi che entrambi superino l’esame e’
P(B│A ∩ B)= .P(B)/P(B)=1 ovviamente